2005年浙江省普通高校2+2联考《高等数学B》
浙江省2005高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
2005浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一、 计算题（每小题12分，满分60分）1、计算23400sin ln(1)38lim (sin )(1)xx x x x t t dt x x e →+-+--⎰. 解: 3200sin 1cos 1limlim 36x x x x x x x →→--== 原式34050sin ln(1)386lim x x x x t t dt x →+-+=⎰3240sin ln(1)26lim 5x x x x x x→+-+= 230sin 3cos ln(1)2126lim 20x x x x x x x x→++-++= 22cos (1)cos sin sin ln(1)231(1)lim10x x x x xx x x x x x→+--+++-+++= 22200cos (1)cos sin 23sin ln(1)1(1)lim lim 1010x x x x x xxx x x x x x →→+-+-+-+++=+ 2222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010(1)x x x x x x x x x →+--+++=-++ 222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010x x x x x x x x →+--+++=-+ 201cos 2(1)sin 4(1)3(1)6(1)lim 1020x x x x x x x x x →-+-+++++=-+ 20012(1)sin cos 4(1)3(1)6(1)lim lim 102020x x x x x x x x x x x→→-+-+++++=-++*周晖杰 2008/11/22011cos 198lim 101020x x x x x →-++=--+ 20011cos 198lim lim 10102020x x x x x x x→→-+=--++ 114101010105=--++=. 2、计算sin 3cos 4sin xdx x x+⎰.解: sin (3cos 4sin )(3cos 4sin )x A x x B x x '=+++ 解得: 34,2525A B =-=34(3cos 4sin )(3cos 4sin )sin 25253cos 4sin 3cos 4sin x x x x x dx dx x x x x '-+++=++⎰⎰ 3(3cos 4sin )43cos 4sin 253cos 4sin 253cos 4sin x x x x dx dx x x x x '++=-+++⎰⎰ 34ln(3cos 4sin )2525x x C =-+++. 3、计算40min(4,)xt dt ⎰.解:①x <时, 5405x x t dt =⎰,②x ≥, 4400min(4,)45x xt dt dt dt x =+=-⎰,③x ≤, 4400min(4,)4xxt dt dt dt x =+=+⎰⎰⎰. 4、设()f x 在0x =点二阶可导,且0()lim11cos x f x x→=-,求(0),(0),(0)f f f '''的值.解: ①由0()lim11cos x f x x→=-得: 0lim ()0x f x →=, ()f x 在0x =点二阶可导, 则(),()f x f x '在0x =点连续;lim ()(0)0x f x f →⇒==;②002()()lim lim 112x x f x f x x x →→'==, 同理得: (0)0f '=; ③00()()limlim 11x x f x f x x →→'''==, 则(0)1f ''=.5、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++,,f g 具有二阶连续偏导数,且0g ''≠, 如果222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂,求常数k 的值. 解:12zf fg x∂'''=++∂, 12z f f kg y ∂'''=-++∂212111221222f f z g f f f f g x x x x '''∂∂∂∂''''''''''=++=++++∂∂∂∂ 21211122122f f z g f f f f kg x y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=++=-+-++∂∂∂∂∂ 2212111221222f f z g k f f f f k g y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=-++=--++∂∂∂∂ ,f g 具有二阶连续偏导数, 1221f f ''''=, 代入222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂得: 2(21)0k k g ''++=,由于0g ''≠, 则1k =-.二、(满分20分)计算22323lydx xdyx xy y --+⎰Ñ,其中l 为1x y +=沿正向一周.解: 令2222,323323y xP Q x xy y x xy y-==-+-+⇒其中22:1C x y +=,令cos ,sin x y θθ==,转化为定积分得:2232332C Cydx xdy ydx xdyx xy y xy--=-+-⎰⎰蜒22222002sin cos 12(cos sin )22sin ()4d d ππθθθθπθθθ--==-+-+-⎰⎰ 7242024111()421sin 22sin ()4d dt t ππππθπθ-=--=-++-⎰⎰2222001111221sin 1sin 1sin dt dt dt tt t ππππ-=-=-=-+++⎰⎰⎰. 令21tan ,arctan ,1t x t x dt dx x===+212122dt x +∞=-=-+⎰.注意:②0()(),a TT af x dx f x dx +=⎰⎰2200(sin ,cos )(sin ,cos )llf d f d ππθθθθθθ++=⎰⎰三、(20分) 在某平地上向下挖一个半径为R 的半球形池塘,若某点泥土的密度为22r R e ρ=,其中r 为此点离球心的距离,试求挖池塘需做的功.解：①定积分难计算在于同一水平面上泥土的密度不一样; ②二重积分??? ③三重积分蓝色这一点泥土做的功为:2222()xy z R dW e dvgz ++= 2222()xy z R W e gzdv ++Ω⇒=⎰⎰⎰,用球面坐标sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩222222()2cos sin xy z R rR W e gzdv e gr r drd d ϕϕϕθ++ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222233200sin 2sin 222R rR rR gg e r drd d d d e r dr ππϕϕθθϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰42gR π=.注意:①dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(222111()(,)2()(,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr θϕθθϕθϕθθϕθϕθϕθϕϕϕ=⎰⎰⎰②先重后单 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD dc dxdy z y x f dz dxdydz z y x f ),,(),,(．一方面, 要求平行于坐标面的平面截空间Ω得截面是规则图形，如圆、椭圆等；另一方面, 被积函数为)(),,(z f z y x f =，或)(),,(x f z y x f =或)(),,(y f z y x f =时，利用先重后单法计算常能简单．R2222()(,)x y zR x y e ρ++=z22R z -四、(20分)证明: 当02x π<<时,(1) 3tan 3x x x >+;(2) 35721tan 31563x x x x x >+++．证明: (1)3()tan 3x f x x x =--, 22()sec 1f x x x '⇒=--2()2(sec tan )0f x x x x ''⇒=->, 由于2tan ,sec 1x x x >>;(0,),()(0)02x f x f π''⇒∀∈>=(0,),()(0)02x f x f π⇒∀∈>=即: 当02x π<<时, 3tan 3x x x >+(2) 35721tan 31563x x x x x >+++ 200tan sec 1x x x x=='==, 200tan 2sec tan 0x x x x x==''==22400tan [4sec tan 2sec ]2x x x x x x =='''=+=(4)23440tan [8sec tan 8sec tan 8sec tan ]0x x xx x x x x x ===++=没法再求下去了,看来泰勒公式不适用了!35721()tan 31563x f x x x x x =----224622462121()sec 1tan 3939f x x x x x x x x x '=----=---2642224211tan (69)tan (69)99x x x x x x x x =-++=-++22232222221(3)tan (3)tan tan 0933x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+=-+=-=-+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(15分)判别级数11(1)n n∞=-⋅∑的敛散性. 