广东省佛山市第一中学2015届高三10月月考数学(理)试卷

佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考试题
命题人 谭江南 审题人 卢志常
2014.10.14
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合A ＝{x|－x 2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则A ∩B ＝( )
A ．{x|－3<x<－1}
B ．{x|－3<x<0}
C ．{x|x<－1}
D ．{x|x>0} 2．函数2
cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数
A ．π[0, ]2
B ．π[, π]2
C ．[]0, π
D ．[]π, 2π 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11
(,)28
-
-，则2log (4)f 的值为 A ． 3 B ．4 C ．6 D ．－6 4．已知函数()12sin()cos()2
f x x x π
π=++-
，则()f x 是
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
5．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3
2
，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
6．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于
A ．14a ＋12b
B ．23a ＋13b
C ．12a ＋14
b
D ．13a ＋2
3
b
8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在
[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]
a b 称为“关联区间”．若2
()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则
m 的取值范围为
A. 9(,2]4-
- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9
(,)4
-+∞
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)
9．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于________．
10．已知向量a 与b 的夹角为2π
3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. 11．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，
已知a =4
B π
=， ，求b .”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小，且
答案提示b =
试在横线上将条件补充完整.
12．若数()f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a =__________.
13．直线2()y x m m R =+∈和圆12
2
=+y x 交于A 、B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为α,β,则)sin(βα+的值为_________.
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，设A 、B 分别在曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 23cos 24y x （θ为参数）和曲线21=ρ上，
则||AB 的取值范围是_______
15．（几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，
4,8PC PB ==，则OBC S ∆= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24
C =-. （Ⅰ）求sin C ；
（Ⅱ）当2c a =，且b =a .
17．（本题满分12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数
据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分
布列极其均值（即数学期望）。

18．（本题满分14分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
SA ⊥底面ABCD ，2AB =，1AD =， SB =，120BAD ∠=，
E 在棱SD 上.
(Ⅰ) 当3SE ED =时，求证：SD ⊥ 平面AEC ； (Ⅱ) 当二面角S AC E --的大小为30时， 求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称.
（Ⅰ）求函数)(x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角,若2
3)()(=
-A g A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．
20．（本题满分14分）
已知函数)0()(,ln )(>=
=a x
a
x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若以(]3,0)((∈=x x F y ）图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤
k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(
2
-++=m x a
g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。

21．（本题满分14分）
已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意M x f ∈)(，①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ．
（Ⅰ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意
[]D n m ⊆,，都存在()n m x ,0∈，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立．试用这一性
质证明：方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根；
（Ⅱ）对任意M x f ∈)(，且(),x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当
112<-x x ，且113<-x x 时，2)()(23<-x f x f .
佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考参考答案(10.14)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
9．－2 10．1 11．6
A π
=
（或712C
π=
） 12． 13．45- 14．
515[,]22
15． 18
5 三、解答题：本大题共6小题,共80分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得
2312sin 4C -=-.所以27
sin 8
C =.……………………………………2分
因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以
sin C =
.
……………………………………5分 （Ⅱ）因为2
c a =
，所以1sin sin 2A C =
=
.
……………………………………7分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以
cos C =
，cos
A =. …………………9分 所以sin sin()
B A
C =+sin cos cos sin A C A C =+
=
=
……………………………………11分 sin a
A
=
，所以a =. ……………………………………12分 17．（本题满分12分） 解：（1）
98
7,573514
=⨯=，即乙厂生产的产品数量为35件。

………………………2分 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2
,5
故乙厂生产有大约2
35145
⨯=（件）优等品……………………………………5分
（3）ξ的取值为0，1，2。

