北师大版九年级上学开学考数学试卷(测三角形的证明、因式分解、分式方程、二次方程、四边形)解析版

北师大版九年级上学期开学考数学试卷
测试范围：三角形的证明、因式分解、分式与分式方程、一元二次方程、四边形
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．3x2++6＝0B．x2﹣1＝（x﹣2）2
C．ax2+bx+c＝0D．4x2＝0
【考点】一元二次方程的定义．版权所有
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意；
B、方程化简可得4x＝5，是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、当a＝0时该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（3分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）
A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2+6x+9＝（x+3）2
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【考点】因式分解的意义．版权所有
【分析】利用因式分解的定义判断．
【解答】解：x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1，A选项不是因式分解；
x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，B选项不是因式分解；
x2+6x+9＝（x+3）2，C选项是因式分解；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，D选项不是因式分解．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项中不能判定平行四边形ABCD是菱形的条件是（）
A．∠ABD＝∠CBD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．版权所有
【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断A，C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断D．
【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B．∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
C．∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
4．（3分）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）
A．B．
C．D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则x2﹣3x+＝﹣1+，即（x﹣）2＝，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）如图，E，F分别是▱ABCD的两对边AD，BC的中点，则图中平行四边形一共有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】平行四边形的判定与性质．版权所有
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证AE＝ED＝BF＝CF，得四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，则AF∥CE，BE∥DF，然后证四边形GFHE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：设AF与BE交于点，CE与DF交于点H，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分别为平行四边形ABCD两对边AD、BC的中点，
∴AE＝ED＝AD，BF＝CF＝BC，
∴AE＝ED＝BF＝CF，
∴四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形GFHE是平行四边形，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴图中平行四边形一共有6个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】分式的基本性质．版权所有
【分析】根据分式的变号法则对A进行判断；根据约分对B．C．D进行判断．
【解答】解：A.＝﹣，故A选项错误；
B.＝＝，故B选项错误；
C.＝＝x﹣y，故C选项正确；
D.＝＝，故D选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的性质是解题关键．
7．（3分）在平行四边形ABCD中，AD＝8，AF平分∠BAD交直线BC于点F，DF平分∠ADC交直线BC 于点F，且EF＝2，则AB的长为（）
A．3B．5C．2或3D．3或5
【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质．版权所有
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC ＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，
∴AB＝5；
②如图2：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质是解答本题的关键．
8．（3分）计算（4y2﹣x2）÷（x2﹣4xy+4y2）的结果是（）
A．B．C．D．
【考点】整式的除法．版权所有
【分析】先分解因式，再根据整式除法法则进行计算．
【解答】解：原式＝（2y+x）（2y﹣x）÷（x﹣2y）2＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解，整式的除法，关键在于运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）若分式无意义，则x的值为．
【考点】分式有意义的条件．版权所有
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意得：|x|﹣3＝0，
解得x＝±3．
故答案是：±3．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0，无意义的条件是分母等于0．
10．（3分）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是度．
【考点】多边形内角与外角．版权所有
【分析】根据五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，再根据正五边形的各个内角都相等求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵ABCDE是一个正五边形，
∴五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠ABC＝540°÷5＝108°．
【点评】掌握多边形的内角和定理以及正多边形的性质．
11．（3分）长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为．
【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有
【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，
∴2（a+b）＝10，ab＝6，
故a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题关键．12．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】连接CG．证明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．
【解答】解：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH＝CD＝，