解： [][]1x x x ≤<+或1[]x x x -<≤11(1)n n∞=-⋅∑222111111111111(1)1234589101512n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++-+++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L令22211112n a n n n n =+++++L ,则111(1)(1)n n n n a n ∞∞==-⋅=-∑∑交错项级数 ①222111lim lim 012n n n a n n n n →∞→∞⎛⎫=+++= ⎪++⎝⎭L 由夹逼定理; ②122221111(1)(1)1(1)2(1)2(1)n a n n n n n n +=+++++++++++++L L六、(15分)对下列函数()f x ,分别说明是否存在一个区间[,]a b , 0a >,使{()[,]}{[,]}f x x a b x x a b ∈=∈，并说明理由.(1) 212()33f x x =+; (2) 1()f x x=; (3)1()1f x x=-.解: (1) 由于212()033f x x =+>, 所以若这样的区间[,]a b 要存在的话,必有0a ≥.又由于212()33f x x =+在[,]a b 是单调递增的, 所以必须要满足21233x x +=, 解得: 12x x ==或, 由于212()33f x x =+是连续函数, 故该区间为[1,2].总结: 对单调递增连续函数来说, 只要保证两个端点的值相等. (2) 1()f x x=, 0x ≠所以讨论0,0a b ><或,当0a >, 由于1()f x x=在(0,)+∞单调递减且连续, 所以只要11,b a a b==, 即该区间为1[,],01a a a<<或1[,],1a a a>. (3) 1()1f x x =-, 21()0f x x '=> 令11x x-=, 无根,223+。
2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案(最新整理)
10．已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则
(A) a ⊥ e
(B) a ⊥( a － e ) (C) e ⊥( a － e ) (D) ( a ＋ e )⊥( a － e )
第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置
2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1 23 n
1． lim
＝(
n
n2
(A) 2
(B) 4
1
(C)
2
) (D)0
2．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( )
(Ⅰ)求函数 g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|．
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左
准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使
6
6
6
（2） f x 3 cos 2x 3 1 sin 2x
2
22
f
2
3 cos 1 sin
2
2
3 1 24
3 2
16sin2 4sin 11 0 ，
解得 sin 1 3 5 8
0, ,sin 0
故 sin 1 3 5 8
2005年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 2．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则P ICUQ=A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 3．点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )A ．21 B ． 32C ．22D ．3224．设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A ． 12-B ．0C ．12D ．1 5．在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．-6B ．6C ．－10D ．106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数138576131810119则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.377．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题8．已知向量(5,3)a x =-r ，(2,)b x =r ，且a b ⊥r r，则由x 的值构成的集合是A ．{}2,3B ．{}1,6-C ．{}2D ．{}69．函数y=ax 2+1的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．110．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )121112oyx121112oyx121112oyx121112oyxA ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江省“2+2”高等数学B试卷与答案
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解 7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。
浙江省“22”高等数学B试卷及答案
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。
2005年全国卷2高考理科数学试题精品
2005年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3到10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A B 、互斥,那么 球的表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A B 、相互独立,那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期是 A.4π B.2πC.πD.2π 2.正方体1111ABCD A B C D -中,P Q R 、、分别是11AB AD B C 、、的中点.那么正方体的过P Q R 、、的截面图形是A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形3.函数1(0)y x =≤的反函数是A.1)y x =≥-B.1)y x =≥-C.0)y x =≥D.0)y x =≥ 4.已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则A.01ω<≤B.10ω-≤<C.1ω≥D.1ω≤-5.设a b c d R ∈、、、,若dic bia ++为实数,则A.0bc ad +≠B.0bc ad -≠C.0bc ad -=D.0bc ad +=6.已知双曲线22163x y -=的焦点为12F F 、,点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴,则1F 到直线2F M 的距离为A.563 B.665 C.56 D.657.锐角三角形的内角A B 、满足1tan tan sin 2A B A-=,则有A.sin 2cos 0A B -=B.sin 2cos 0A B +=C.sin 2sin 0A B -=D.sin 2sin 0A B +=8.已知点(0,0),A B C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于A.2B.21 C.-3 D.13- 9.已知集合2{|3280}M x x x =--≤,2{|60}N x x x =-->,则M N 为A.{|4237}x x x -≤<-<≤或B.{|4237}x x x -<≤-≤<或C.{|23}x x x ≤->或D. {|23}x x x <-≥或10.点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为||v 个单位）.设开始时点P 的坐标为(10,10)-,则5秒后点P 的坐标为A.（-2，4）B.（-30，25）C.（10，-5）D.（5，-10） 11.如果128,,...,a a a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则A.1845a a a a >B.1845a a a a <C.5481a a a a +>+D.1845a a a a =12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为A.3623+B.23+43+36234+ 第Ⅱ卷注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.3.本卷共10小题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.圆心为（1，2）且与直线51270x y --=相切的圆的方程为________. 14.设α为第四象限的角,若sin 313sin 5αα=,则tan 2α=______________. 