……………………………………
6分
211
23323222555331
(0),(1),(2)10510
C C C C P P P C C C ξξξ⨯========= (9)
分
所以ξ的分布列为
分
故3314
012.105105
E ξξ=⨯
+⨯+⨯+=的均值为……………………………………12分 18．（本题满分14分） 解：在ABCD 中,
2,1,120AB AD BAD ==∠=,
,CA AD ∴⊥ 又SA ABCD ⊥平面 ……………………………………1分 ∴以A 为坐标原点，,,AC AD AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标
系，则()0,0,0A ,)
C
,()0,1,0D ……………………………………2分
7,SB SA =∴= (S ∴……………………………………3分
(1)
3SE ED = 30,4E ⎛∴ ⎝……………………………………4分
()(
)
330,1,3,0,,,3,0,04SD AE AC ⎛⎫
=-==
⎪ ⎝
0,0SD AE SD AC ∴⋅=⋅=
SD AEC ∴⊥平面……………………………………6分
(2)
SAD AC ⊥平面,SA ⊥底面ABCD ，
AC ,AE AC SA ∴⊥⊥
∴SAE ∠为二面角S AC E --的平面角,即SAE ∠=30,…………………………8分
此时Ｅ为SD 的中点 10,2E ⎛ ⎝
设平面CDE 的法向量为(),,n x y z = 计算可得()
1,3,1n =…………………………11分
10,2AE ⎛= ⎝ 15
cos ,n AE ∴=……………………………………13分
即直线AE 与平面CDE (14)
分 19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得：21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -=-=
1sin(2)26
x π
=
-+ ………………………………………………………2分 所以)62sin(21)(π
---=x x g ………………………………………………3分
因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx 所以当2
62π
π
-
=-
x 即6
π
-
=x 时，函数)(x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,4ππ上的最大值为21.……7分
（Ⅱ）由23)()(=-A g A f 得：2
3
)62sin()62sin(1=-++-ππA A …………………8分 化简得：212cos -=A 又因为02A π<<，解得：3π
=A …………………………10分 由题意知：32sin 2
1
==∆A bc S ABC
，解得8=bc ，……………………………………11分 又7=+c b ,所以2
2
2
2
2cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+
1
4928(1)252
=-⨯⨯+= ……………………………………13分
故所求边a 的长为5. …………………………………………………………………14分 20．（本题满分14分）
解.(Ⅰ) F )0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x x
a
x x a x x F …2分
）上单调递增。

在（由+∞∴+∞∈⇒>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a
由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F (4)
分
（Ⅱ）恒成立)30(21)(),30()(02
002≤<≤-='=≤<-=
'x x a x x F k x x a
x x F max 02
0)2
1(x x a +-
≥ …………………6分
当212110200取得最大值时，
x x x +-= 2
1
,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………8分
（Ⅲ）若21
211)12(22
-+=-++=m x m x a g y 的图象与 )1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，
即
)1ln(2
1
2122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即 2
1
21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。

…………………10分
令2
121)1ln()(22
+-+=x x x G ，
则1
)
1)(1(1212)(2232+-+-=
+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。

当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：
由表格知：02ln )1()1()(,2
)0()(>=-===
=G G x G G x G 极大值极小值。

…………………13分 画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2
1
(∈m 时，
恰有四个不同的交点，与m y x G y ==)(
的图象与
时，当21
211)1
2()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m 交点。

的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ……………………………………14分 21．（本题满分14分）
（Ⅰ）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根α，β()αβ≠，
则()0f αα-=，()0f ββ-=.……………………………………2分 不妨设βα<，根据题意存在),(βα∈c ， 满足)()()()(c f αβαf βf '-=-.
因为()f αα=，ββ=)(f ，且βα≠，所以1)(='c f .……………………5分 与已知1)(0<'<x f 矛盾.又0)(=-x x f 有实数根，
所以方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根. (6)
分
（Ⅱ）当32x x =时，结论显然成立；……………………………………7分 当32x x ≠，不妨设23a x x b <<<.
因为(),x a b ∈,且,0)(>'x f 所以)(x f 为增函数，那么)()(32x f x f <. 又因为01)(<-'x f ，所以函数x x f -)(为减函数， ………………………9分 所以3322)()(x x f x x f ->-.
所以2323)()(0x x x f x f -<-<，即2323)()(x x x f x f -<- (10)
分
因为112<-x x ，所以1211x x -<-<， （1） 又因为113<-x x ，所以3111x x -<-<， （2）
（1）+（2）得2232<-<-x x 即223<-x x .………………………12分 所以2323)()(x x x f x f -<-2<.……………………………………13分 综上，对于任意符合条件的1x ,23,x x 总有2)()(23<-x f x f 成立.……………
14分。