苏教版高中数学必修4《向量的数量积(第2课时)》参考教案1

2.4 向量的数量积（2）
教学目标：
1．掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
2．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；
3．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力． 教学重点：
运算律的理解和平面向量数量积的应用．
教学难点：
平面向量的数量积运算律的理解．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、复习导引
复习提问：
1．（1）两个非零向量夹角的概念；
（2）平面向量数量积的定义；
（3）“投影”的概念；
（4）向量数量积的几何意义；
（5）两个向量的数量积的性质．
2．判断下列各题正确与否：
①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； (√ )
②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × )
③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × )
④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × )
⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × )
⑥对任意向量a ，有2
2||a a =． ( √ )
二、学生活动
问题1 已知实数a ，b ，c (0≠b )，则c a c b b a =⇒⋅=⋅.a b ⋅=b ·c ⇒a =c 是否成立？
问题2 实数的运算律有ab =ba ；a (b +c )=ab +ac ；(ab )c =a (bc )．在向量的数量积中是否成立？（举例说明）
三、建构数学
1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．
（1）交换律：a b b a ⋅=⋅；
证明：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅，∴a b b a ⋅=⋅．
（2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
证明：若0=λ，此式显然成立．
若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，
()||||cos a b a b λλθ⋅=，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，
()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．
∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
综上可知()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅成立．
（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
在平面内取一点O ，作−→−OA =a , −→−AB =b ，−→−OC =c ∵a b +（即−→−OB ）在c 方向上的投影等于,a b 在c
方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅
θ
2 a b B B C
c
即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
说明：（1）一般地，(a b ⋅)·c ≠a ·（b ·c ） （2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b
（3）有如下常用性质：a 2＝|a |2,(a ＋b )2＝a 2＋２a b ⋅＋b 2
（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d , 2．向量的数量积不满足结合律．
分析：若有（a b ⋅）c ＝a （b ·c ），设a 、b 夹角为α，b 、c 夹角为β，则(a b ⋅)c
＝|a |·|b |cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·|b ||c |cos β，∴若a ＝c ，α＝β，则|a |＝|c |，进而有：
（a b ⋅）c ＝a ·(b •c )，这是一种特殊情形，一般情况下不成立．举反例如下： 已知|a |＝１，|b |＝１，|c |＝2，a 与b 夹角是60°，b 与c 夹角是45°，
(a b ⋅)·c ＝（|a |·|b |cos60°）·c ＝2
1c ， a ·(b ·c )＝（|b |·|c |cos45°）a ＝a 而2
1c ≠a ，故（a b ⋅）·c ≠a ·（b ·c ） 四、数学运用
1．例题．
例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角．
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．
变式1 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．
变式2 如图，,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点．
A B C
E F H
变式3 用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点．
例3 四边形ABCD 中，−→−AB =a ，−→−BC =b ，−→−CD =c ，−→
−DA ＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形？ 例4 设a 与b 是夹角为60°，且|a |>|b |，是否存在满足条件的a ，b ，使|a +b |=2|a -b |？请说明理由．
2．巩固．
（1）已知|a |=1,|b |=2，（1）a -b 与a 垂直，则a b ⋅的夹角是______； （2）若a //b ，
a b ⋅___=； （3）若a 、b 的夹角为
3
π，则|a +b |____=； （2）已知|a |=2,|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量a -4b 的模为_____；|a -4b |·|a -b |____=
（3）设1e 、2e 是两个单位向量，其夹角为060，求向量a =21e +2e 与b =22e -31e 的夹角；
（4）对于两个非零向量a ，b ，当a tb +()t R ∈的模取最小值时，①求t 的值； ②求证：b 与a tb +垂直．
五、回顾反思
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题．。