15.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有__________个.16.下面是关于三棱锥的四个命题:①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是______________.（写出所有真命题的编号）三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 设函数|1||1|()2x x f x +--=,求使()f x ≥x 取值范围.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,124lg lg lg a a a 、、成等差数列.又21,1,2,3,...nn b n a == ⑴证明:{}n b 为等比数列;⑵如果无穷等比数列{}n b 各项的和13s =,求数列{}n a 的首项1a 和公差d . (注:无穷数列各项的和即当n →+∞时数列前n 项和的极限)19.（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6 .本场比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001） 20.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD .AD PD =,E F 、分别为CD PB 、的中点. （1）求证:EF PAB ⊥平面; （2）设2AB BC =,求AC 与平面AEF 所成的角的大小.21.（本小题满分14分）P Q M N 、、、四点都在椭圆1222=+y x 上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知PF 与PQ 共线,MF 与FN 共线,且0PF MF ⋅=.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.22.（本小题满分12分）已知0a ≥,函数2()(2)xf x x ax e =-.（1）当x 为何值时,()f x 取得最小值?证明你的结论; （2）设()f x 在[-1，1]上是单调函数,求a 的取值范围.参考答案1-6: CDBBCC 7-12:ACACBC(2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想象，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.(12) 解析一：由题意，四个半径为1的小球的球心1234,,,O O O O ,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P ABC -的各对应面的距离都为1如图一所示显然1HO =设,N T 分别为23,AB O O 的中点，在棱长为2的正四面体1234O O O O -中，1O T HT ==∴ 1O H =，且11sin 3TO H ∠=. 作1O M PN ⊥，则11O M =， 由于11O PM TO H ∠=∠, ∴ 11111sin sin O M O MPO O PM TO H===∠∠∴ 11314PO PO O O HO =++=+=+故选C解析二：由题意，四个半径为1的小球的球心1234,,,O O O O ,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P ABC -的各对应面的距离都为1 如图二所示, 正四面体1234O O O O -与P ABC -有共同的外接球球心O 的相似正四面体，其相似比为：1263126143OH k OQ ==+,所以1126132632643()434312643OO OP k +===+ 所以32612626()3(43433PQ OP OQ =+=+++=解析三：由题意，四个半径为1的小球的球心1234,,,O O O O ,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P ABC -的各对应面的距离都为1如图二所示,正四面体1234O O O O -与P ABC -有共同的外接球球心O 的相似正四面体，从而有113O P OO HQ OH==, 又1HQ =, 所以1O P =由于13O H =,所以111333PQ OP OQ O H HQ O P =+=++=++=+13.22(1)(2)4x y -+-=；14. 34-；15. 192；16. ①，④ (13)分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x－12y －7=0的距离：2r ==，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的方程：222(1)(2)2x y -+-=（16）分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。
J01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(浙江卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年高考浙江理科数学试题及答案
2005浙江卷试题及答案源头学子小屋第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．limn →∞2123nn ++++ ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)02．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e|，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置11．函数y ＝2xx +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________． 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 13．过双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41sin α的值．N16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2+2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值．20．设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2005浙江卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）8424 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：（1）25125sin,cos 6262ππ==，225252525sin cos 6666f ππππ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭（2）()12sin 22f x x x =+11sin 224f ααα⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭ 216sin 4sin 110αα--=，解得sin α=()0,,sin 0απα∈∴>故sin α=（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力满分14分解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解当1x <时，2210x x +-≤，解得12x -≤≤因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则2111,aMA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴== 221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=；当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-，02122221202||tan 11yk k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+ 0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥= ，， OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF ODPBC ∴∠ 是与平面所成的角. 