∴CH＝CD﹣DH＝2﹣＝，
∴最小值＝CH•sin45°＝×＝．
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，解决此题的关键是△ADE ≌△CDG得到∠DCG＝∠DAE＝45°，证明出点G的运动轨迹是射线CG．
13．（3分）一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，
解得m＝．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE＝AD，过点D作DF⊥AE于点F，若AB＝3，BC ＝5，则四边形DFEC．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】连接DE，由AE＝AD，根据题意求得DC＝DF，由勾股定理，求出AF＝4，从而得出EF＝1，然后把四边形DFEC分成两个直角三角形，从而求其面积．
【解答】解：如图：连接DE，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵DF⊥AE，
∴∠EDF+∠AED＝90°，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠FDE＝∠CDE，
又DE＝DE，∠DFE＝∠C＝90°，
∴△CDE≌△FDE（AAS），
∴EC＝EF，DC＝DF，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AF＝4，EF＝1，
∴S四边形DFEC＝S△CDE+S△EDF＝3×1÷2×2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．还考查到同角的余角相等，把四边形的面积转化成两个三角形的面积来计算．
三．解答题（共6小题，满分58分）
15．（5分）先化简，再求值：，b＝a+1．
【考点】分式的化简求值．版权所有
【分析】先将分母分解因式，然后通分，再根据同分母分式加法的法则计算即可化简题目中的式子，然后将b＝a+1代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝+
＝
＝
＝，
当b＝a+1时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．（15分）解下列方程：
（1）；
（2）2x2﹣5x﹣1＝0；
（3）x2﹣4x+2＝0；
（4）（x+3）（x﹣6）＝﹣8．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解分式方程；解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可；（2）利用公式法求解即可；
（3）利用配方法求解即可；
（4）整理为一般式，再利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x+1）＝2（x﹣1），解得x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣1）＝24≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（3）∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣10＝0，
则（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（7分）已知：∠A和∠A一边上的点B．求作：▱ABCD，满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质；平行四边形的判定．版权所有
【分析】先过B点作∠A的另一边的垂线得到BD，再分别以B、D为圆心，AD、AB为半径画弧，两弧相交于点C，则四边形ABCD满足条件．
【解答】解：如图，▱ABCD为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
18．（9分）某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用4天；如果甲、乙先合做2天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成全部工程所用的时间．【考点】分式方程的应用．版权所有
【分析】设甲单独完成全部工程需要x天，则乙单独完成全部工程需要（x+4）天，根据甲完成的工程量+乙完成的工作量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲单独完成全部工程需要x天，则乙单独完成全部工程需要（x+4）天，
依题意得：+＝1，
整理得：2x﹣8＝0，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：甲单独完成全部工程需要4天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．版权所有
【分析】（1）根据矩形的性质得出DC∥AB，根据平行线的性质得出∠FDO＝∠EBO，根据全等三角形的判定得出△DFO≌△BEO，根据全等三角形的性质得出DF＝BE，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据菱形的判定推出三角形DEBF是菱形，根据菱形的性质得出DE＝BE，根据勾股定理求出BE，再求出面积即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵O是BD的中点，
∴DO＝BO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DC∥AB（即DF∥BE），
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形，
∴DE＝BE，
设DE＝BE＝x，
在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即BE＝，
∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
20．（12分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．
①求证：PM＝QN；
②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为8．
【考点】四边形综合题．版权所有
【分析】（1）由菱形的性质得出BC＝DC，∠BCD＝120°，由旋转的性质得PC＝QC，∠PCQ＝120°，得出∠BCP＝∠DCQ，由SAS得出△BCP≌△DCQ即可
（2）①由全等三角形的性质得出BP＝DQ，得出∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，则∠QEN＝∠QNE，得出∠QED＝∠QNC＝∠PMB，证明△PBM≌△QDE （AAS），即可得出结论；
②由①知PM＝QN，得出MN＝PQ＝PC，当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°
由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠BCD＝∠DCQ，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，
∴BP＝DQ，
∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．
在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：
则∠QEN＝∠QNE，
∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，
在△PBM和△QDE中，，
∴△PBM≌△QDE （AAS），
∴PM＝QE＝QN．
②解：由①知PM＝QN，
∴MN＝PQ＝PC，
∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，
则PC＝2，BC＝2PC＝4，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；
故答案为：8．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。