廊坊市2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题含解析

廊坊市2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有( ) A ．84种 B ．60种 C ．42种 D ．36种
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数. 【详解】
解:第一期培训派1人时，有1
2
44C C 种方法, 第一期培训派2人时，有2
2
2
432C C A 种方法,
故学校不同的选派方法有12222
4443260C C C C A +=，故选B.
【点睛】
本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.
2．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别1F ，2F ，焦距为4，若以原点为圆心，12F F 为直径
的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）
A ．22
184
x y +=
B ．22
13216
x y +=
C ．22
148x y +=
D ．221164
x y +=
【答案】A 【解析】 【分析】
已知2c ，又以原点为圆心，12F F 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有b c =，于是可得a ，从而得椭圆方程。

【详解】
∵以原点为圆心，12F F 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，
∴b c =，又24c =即2c =，∴a ==
∴椭圆方程为22
184
x y +=。

故选：A 。

【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定,,a b c 的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定,b c 关系。

3．已知0a <，若4
(2x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A ．1 B ．8
C ．24
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】
根据题意， 在4
(2x 中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.
4．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ） A ．
4
81
B ．
881
C ．427
D ．827
【答案】D 【解析】
分析：利用二项分布的概率计算公式：概率22
2422133P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可得出．
详解：：∵每次投篮命中的概率是
2
3
， ∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率2
2
242281.3327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是8
27
． 故选D.
点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．
5．如图所示的电路有a ，b ，c ，d 四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为
1
2
且是相互独立的，则灯泡
甲亮的概率为（ ）
A ．
116
B ．
18
C ．
316
D ．
14
【答案】C 【解析】 【分析】
由独立事件同时发生的概率公式计算．把,c d 组成一个事整体，先计算它通路的概率． 【详解】
记,c d 通路为事件M ，则2
13()1()2
4
P M =-=， 所以灯泡亮的概率为113322416
P =⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】
本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可． 6．已知集合{|0}M x R x =∈>，集合{|lg(3)}N x R y x =∈=-，则（ ） A ．{|3}M N x x =<I B ．{|3}M N x x =<U C ．{|03}M N x x =<<I D ．()R C M N =∅I
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对数函数的定义域，化简集合集合N ，再利用交集的定义求解即可. 【详解】
因为集合{|0}M x R x =∈>，集合{}{|lg(3)}|3N x R y x x x =∈=-=<， 所以由交集的定义可得{|03}M N x x =<<I ，故选C. 【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 7．在△ABC 中，4a =，5
2
b =
，5cos(B C)30++=，则角B 的大小为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
6π或56
π 【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据三角形内角和为π，即可算出角A 的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】
在△ABC 中有A B C π++=,所以B C A +=π-,所以
()3
5cos(B C)305cos 30cos 5A A π++=⇒-+=⇒=
,又因为0A π<<,所以02
A π<<
，所以4sin 5A ==,因为4a =，52
b =，所以由正弦定理得sin 1
sin 2b A B a ==，因为a b A B >⇒>,
所以6
B π
=。

所以选择A
【点睛】
本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为π。

2、正弦定理。

3、余弦定理等。

属于中等题。

8．在掷一枚图钉的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩针尖向上
针尖向下，若随机变量X 的分布列如下：
则EX =（） A ．0.21 B ．0.3
C ．0.5
D ．0.7
【答案】D 【解析】 【分析】
先由概率和为1，求出p ，然后即可算出EX 【详解】
因为0.31p +=，所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选：D 【点睛】
本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单. 9．已知复数()1z ai a R =+∈，若2z 为纯虚数，则||z =（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
计算2z ，根据纯虚数的概念，可得2a ，然后根据复数的模的计算，可得结果. 【详解】
2212i z a a =-+Q 为纯虚数，
2210,1a a ∴-==，
||z ∴==
故选：B 【点睛】
本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题. 10．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
<
成立，只需证
2
2
<；
③用数学归纳法证明2
2
3
1
111n n a a a a a a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++；
④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。

②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。

③令1n =代入左式即可判断。

④整数并不属于大前提中的“有些有理数” 【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错
<
0 <<
，故只需证
22
->，②错
2
231
1
1
1
n
n
a
a a a a
a
+
+
-
+++++=
-
L（1
a≠，n∈+N，当1
n=时，左边所得项为2
1a a
++；③正确
命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确
综上所述：①②错③④正确
故选B
【点睛】
本题考查推理论证，属于基础题。