又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中， PBC ∴ PA 与平面所成的角为 （Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴= ，即k =反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心A方法二：OP ABC ⊥平面，,OA OC ABBC ==，,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,0,,0,222A a BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设OP h =，则()0,0,P h (Ⅰ) D 为PC 的中点，1,0,42OD a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，又1,0,,,//2PA h OD PA ODPA ⎫=-∴=-∴⎪⎪⎝⎭，OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =，即2,,,0,PA a h PA⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭ ，可求得平面PBC 的法向量1,1,n ⎛=- ⎝ ，cos ,||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅， 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则sin |cos ,|PA n θ=〈〉= ，（Ⅲ）PBC ∆的重心1,3G h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1,3OG h ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，,OG PBC OG PB ⊥∴⊥平面，又2211,,0,63PB h OG PB a h h ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭， PA a ∴=，即1k =，反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力14分解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球由122335m mp m +=，得1330p =（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分解：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+， 设点(),P x y 是1C 上任意一点，则1||A P ==令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=，即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上，222127x x b∴=-+ 解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则||n A P ==令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n n n n n x a x b ++=++ ，()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥，即()()111220*n n n n n x x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-，2005年高考数学试卷及答案 王新敞 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@ 第11页 （共11页） ①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-， 则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=， 又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++， 即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列。
J01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(浙江卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
浙江省2005年2+2考试高等数学B卷
浙江省2005年2+2考试高等数学B卷----------------------2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷-------------------2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1．若)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k x dtt t x nxx , 则自然数 n= . 2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ.姓名：_____________准考证号：______________________报考学校报考专业：解为.7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为.二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数xx x f 1)(-=, 则正确的结论是( ). （A ） 1=x 是)(x f 的极值点，但)0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点；（B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但)0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（C ） 1=x 是)(x f 的极值点，且)0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是)(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线)(x f y = 的拐点.2. 设二元函数),(y x f 在点)1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 43．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u发散 ，则 ∑+∞=+-11)1(n nn u 必发散 ； （B ） 若 ∑+∞=+-11)1(n nn u 发散 ，则∑+∞=1n n u必发散 ；（C ） 若 ∑+∞=14n nu 发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散 ；（D ） 若1lim 1>++∞→nn n u u, 则 ∑+∞=14n n u 必发散.4．下列等式成立的是 （ ）. （A ） 若 ⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若 ⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若 ⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若 ⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P ,)4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 .（A ）对任意 μ 均有 21P P =（B ）对任意 μ 均有21P P <（C ）对任意 μ 均有 21P P >（D ）只对 μ 的个别值有21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（)(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）.（A ）21 （B ）32（C ）83 （D ）43． 三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2．已知)0(4>+=x xb ax y 与xa b y ln 3-= 在1=x处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分)(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和=y 所围成的平面区域 .4．设函数a=sin2在)2,0(π内有且仅有-y-xx1 个零点，求正数a的取值范围.5．设函数)(x f 在),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(010⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足EBPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x，并求可逆阵 P，使Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它010)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数.9．已知随机向量（ξ，η）的联合分布律为η－1 1 2ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1）ηξ+的分布律；（2）在η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 x 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）.若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径ξ～)1,(μN；内径小于10 或者大于12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品可获利20 元，销售每件不合格品要亏损，其中内径小于10 的亏 1 元，内径大于12 的亏 5 元，求平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）1． 证明： （1） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数 ∑+∞=-112n n a 是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，rξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是0=AX 的解向量 ， 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+，…… ，r ξη+ 线性无关 .。
