六年级数学上册讲义：直线型计算综合(一)

六年级数学上册讲义：直线型计算综合（一）
知识点回顾 一、等积变形
等底等高的两个三角形面积相等，这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等。

第一类：两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等。

第二类：两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。

二、比例模型
两个三角形的高相等，面积比等于它们的底边之比 两个三角形的的底相等，面积之比等于它们的高之比
三、鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
四、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”或“蝴蝶模型”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

本讲重点 1. 等积变形
2. 三角形内接正方形
3. 鸟头模型
4. 蝴蝶模型
A B
C D
O b
a S 3S 2
S 1S 4
热身小练习
1.如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，三角形ABC
的面积是
平方厘米。

2.图中两个正方形的边长分别是5cm和3cm，阴影部分的面积是2
cm。

3.下图的三角形ABC中，AD：DC=2：3，AE=EB，则甲乙两个图形面积的比是。

典型例题
例1：如图，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，点M，N，I，H分别是边BC,AD 第2题图第3题图
的三
等分点，点E，F,G是边CD的四等分点，求图中阴影部分面积。

练习1：如图，四边形ABCD是长方形，AB=10厘米，AD=4厘米，E,F分别是BC，AD的中点，G是线段CD上任意一点，求图形阴影部分的面积。

例2：在大小相等的两个等腰直角三角形中，各内接一个正方形（如图（1），图（2）所示）。

如果图（1）中的内接正方形的面积是441平方厘米，那么图（2)中的内接正方形的面积是多少平方厘米？
练习2：如图，等腰直角三角形ABC中,有一个内接的小正方形(阴影部分),已知阴影部分的面积是36平方厘米，求等腰直角三角形的面积。

例3：如图，在直角三角形ABC中作一个正方形，E点正好落在斜边上。

已知AD=4，CF=9，则△ABC的面积多少？
练习3：为了美化环境、净化空气，城运公园想在一块直角三角形草地上修建一个正方形花坛，并使其面积尽可能大，如图，求这个花坛的面积。

例4（1）：图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD ：AB=2:5，
AE ：AC=4:7，16=ADE S △平方厘米，求△ABC 的面积。

例4（2）：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积。

练习4：已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE=CE ，AD=2BD ，CF=3AF ，
问：△ABC 的面积是多少？
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B A
例5：下图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形
BCD的面积是50平方厘米。

那么三角形BOC的面积是
练习5：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC 的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
例6：如图，三角形ABC和三角形DEF分别是等腰直角三角形，已知DF=6，AB=5，EB=2.6则阴影部分的面积是多少？
练习6：如图，两个等腰直角三角形三角形ABC 和DEF 叠放在一起，AF 长3，AC 长12，DE 长8，求重叠部分（阴影部分）的面积。

例7：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

例8：：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，
且:1:3DE EC ，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △
G
F
A
E
D
B
家庭作业
1.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，E，F分别是AD，BC的中点，G是长方形ABCD内一
点，图中阴影部分的面积为。

2.如图，五边形ABCDE内有一点O，O点到五条边的垂线段的长都是4厘米，五边形的周长是30厘米，则五边形ABCDE的面积是平方厘米。

3.如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF的3倍，三角形AEF的面积。

4.如图，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD都是长方形，点E在AB上，EC交FG于点M，若AB=6，△ECF的面积是12，则△BCM的面积是。

5.在一个等腰直角三角形里画正方形，如图有两种画法，已知等腰直角三角形直角边的长是6，则这两个正方形的面积相差。

6.如图，斜边长为30厘米的等腰直角三角形内有一个内接的正方形，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
7. 如图，在△ABC 中，41=AB AD ,3
2=EC AE ,若△ADE 的面积为6，那么△ABC 的面积等于 。

8. 如图所示，1=ABC S △，若ACE DEC BDE S S S △△△==，则
=ADE S △ 。

9. 如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重合部分，阴影部分的面积是 平方厘米。

10.如图，直角三角形ABC 的三边长分别为AC=30分米，AB=18分米，BC=24分米，ED 垂直于AC ，且ED=95厘米。

问正方形BEFG 的边长是多少厘米？。