江苏省海门市包场高级中学高考数学一轮复习 椭圆的定

§9.8 椭圆的定义及其几何性质（二）
二、知识要点：
1．椭圆的第二定义： 到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 2．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．
(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．
(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．
三、课前热身：
1．过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为
2．点P 为椭圆221259x y +=上一点，它到左准线的距离为52
，则它到右焦点的距离为___________
3．M 是椭圆22
16448
x y +=上的一点，21,F F 分别是椭圆的左、右两焦点，若21MF MF =，则点M 的坐标是_______
4．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5.5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于
四、典型例题：
例1：若P 是椭圆13
42
2=+y x 上的点，F 1和F 2是焦点，则21PF PF k ⋅=的最大值与最小值的差为___________
问：（1）1PF 的最大值与最小值分别为
（2）2
1PF PF k ⋅=有最值吗？若有，求出来。

例2：已知椭圆22186x y +=内有一点P （1，—1），F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP+2MF 的最小值。

★变式：MP+MF 的最小值。

例3：椭圆C:122
22=+b y a x （0>>b a ）的左焦点为F,上顶点为A,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 和x 轴正半轴于点 P,Q, 85
AP PQ =u u u r u u u r (1)求椭圆C 的离心率
（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线330x y ++=相切，求椭圆C 的方程。

例4：设21,F F 分别是椭圆E:122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且22,,BF AB AF 成等差数列.
(1)求椭圆E 的离心率；（2）设点)1,0(-P 满足PB PA =，求椭圆E 的方程。

五、课堂小结：
六、感悟反思：
1．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，这个椭圆方程为____________
2．已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，
若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =____________
七、千思百练：
1．椭圆221259x y +=上点P 与椭圆两焦点的连线互相垂直，则点P 的坐标为________ 2．12F F ，分别是椭圆22221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是_________ 3．已知21,F F 是椭圆的两个焦点。

过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是____________
4．在ABC △中，AB BC =，7cos 18
B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = ．
5．已知椭圆22194
x y +=，P 为椭圆上的任意一点，l 为经过长、短轴顶点的一条直线，则P 到l 的距离的最大值是____________
6．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r ，则椭圆的离心率是____________
7．已知椭圆22221(0)x
y a b a b
+=>>的离心率6e =A(0,-b)和点B(a,0)的直线与原点3，则椭圆的方程为 。

8．在平面直角坐标系中，椭圆22
22x y a b
+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．
9．已知椭圆12
222=+b y a x （0>>b a ）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点)0,(2
c
a E 的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且||2||,//2121B F A F B F A F = （1）求椭圆的离心率
（2）直线AB 的斜率；
★（3）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点H(m,n)(0≠m )在C AF 1∆的外接圆上，求
m
n 的值。

10．在直角坐标系xOy 中，椭圆22
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x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点A 为椭圆的左顶点，椭圆上的点P 在第一象限，12PF PF ⊥,⊙O 的方程为224x y +=
（1）求点P 坐标，并判断直线2PF 与⊙O 的位置关系；
（2）是否存在不同于点A 的定点B ,对于⊙O 上任意一点M ,都有MB MA
为常数，若存在，求所以满足条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由。

11．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形。

（1）求椭圆方程；
（2）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于
点P .证明：→
→⋅OP OM 为定值；
（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆
恒过直线MQ DP ,的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。