02 2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷2)及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II （吉林、黑龙江、内蒙、广西）理科数学（必修＋选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3. 本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)kk n k n n P k P P -=-球的表面积公式 24S R p =其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R p =其中R 表示球的半径 一．选择题1. 函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期是(A) 4p (B) 2p (C) p (D) 2p2. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是(A) 三角形 (B) 四边形 (C) 五边形 (D) 六边形 3.函数1(0)y x …的反函数是(A) y (1)x -…(B) y =(1)x -…(C) y (0)x …(D) y =(0)x …4. 已知函数tan y x w =在(,)22p p-内是减函数，则(A) 01w <… (B) 10w -<… (C) 1w … (D) 1w -…5. 设a 、b 、c 、d ∈R ，若iia b c d ++为实数，则(A) 0bc ad +≠ (B) 0bc ad -≠ (C) 0bc ad -= (D) 0bc ad +=6. 已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为(A)(B)(C)65(D)567. 锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则有 (A)sin 2cos 0A B -= (B) sin 2cos 0A B += (C) sin 2sin 0A B -= (D) sin 2sin 0A B +=8. 已知点(3,1)A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的一平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE l =，其中l 等于(A) 2(B)12(C) 3- (D) 13-9. 已知集合{}23280M x x x =--…，{}260N x x x =-->，则MN 为(A) {|42x x -<-…或}37x <… (B) {|42x x -<-…或}37x <… (C) {|2x x -…或}3x >(D) {|2x x <-或}3x …10. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)=-v (即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||v 个单位)．设开始时点P 的坐标为(10,10)-，则5秒后点P 的坐标为(A) (2,4)- (B) (30,25)- (C) (10,5)- (D) (5,10)- 11. 如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 12. 将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里．这个正四面体的高的最小值为(A) (B) 2+(C) 4 (D)第Ⅱ卷注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2005年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π （2）设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则()U P Q u ð=A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 （3）点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )(A)21 (B) 32 (C) 2 (D)2（4）设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 1（5）在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )(A)5- (B) 5 (C) －10 (D) 10（6）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37（7）设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题（8）已知向量(5,3)a x =- ，(2,)b x = ，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是A ．{}2,3B ．{}1,6-C ．{}2D ．{}6 （9）函数31y ax =+的图象与直线y x =相切，则a = A ．18B ．14C ．12D ．1（10）设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置11．函数2xy x =+(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________． 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．14．从集合{P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+(Ⅰ) 求()4f π的值；(Ⅱ) 设α∈(0，π)，()22f α=，求sin α的值．16．已知实数,,a b c 成等差数列，1,1,4a b c +++成等比数列，且15a b c ++=，求,,a b c17．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次(i )恰好有3摸到红球的概率；(ii )第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值．18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小；19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．20.函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．（Ⅲ）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围2005年高考文科数学浙江卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）B （2）A （3）D （4）D （5）C （6）A （7）D （8）C （9）B （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）5832 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：(Ⅰ)∵()sin2cos2f x x x =+∴sin cos 1422f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(Ⅱ) cos sin 2f ααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1sin ,cos 424ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin 442ππαα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭∵()0απ∈，， ∴sin 0α>， 故sin α（16）本题主要考查等差、等比数列的基本知识考查运算及推理能力14分解：由题意，得()()()()()()2151221413a b c a c b a c b ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪++=+⎪⎩由（1）（2）两式，解得5b = 将10c a =-代入（3），整理得213220211,2,5,811,5, 1.a a a a a b c a b c -+=========-解得或故或经验算，上述两组数符合题意。
2005年浙江省普通高校2+2联考《高等数学B》