11．已知二次函数2
()
f x x ax b
=--在区间[1,1]
-内有两个零点，则22
H a b
=+的取值范围为（）A．(0,2]B
．C．(0,1]D
．(
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出二次函数2
()
f x x ax b
=--在区间[1,1]
-内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出22
H a b
=+的取值范围.
【详解】
因为二次函数2
()
f x x ax b
=--在区间[1,1]
-内有两个零点，所以有：
2
(1)010
(1)010
1111
22
040
f a b
f a b
a a
a b
≥+-
⎧⎧
⎪⎪
-≥--
⎪⎪
⎪⎪
⇒
⎨⎨
-<-<-<-<
⎪⎪
⎪⎪
∆>+>
⎪⎪
⎩⎩
…
…
，对应的平面区域为下图所示：
则令2
2111
20102222
m a b b a m m m =+∴=-+∴<≤∴<≤，则22H a b =+的取值范围为(0,2]，故本题选A. 【点睛】
本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键. 12．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；
②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，32
0010x x -+>”
③若p ：1x >，q :1
1x
<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．
详解：①若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少一个是假命题，故①错误；
②命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“32
00010x R x x ，＞∃∈-+”，故②正确；
③若x ＞1＞0，则11x ＜
，反之，若11x
＜，则x ＜0或x ＞1． 又p ：x ≤1，q ：11x
＜
，∴￢p 是q 的充分不必要条件，故③正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：C ．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．幂函数221()(21)m f x m m x -=-+在(0,)+∞上为增函数，则实数m 的值为_______． 【答案】2
【解析】 【分析】
由函数()f x 是幂函数，列方程求出m 的值，再验证是否满足题意． 【详解】
解：由函数()()
2
21
21m f x m m x
-=-+是幂函数，则2211m m -+=，解得0m =或2m =；
当0m =时，()1
f x x -=，在()0,+∞上为减函数，不合题意；
当2m =时，()3
f x x =，在()0,+∞上为增函数，满足题意．
故答案为2． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
14．圆1C ：22
1x y +=在矩阵2001M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦对应的变换作用下得到了曲线2C ，曲线2C 的矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到了曲线3C ，则曲线3C 的方程为__________． 【答案】2
2
14
y x +=
【解析】 分析：
详解：012001100120NM --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
设(),P x y 为曲线3C 上任意一点，()000,P x y 是圆1C ：2
2
1x y +=上与P 对应的点，
000120x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得
002x y y x =-=，∴002y
x y x ==-， 0P Q 是圆1C 上的点，
∴3C 的方程为()2
212y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即22
14y x +=.
故答案为：2
2
14
y x +=.
点睛：本题考查了几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想. 15．函数()1ln x f x x
+=
的图像在1
e x =处的切线方程为_______.
【答案】2
e e y x =- 【解析】 【分析】
对函数求导，把1
e
x =分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程。

【详解】
()2
2ln 11,e ,0e e x f x f f x -⎛⎫⎛⎫''=
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的图像在1e x =处的切线方程为21e e y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，即
2e e y x =-.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题。

16．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(1)0.2P ξ<=，(12)0.3P ξ≤<=，则(3)P ξ<=． 【答案】0.8 【解析】
分析：先根据正态分布曲线对称性求(3)P ξ>，再根据()()313P P ξξ<=-≥求结果.
详解：因为正态分布曲线关于2x =对称，所以(3)?
(1)0.2P P ξξ>=<=, 因此()()31310.20.8P P ξξ<=-≥=-=
点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． (1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率； (2)求η的分布列及期望()E η． 【答案】 (1)0.288； (2)240. 【解析】
试题分析：（1）每位顾客采用1期付款的概率为0.4，3位顾客采用1期付款的人数记为X ，则
(3,0.4)X B ~，
（2）分别计算利润为200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；
试题解析：（1）22
30.4(10.4)0.288P C =-=；
（2）η的可能取值为200元，250元，300元. P （η=200）=P （ξ=1）=0.4，
P （η=250）=P （ξ=2）+P （ξ=3）=0.2+0.2=0.4， P （η=300）=1-P （η=200）-P （η=250）=1-0.4-0.4=0.2. η的分布列为： 200 250 300 P
0.4
0.4
0.2
E （η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）. 考点：1.二项分布；2.分布列与数学期望；
18．已知集合{|22}A x a x a =-+剟
，{}
2|41270B x x x =+-„. （1）求集合B 的补集B R ð；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）7{|2R B x x =<-ð或1
}2x >；（2）112
a …
【解析】 【分析】
（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；
（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围． 【详解】
（1）2
71
{|41270}{|}22
B x x x x x =+-=-剟?， 7{|2
R B x x ∴=<-ð或1
}2x >．
（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，
∴722122
a a ⎧
--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„…
，
解得：112a …， 即a 的取值范围是112a …
． 【点睛】
本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.
19．在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．
【答案】823
；证明见解析 【解析】
【分析】
根据三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A ）3,3；（B ）5,5；（C ）4，5；（D ）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2的棱为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I ）（A ）与（B ），（II ）（A ）与（C ）；（III ）（B ）与（C ），于是问题转化为对棱长分别为（I ）（II ）（III ）的四面体来计算体积的最大值（或估计）.
【详解】
由三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A ）3,3；（B ）5,5；（C ）4，5；（D ）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I ）（A ）与（B ），（II ）（A ）与（C ）；（III ）（B ）与（C ）.
对情形（I ）（A ）与（B ），四边形ABCD 沿AB 折叠后使4CD =，则由222345+=得
,CD AC CD BC ⊥⊥，即CD 是四面体以ABC 为底面的高，
∴体积为118233
ABC V S CD ∆=⋅=；
对情形（II ）（A ）与（C ）四边形ABCD 沿AB 折叠后使5CD =，有两种情形，它们体积相等，记为2V ，∵222245+<，∴ABD ∠为钝角，BD 与平面ABC 斜交，
∴211433ABC ABC V S BD S V ∆∆<⋅==；
对情形（III ），（B ）与（C ），这样的四面体也有两个，体积也相等，记为3V ，
3111823323
ABD ABD V CD S S AD AB V ∆∆≤⋅=≤⋅=<=.
∴最大体积为
823. 【点睛】 本题考查四面体的体积，解题关键是找到以棱长为2的棱为突破点，分析以它为边的两个三角形的边长可能有哪些情形，然后一一求出它们的体积（可估计体积大小），再比较.难度较大.
20．已知二项式2121(2)x x +．
（1）求展开式中的常数项；
（2）设展开式中系数最大的项为t mx 求t 的值。

【答案】（1）7920；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)直接利用展开式通项,取x 次数为0,解得答案.
(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案.
【详解】
解：（1）展开式中的通项()1221224311212122r
r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2430r -=得8r =所以展开式中
的常数项为841227920C =
（2）设展开式中系数最大的项是1r T +，则1211112121211312
122210133
322r r r r r r r r C C x C C -+----⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩ 所以4r =代入通项公式可得12t =. 【点睛】
本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.
21．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB 2π
=，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，且AC ＝BC ＝AA 1＝1．
（1）求直线BC 1与A 1D 所成角的大小；
（1）求直线A 1E 与平面A 1CD 所成角的正弦值．
【答案】（1）
6π（13【解析】
【分析】 （1）建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出1(0,2,2)BC =-u u u r ,1(1
,1,2)A D =--u u u u r ,根据111111cos <,BC A D BC A D BC A D
⋅>=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,即可求得直线BC 1与A 1D 所成角的大小; （1）由于平面1A CD 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,求出平面1A CD 的法向量n r ,求1u u u r A E 和n r
的夹角,即可求得答案.
【详解】
（1）分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．
如图:
则由题意可得:(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0)A B C ，
l l l (2,0,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C ，
又∵,D E 分别是1,AB BB 的中点，
(1,1,0),(0,2,1)D E ∴
∴ 11(0,2,2),(1,1,2)BC A D =-=--u u u r u u u u r
∴ 1111113cos <,226BC A D BC A D BC A D ⋅>===⋅⨯u u u r u u u u r u u u r u u u u r ∴直线BC 1与A 1D 所成角的大小6
π.
（1）设平面1A CD 法向量为(,,)n x y z =r 由100
CA n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,可取1x = (1,1,1)n ∴=--r
又1(2,2,1)
A E =--u u u r Q 1113cos <,33A E n A E n A E n
⋅>===⨯⋅u u u r r u u u r r u u u r r ∴直线1u u u r A E 与平面1A CD 所成角的正弦值为33
【点睛】
本题考查立体几何中异面直线夹角,线面所成角的求法.根据题意画出几何图形,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.
22．设()ln a f x x x x
=+，()323g x x x =--． （Ⅰ）如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；
（Ⅱ）如果对于任意的1s,t ,22
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）M ＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).
【解析】
分析：（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M ； （II ）对于任意的s 、t ∈[12
，2]，都有f （s ）≥g （t ）成立等价于f （x ）≥g （x ）max ，进一步利用分离参数法，即可求得实数a 的取值范围；
详解：（I ）存在x 1、x 2∈[0，2]，使得g （x 1）﹣g （x 2）≥M 成立等价于g （x ）max ﹣g （x ）min ≥M ∵g （x ）=x 3﹣x 2﹣3，∴()2'33g x x x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭ ∴g （x ）在（0，23）上单调递减，在（23
，2）上单调递增 ∴g （x ）min =g （23）=﹣8527
，g （x ）max =g （2）=1 ∴g （x ）max ﹣g （x ）min =11227
∴满足的最大整数M 为4；
（II ）对于任意的s 、t ∈[
12，2]，都有f （s ）≥g （t ）成立等价于f （x ）≥g （x ）max ． 由（I ）知，在[12
，2]上，g （x ）max =g （2）=1 ∴在[12，2]上，f （x ）=a x
+xlnx≥1恒成立，等价于a ≥x ﹣x 2lnx 恒成立 记h （x ）=x ﹣x 2lnx ，则h′（x ）=1﹣2xlnx ﹣x 且h′（1）=0
∴当112x ＜＜时，h′（x ）＞0；当1＜x ＜2时，h′（x ）＜0
∴函数h （x ）在（12
，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减， ∴h （x ）max =h （1）=1
∴a≥1
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.。