七、相干态
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七、相干态
对应于非厄米算符 a 的本征态(相干态)是形状不扩展的振 荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。 a , 一般为复数
x
a 2m
a a 0 eit a 0 eit
2m
it 2Re e
随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相 位面即波前变化相同.
七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解
经典Hamilton-Jacobi方程的解是
S x, t W x Et x dx 2m E V x ' Et
n 0
Cn e
2
/2
n
n!
e L
2
2 / 4 0
(L / 0 ) n 2 n n!
与 0 的关系（续）
由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与 a+ 与
a
a
等价，
等价，有 ae a
a
| 0 e
a a
|0
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
| 0 ,
m L L 2 2 0
A B A B C / 2 B A C/2 e e e e e e e , 利用
束缚态：
V x 要解方程需加边界条件，假设要求的解，E xlim '
合适的边界条件为当 x , uE x 0 即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。 由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立 的一组E值。定态薛定谔方程能级的量子化。 由定态薛定谔方程可见，寻求微观物理体系的能级与寻求 弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。
x V x x V x 3 x x ,
1 2
一、含时薛定谔方程（续）
由
i t i x , t0 ; t i x e , t0 ; t0 t t
2
x , t0 ; t
而
2 p x V x , t0 ; t 2 x , t0 ; t V x x , t0 ; t 2m 2m
故e
a a
| 0 是a的本征值为 α的本征态
2 it | a0 e a(0)e it | cost 2m m
| (t ) |
考虑到并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平 面作解析延拓，记为λ，即
| e
2m
2 R cos t i sin t
2m
以ω为角频率振荡且波包形状不随时间扩展 相干态的重要性质包括
1．
f n n , f n
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。 3． 满足最小测不准关系。
t
其中
j
i I m m 2m
该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 几率流与动量有关： d x j x, t
3
p m
t
四、波函数的解释
连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 2 2 e 此 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。
得含时薛定谔方程为
2 i x, t 2 x, t V x x, t t 2m
p2 V x 2m
基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当
时态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。
二、不含时薛定谔方程
对A和H的共同本征初态,
1 S 0 对定态 0,由连续性方程 t m x x t
得 dW 2m E V constant 故
dx
constant E V x
1 4
1 vclass
与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致 WKB解：
三、几率流连续性方程
波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 率密度， x, t x, t x , t ; t
2 2 0
在 x 附近d x 的体积内找到该粒子的几率为 由含时方程可推出连续性方程 j 0
3
x, t d 3 x
S
2
i
2
S V i
2
i t
S t
若
可看成小量，并设
S x, t
2 S S
等，则上方程中不含
1 S 2 S V 0, 的部分有 2m t
与分析力学的Hamilton-Jacobi
与的关系利用这里cab且cacb0有故与的关系续由于aa1对由a及a组成的函数a与等价a与等价有故是a的本征值为的本征态考虑到并非厄米算符本征值不一定为实数可对在复平面作解析延拓记为即24薛定谔波动方程一含时薛定谔方程薛定谔绘景坐标表象的状态随时间演化为为厄米算符且为局域的即为的实函数以后我们会讨论含时的非局域但可分离的势与动量相关的势等等
a *a
|0
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程
薛定谔绘景，坐标表象的状态随时间演化为 x, t
p V x , 2m
2
x , t 0 ; t
V x
为厄米算符，且为局域的，即
V x ' 为 x 的实函数 以后我们会讨论含时的 V x, t , 非局域但可分离的势， V x, x " V x V x " , 与动量相关的势， p A A p , 等等。
2 E V
dV
dx
或者说 必须比势变的特征长度小,即半经典图像在短 波极限下是可信的。
作业：2.19，2.24
x, t
constant E V x
1 4
i exp
x
iEt dx 2m E V x
八、WKB近似成立条件：
2 s s
2
条件对应于：
d 2W dW dx 2 dx
2
dW 2m E V dx
2m dV d 2m E V d 2W dx dx 2 dx 2 E V
d 2W 2 dx 2 2 p 2m 2m dV 2m E V dx d 2W 2 2 2 2m E V dx 2 dV dV 2m 2m dx dx
虽然形式上我们有
但将
S . v 0 t m t
j 解释成 v 需要坐标与速度的同时精确测量而不
可能（测不准关系）。
六、经典极限
据薛定谔方程有：
2
2 1 2i . S 2 2m
这里C=[A,B], 且[C,A]=[C,B]=0
有
e
e
a a
e
a a 2 / 2
e
e
,
2 / 2
a a
| 0 e
2 / 2 a
e
| 0 e
n 0
n
n!
|n
故 | T ( L) | 0 C ( ), n n
2
为几率密度的统计
五、波函数的相位
i S S , j 由 得： m
S为实数，ρ是几率密度。S的含义？
iS x, t x, t x, t exp
可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 S p.
奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 Born提出了被广泛接受的解释，即 解释。 不过Born的解释也不是没有争议的 重新思考：相位、完整性、电子云
方程相同，其中
是Hamilton的主函数。
因此，薛定谔波力学在 0 极限下给出经典力学。 若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量， 主函数S具有可分离的形式，S x, t W x Et
W x 称为Hamilton的特征函数。
x , t0 ; t x a ' e
iEat
2 2 V x 2m uE x EuE x 对能量本征态得定态薛定谔方程：
iEat iEat 2 2 i x, t Ea x a e V x x a e t 2 m
对应于非厄米算符 a 的本征态(相干态)是形状不扩展的振 荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。 a , 一般为复数
x
a 2m
a a 0 eit a 0 eit
2m
it 2Re e
随着时间的变化，等S面的空间演化与波动光学中的常相 位面即波前变化相同.
七、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解
经典Hamilton-Jacobi方程的解是
S x, t W x Et x dx 2m E V x ' Et
n 0
Cn e
2
/2
n
n!
e L
2
2 / 4 0
(L / 0 ) n 2 n n!
与 0 的关系（续）
由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与 a+ 与
a
a
等价，
等价，有 ae a
a
| 0 e
a a
|0
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
| 0 ,
m L L 2 2 0
A B A B C / 2 B A C/2 e e e e e e e , 利用
束缚态：
V x 要解方程需加边界条件，假设要求的解，E xlim '
合适的边界条件为当 x , uE x 0 即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。 由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立 的一组E值。定态薛定谔方程能级的量子化。 由定态薛定谔方程可见，寻求微观物理体系的能级与寻求 弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。
x V x x V x 3 x x ,
1 2
一、含时薛定谔方程（续）
由
i t i x , t0 ; t i x e , t0 ; t0 t t
2
x , t0 ; t
而
2 p x V x , t0 ; t 2 x , t0 ; t V x x , t0 ; t 2m 2m
故e
a a
| 0 是a的本征值为 α的本征态
2 it | a0 e a(0)e it | cost 2m m
| (t ) |
考虑到并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平 面作解析延拓，记为λ，即
| e
2m
2 R cos t i sin t
2m
以ω为角频率振荡且波包形状不随时间扩展 相干态的重要性质包括
1．
f n n , f n
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。 3． 满足最小测不准关系。
t
其中
j
i I m m 2m
该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 几率流与动量有关： d x j x, t
3
p m
t
四、波函数的解释
连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 2 2 e 此 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。
得含时薛定谔方程为
2 i x, t 2 x, t V x x, t t 2m
p2 V x 2m
基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当
时态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。
二、不含时薛定谔方程
对A和H的共同本征初态,
1 S 0 对定态 0,由连续性方程 t m x x t
得 dW 2m E V constant 故
dx
constant E V x
1 4
1 vclass
与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致 WKB解：
三、几率流连续性方程
波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 率密度， x, t x, t x , t ; t
2 2 0
在 x 附近d x 的体积内找到该粒子的几率为 由含时方程可推出连续性方程 j 0
3
x, t d 3 x
S
2
i
2
S V i
2
i t
S t
若
可看成小量，并设
S x, t
2 S S
等，则上方程中不含
1 S 2 S V 0, 的部分有 2m t
与分析力学的Hamilton-Jacobi
与的关系利用这里cab且cacb0有故与的关系续由于aa1对由a及a组成的函数a与等价a与等价有故是a的本征值为的本征态考虑到并非厄米算符本征值不一定为实数可对在复平面作解析延拓记为即24薛定谔波动方程一含时薛定谔方程薛定谔绘景坐标表象的状态随时间演化为为厄米算符且为局域的即为的实函数以后我们会讨论含时的非局域但可分离的势与动量相关的势等等
a *a
|0
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程
薛定谔绘景，坐标表象的状态随时间演化为 x, t
p V x , 2m
2
x , t 0 ; t
V x
为厄米算符，且为局域的，即
V x ' 为 x 的实函数 以后我们会讨论含时的 V x, t , 非局域但可分离的势， V x, x " V x V x " , 与动量相关的势， p A A p , 等等。
2 E V
dV
dx
或者说 必须比势变的特征长度小,即半经典图像在短 波极限下是可信的。
作业：2.19，2.24
x, t
constant E V x
1 4
i exp
x
iEt dx 2m E V x
八、WKB近似成立条件：
2 s s
2
条件对应于：
d 2W dW dx 2 dx
2
dW 2m E V dx
2m dV d 2m E V d 2W dx dx 2 dx 2 E V
d 2W 2 dx 2 2 p 2m 2m dV 2m E V dx d 2W 2 2 2 2m E V dx 2 dV dV 2m 2m dx dx
虽然形式上我们有
但将
S . v 0 t m t
j 解释成 v 需要坐标与速度的同时精确测量而不
可能（测不准关系）。
六、经典极限
据薛定谔方程有：
2
2 1 2i . S 2 2m
这里C=[A,B], 且[C,A]=[C,B]=0
有
e
e
a a
e
a a 2 / 2
e
e
,
2 / 2
a a
| 0 e
2 / 2 a
e
| 0 e
n 0
n
n!
|n
故 | T ( L) | 0 C ( ), n n
2
为几率密度的统计
五、波函数的相位
i S S , j 由 得： m
S为实数，ρ是几率密度。S的含义？
iS x, t x, t x, t exp
可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 S p.
奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 Born提出了被广泛接受的解释，即 解释。 不过Born的解释也不是没有争议的 重新思考：相位、完整性、电子云
方程相同，其中
是Hamilton的主函数。
因此，薛定谔波力学在 0 极限下给出经典力学。 若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量， 主函数S具有可分离的形式，S x, t W x Et
W x 称为Hamilton的特征函数。
x , t0 ; t x a ' e
iEat
2 2 V x 2m uE x EuE x 对能量本征态得定态薛定谔方程：
iEat iEat 2 2 i x, t Ea x a e V x x a e t 2 m