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1．若 0)1ln()2(lim 0≠=+⋅-⎰→k x dtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππ.3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe e x y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是.5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡52321100001 ， A* 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A＝ . 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α 1 、α 2 、α 3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212，则该非齐次线性方程组的通解为得分 阅卷人7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为.二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是 ( ).（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知 )),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；（B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；（C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散 ；（D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；得分 阅卷人（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞0)(dx x f 收敛， ⎰+∞0)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 .（A ）对任意 μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P < （C ）对任意 μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）. （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43．三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .得分 阅卷人2．已知 )0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数a 与b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 .4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π内有且仅有 1 个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ；（2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3）2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数.9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1）ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为x 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 . （3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？ 得分 阅卷人3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ？五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .得分 阅卷人2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 ， 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .。
2005年高考文科数学(浙江卷)试题含答案
A．2,3 B．−1,6 C．2 D．6
（9）函数 y = ax3 +1的图象与直线 y = x 相切，则 a =
A． 1 8
B． 1 4
C． 1 2
D．1
（10）设集合 A＝(x, y) | x, y,1− x − y是三角形的三边长 ，则 A 所表示的平面区域(不
含边界的阴影部分)是( )
y 1 1y
∴
f
4
= sin 2
+ cos 2
= 1 新疆 王新敞 奎屯
(Ⅱ)
f
2
=
cos
+
sin
=
2 2
∴
sin
+
4
=
1 2
,
cos
+
4
=
3. 2
sin
=
sin
+
4
−
4
=
1 2
2 2
3 2 = 2
6
新疆 王新敞
奎屯
22
4
∵ (0， ) ， ∴ sin 0 ， 故 sin = 2 + 6
,
B
0,
2 2
a,
0
,
C
−
2 2
a,
0, 0
设OP = h，则P(0,0,h).
(Ⅰ) D为PC的中点，
OD = −
2 4
a,
0,
1 2
h
,
又PA
=
2 2
a,0, −h ，
OD = − 1 PA. OD∥PA. OD∥平面PAB. 2
(Ⅱ) PA = 2a,
h = 7a, 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1．若 0)1ln()2(lim 0≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππ.3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x x e e x y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是.5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A* 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A＝ . 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α 1 、α 2 、α 3 是该线性方程组的三个解向量，且得分 阅卷人------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212，则该非齐次线性方程组的通解为.7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为.二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数 xx x f 1)(-= , 则正确的结论是( ).（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；得分 阅卷人（B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；（C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散 ；（D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞0)(dx x f 收敛， ⎰+∞0)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 .（A ）对任意 μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P < （C ）对任意 μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）. （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43．三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2．已知 )0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 .得分 阅卷人4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π内有且仅有 1 个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ；（2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3）2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数.9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1）ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 x 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 . （3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？得分 阅卷人3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ？五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；得分 阅卷人（2） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是0=AX 的解向量 ， 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .。