人教版高中物理必修3-5讲义资料,复习补习资料：02动量定理及其应用 (基础)

动量定理及其应用
【学习目标】
1．理解动量的概念，知道动量的定义，知道动量是矢量； 2．理解冲量的概念，知道冲量的定义，知道冲量是矢量；
3．知道动量变化量也是矢量，理解动量定理的确切含义和表达式，知道动量定理适用于变力的计算；
4．）会用动量定理解释现象和处理有关问题．
【要点梳理】
要点一、动量、动量定理 1．动量及动量变化
（1）动量的定义：物体的质量和运动速度的乘积叫做物体的动量，记作p mv =．动量是动力学中反映物体运动状态的物理量，是状态量．在谈及动量时，必须明确是物体在哪个时刻或哪个状态所具有的动量．在中学阶段，动量表达式中的速度一般是以地球为参照物的．
（2）动量的矢量性：动量是矢量，它的方向与物体的速度方向相同，服从矢量运算法则． （3）动量的单位：动量的单位由质量和速度的单位决定．在国际单位制中，动量的单位是千克·米／秒，符号为kg m/s ⋅．
（4）动量的变化p ∆：
动量是矢量，它的大小p mv =，方向与速度的方向相同．因此，速度发生变化时，物体的动量也发生变化．
速度的大小或方向发生变化时，速度就发生变化，物体具有的动量的大小或方向也相应发生了变化，我们就说物体的动量发生了变化．
设物体的初动量11p mv =，末动量22p mv =，则物体动量的变化 2121p p p mv mv ∆==－－．
由于动量是矢量，因此，上式一般意义上是矢量式． 2．冲量
（1）冲量的定义：力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量，记作I F t =⋅．冲量是描述力对物体作用的时间累积效果的物理量．
（2）冲量的矢量性：因为力是矢量，所以冲量也是矢量，但冲量的方向不一定就是力的方向． （3）冲量的单位：由力的单位和时间的单位共同决定．在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为N s ⋅．
（4）在理解力的冲量这一概念时，要注意以下几点：
①冲量是过程量，它反映的是力在一段时间内的积累效果，所以它取决于力和时间两个因素．较大的力在较短时间内的积累效果，可以和较小的力在较长时问内的积累效果相同．求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量．
②根据冲量的定义式I Ft =，只能直接求恒力的冲量，无论是力的大小还是方向发生变化时，都不能直接用I Ft =求力的冲量．
③当力的方向不变时，冲量的方向跟力的方向相同，当力的方向变化时，冲量的方向一般根据动量定理来判断．（即冲量的方向是物体动量变化的方向）
3．动量变化与冲量的关系——动量定理
（1）动量定理的内容：
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化．数学表达式为
0I Ft mv mv ==－．
式中0mv 是物体初始状态的动量，mv 是力的作用结束时的末态动量．
动量定理反映了物体在受到力的冲量作用时，其状态发生变化的规律，是力在时间上的累积效果． （2）动量定理的理解与应用要点：
①动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向．
②动量定理公式中F 是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力．当合外力为变力时，F 应该是合外力在作用时间内的平均值． ③动量定理的研究对象是单个物体或系统．
④动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量．在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．如果作用在物体上各外力的作用时间不同，就只能先求每一个外力在其作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和．
⑤动量定理中，是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化．合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是合外力冲量作用后导致的必然结果．
⑥动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观物体和高速运动仍然适用． ⑦合外力的冲量是物体动量变化的量度．
要点二、有关计算
1．动量变化量的计算
动量是矢量，当动量发生变化时，动量的变化p p p ∆=末初－，应运用平行四边形定则进行运算．如图所示，当初态动量和末态动量不在一条直线上时，动量变化由平行四边形定则进行运算．动量变化的方向一般与初态动量和末态动量的方向不相同．当初、末动量在同一直线上时可通过正方向的选定，动量变化可简化为带有正、负号的代数运算．
2．冲量的计算方法
（1）若物体受到恒力的作用，力的冲量的数值等于力与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致；若力为同一方向均匀变化的力，该力的冲量可以用平均力计算；若力为一般变力则不能直接计算冲量．
（2）冲量的绝对性．由于力和时间均与参考系无关，所以力的冲量也与参考系的选择无关． （3）冲量的计算公式I Ft =既适用于计算某个恒力的冲量，又可以计算合力的冲量．根据I Ft =计算冲量时，只考虑该力和其作用时间这两个因素，与该冲量作用的效果无关．
（4）冲量的运算服从平行四边形定则．如果物体所受的每一个外力的冲量都在同一条直线上，那
么选定正方向后，每个力冲量的方向可以用正负号表示，此时冲量的运算就可简化为代数运算． （5）冲量是一过程量，求冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量．
（6）计算冲量时，一定要明确是计算分力的冲量还是合力的冲量．如果是计算分力的冲量还必须明确是哪个分力的冲量．
（7）在F t -图象下的面积就是力的冲量．如图(a )所示，若求变力的冲量，仍可用“面积法”表示，如图(b )所示．
3．动量定理的应用
（1）一个物体的动量变化p ∆与合外力的冲量具有等效代换关系，二者大小相等，方向相同，可以相互代换，据此有：
①应用I p ∆=求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft 求变力的冲量，这时可以求出该力作用下物体动量的变化p ∆，等效代换变力的冲量I ．
②应用p F t ∆∆=求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动的物体速度方向时刻在
变化，求动量变化p p p ∆=＇
-需要应用矢量运算方法，比较麻烦．如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化．
（2）用动量定理解释相关物理现象的要点．
由Ft p p p ∆==＇-可以看出，当p ∆为恒量时，作用力F 的大小与相互作用的时间t 成反比．例
如，玻璃杯自一定高度自由下落，掉在水泥地面上，玻璃杯可能破碎，而掉在垫子上就可能不破碎，
其原因就是玻璃杯的动量变化虽然相同，但作用时间不同：当F 为恒量时，物体动量的变化与作用时间成正比．
例如，叠放在水平桌面上的两物体，如图所示，若施力快速将A 水平抽出，物体B 几乎仍静止，当物体A 抽出后，物体B 竖直下落． （3）应用动量定理解题的步骤： ①选取研究对象；
②确定所研究的物理过程及其始、终状态；
③分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况； ④规定正方向，根据动量定理列式；
⑤解方程，统一单位，求得结果．
要点三、与其它相关知识的关联和区别 1．几个物理量的区别 （1）动量与速度的区别
动量和速度都是描述物体运动状态的物理量．它们都是矢量，动量的方向与速度的方向相同．速度是运动学中描述物体运动状态的物理量，在运动学中只需知道物体运动的快慢，而无需知道物体的质量．例如两个运动员跑百米，是比速度的大小，而无需考虑运动员的质量；动量是动力学中描述物体运动状态的物理量，可以直接反映物体受到外力的冲量后，其机械运动的变化情况，动量是与冲量及物体运动变化的原因相联系的．如以相同速度向你滚过来的铅球和足球，你敢用脚踢哪一个？当然是足球，因为足球的质量小，让它停下来所需的冲量小． （2）动量与动能的区别及其联系． ①动量是矢量，动能是标量．
②动量的改变由合外力的冲量决定，而动能的改变由合外力所做的功决定．
③动量和动能与速度一样，它们都是描述物体运动状态的物理量，只是动能是从能量的角度描述物体的状态．
物体具有一定的速度，就具有一定的动量，同时还具有一定的动能．
例如：质量 5 kg m =的小球，在水平地面上运动的速度是10 m/s ．则它具有的动量
50 kg m/s p mv ==⋅，
它具有的动能
22
21()250J 222k mv p E mv m m
====．
即
2
2k p E m
=或p =
又如：A B 、两物体的质量分别为A B m m 、，且A B m m ＞，当它们具有相同的动能时，由
p =A 物体的动量A p 大于B 物体的动量B p ；反之当它们具有相同的动量时，由2
2k p E m
=
可知，A 物体的动能kA E 小于B 物体的动能kB E ．
（3）冲量与功的区别． ①冲量是矢量，功是标量．
②由I F t =⋅可知，有力作用，这个力一定会有冲量，因为时间t 不可能为零．但是由功的定义式 cos W F s θ=⋅可知，有力作用，这个力却不一定做功．
例如：在斜面上下滑的物体，斜面对物体的支持力有冲量的作用，但支持力对物体不做功；做匀速圆周运动的物体，向心力对物体有冲量的作用，但向心力对物体不做功；处于水平面上静止的物体，重力不做功，但在一段时间内重力的冲量不为零．
③冲量是力在时间上的积累，而功是力在空间上的积累．这两种积累作用可以在“F t -”图象和
“F s -”图象上用面积表示．
如图所示，（a ）图中的曲线是作用在某一物体上的力F 随时间t 变化的曲线，图中阴影部分的面积就表示力F 在时间21t t t ∆=－内的冲量．（b ）图中阴影部分的面积表示力F 做的功．
2．用动量概念表示牛顿第二定律 （1）牛顿第二定律的动量表达式
v p
F ma m
t t
∆∆===
∆∆． 此式说明作用力F 等于物体动量的变化率．
即p
F t
∆=∆是牛顿第二定律的另一种表示形式．
（2）动量定理与牛顿第二定律的区别与联系．
①从牛顿第二定律出发可以导出动量定理，因此牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系．
②牛顿第二定律反应力与加速度之间的瞬时对应关系；而动量定理则反应力作用一段时间的过程中，合外力的冲量与物体初、末状态的动量变化间的关系．
动量定理与牛顿第二定律相比较，有其独特的优点．因在公式0Ft mv mv =－中，只涉及两个状态量mv 和0mv 及一个过程量Ft ．至于这两个状态中间是怎样的过程，轨迹是怎样的，加速度怎样，位移怎样全不考虑．在力F 作用的过程中不管物体是做直线运动还是做曲线运动，动量定理总是适用的．
动量定理除用来解决在恒力持续作用下的问题外，尤其适合用来解决作用时间短，而力的变化又十分复杂的问题，如冲击、碰撞、反冲运动等．应用时只需知道运动物体的始末状态，无需深究其中间过程的细节．只要动量的变化具有确定的值，就可以用动量定理求冲力或平均冲力，而这是用牛顿第二定律很难解决的．因此，从某种意义上说，应用动量定理解题比牛顿第二定律更为直接，更加简单．
③牛顿第二定律只适用于宏观物体的低速运动情况，对高速运动的物体及微观粒子不再适用，而动量定理却是普遍适用的．
④牛顿第二定律和动量定理都必须在惯性系中使用． 3
要点四、应用动量定理解题的步骤
①选取研究对象；
②确定所研究的物理过程及其始末状态；
③分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况；
④规定正方向，根据动量定理列式；
⑤解方程，统一单位，求得结果。

【典型例题】
类型一、对基本概念的理解
例1．关于物体的动量，下列说法中正确的是（）．
A．运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向
B．物体的加速度不变，其动量一定不变
C．动量越大的物体，其速度一定越大
D．物体的动量越大，其惯性也越大
【思路点拨】物体动量是质量与速度的乘积，大小由二者共同决定，但与物体质量和速度均有关．
【答案】A
【解析】本题侧重于准确理解动量的概念．动量具有瞬时性，任一时刻物体动量的方向，即为该时刻的速度方向。

选项A正确．加速度不变，则物体速度的变化率恒定，物体的速度均匀变化，故其动量也均匀变化，选项B错误．物体动量的大小由物体质量及速度大小共同决定，不是由物体的速度唯一决定，故物体的动量大，其速度不一定大，选项C错误．惯性由物体质量决定，物体的动量越大，其质量并不一定越大，惯性也不一定越大，故选项D错误．
【总结升华】物体动量是质量与速度的乘积，大小由二者共同决定，但与物体质量和速度均有关．
例2.关于冲量，下列说法中正确的是（）
A.冲量是物体动量变化的原因
B.作用在静止的物体上力的冲量一定为零
C.动量越大的物体受到的冲量越大
D.冲量的方向就是物体受力的方向
【答案】A
【解析】力作用一段时间便有了冲量，而力作用一段时间后物体的运动状态发生了变化，物体的动量也发生了变化，因此说冲量使物体的动量发生了变化，A对；只要有力作用在物体上，经历一段时间，这个力便有了冲量，与物体处于什么状态无关，B错误；物体所受冲量大小与动量大小无关，C 错误；冲量是一个过程量，只有在某一过程中力的方向不变时，冲量的方向才与力的方向相同，故D 错误。

【总结升华】此题考察的主要是对概念的理解，理解概念要全面
举一反三：
【变式】（2019 上海一模）若物体在运动过程中受到的合外力不为零，则（）
A．物体的动能不可能总是不变的
B．物体的速度不可能总是不变的
C．物体的加速度不可能总是不变的
D．物体的速度的方向可能会发生变化
【答案】BD
【解析】物体在运动过程中所受到的合外力不为零，若合力总与速度垂直，合力不做功，由动能定理得知物体的动能不变，比如匀速圆周运动．故A错误；力是改变物体速度的原因，合力不为零，物体的速度一定改变．故B正确；物体在运动过程中所受到的合外力不为零，合力可能不变，也可能变，则加速度可能不变，也可能变．故C错误；物体的速度的方向可能不变，比如自由落体运动．故D正确．故选BD．
例3．质量为0.4kg的小球沿光滑水平面以5m/s的速度冲向墙壁，被墙以4m/s的速度弹回，如图所示，求：这一过程中小球的动量改变了多少？方向怎样？
【思路点拨】取向右为正方向，分别计算碰前碰后动量；再求动量的变化。

【答案】 3.6kg m/s
-⋅
【解析】取向右为正方向，则
碰前：
110.45kg m/s=2kg m/s
P mv
==⨯⋅⋅. 碰后：
220.4(4)kg m/s= 1.6kg m/s
P mv
==⨯-⋅-⋅. 此过程中小球动量的变化
21( 1.62)kg m/s 3.6kg m/s
P P P
∆=-=--⋅=-⋅.
【总结升华】动量的变化方向为负，表示方向向左．
举一反三：
【变式】一个质量是0.1kg的钢球，以6m/s的速度水平向右运动，碰到一个坚硬物后被弹回,沿着同一直线以6m/s的速度水平向左运动（如图），
碰撞前后钢球的动量各是多少？碰撞前后钢球的动量变化了多少？
【答案】0.6kg m/s ⋅ ；0.6kg m/s -⋅； 1.2kg m/s -⋅ 【解析】如图。

取水平向右为正方向。

碰撞前钢球的速度
6m/s v =，
碰撞前钢球的动量为
0.1kg 6m/s=0.6kg m/s p mv ==⨯⋅ ．
碰撞后钢球的速度
6m/s v '=-．
碰撞后钢球的动量为
0.1kg (6m/s)=0.6kg m/s p mv '='=⨯--⋅ ．
碰撞前后钢球的动量变化为
kg m/s kg m/s kg m/s p p p ∆=-⋅⋅⋅=-6-6=-1.2．
动量变化p ∆是矢量，求得的数值为负值，表示p ∆的方向与所选取的正方向相反，即p ∆的方向水平向左。

例4.用5kg 的铁锤把道钉打进木块中，打击前铁锤的速度是6.0m/s ，打击后铁锤以2.0m/s 的速度跳起，铁锤和道钉接触的时间是0.01s 。

求打击时的平均作用力
【答案】4050N 【解析】
对铁锤用动量定理，设钉对锤的作用力是N ，取向上为正，有： 21()N mg t mv mv -=-
21
mv mv N mg t
-=
+ 525(6)50N 0.01⨯-⨯-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
4050N =.
【总结升华】物体动量的改变是因为合力的冲量
例5.以质量为m 的小球，以初速度0v 沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为0
30的固定斜面上，并立即沿反向弹回。

已知反弹速度的大小是入射速度大小的3
4。

求在碰撞过程中斜面对小球的冲量大小。

【思路点拨】忽略重力的冲量，利用动量定理。

【答案】07
2
=
I mv 【解析】 小球在碰撞斜面前做平抛运动。

设刚要接触斜面时的速度为v ，由题意，v 的方向与竖直线的夹角为0
30，且水平分量仍为0v ，如图所示。

由此得
02=v v
碰撞过程中，小球速度由0v 变为反向的
3
4
v ，碰撞时间极短，可不计重力，由动量定理，设反弹速度的方向为正方向，则斜面对小球的冲量为
3
()()4=-⋅-I m v m v
07
2
=I mv
【总结升华】 重力的冲量忽略不计是因为作用时间极短，重力冲量远小于斜面对物体的冲量，这是物理学中常用的一种近似处理方法。

类型二、用动量定理解释两类现象
例6.玻璃杯从同一高度自由落下，落到硬水泥地板上易碎，而落到松软的地毯上不易碎。

这是为什么？
【答案】玻璃杯易碎与否取决于落地时与地面间相互作用力的大小。

由动量定理可知，此作用力的大小又与地面作用时的动量变化和作用时间有关。

因为杯子是从同一高度落下，故动量变化相同。

但杯子与地毯的作用时间远比杯子与水泥地面的作用时间长，所以地毯对杯子的作用力远比水泥地面对杯子的作用力小。

所以玻璃杯从同一高度自由落下，落到硬水泥地板上易碎，而落到松软的地毯上不易碎。

举一反三：
【变式】有些运动鞋底有空气软垫，请用动量定理解释空气软垫的功能。

【答案】由动量定理可知，在动量变化相同的情况下，时间越长，需要的作用力越小。

因此运动鞋底部的空气软垫有延长作用时间，从而减小冲击力的功能。

类型三、动量定理的基本应用
例7. 质量为1T 的汽车，在恒定的牵引力作用下，经过2s 的时间速度由5m/s 提高到8m/s ，如果汽车所受到的阻力为车重的0.01，求汽车的牵引力？
【思路点拨】已知力的作用时间来求力可考虑用动量定理。

【答案】汽车所受到的牵引力为1598N ． 【解析】物体动量的增量
'33311081105310kg m/s P P P ∆=-=⨯⨯-⨯⨯=⨯⋅．
根据动量定理可知：
()F t F f t P =-=∆合
P P F f kmg t t
∆∆=
+=+ 33310N+0.01109.8N=1598N 2
⨯=⨯⨯．
【总结升华】此题中已知力的作用时间来求力可考虑用动量定理较为方便。

本题也是可以应用牛顿第二定律，但在已知力的作用时间的情况下，应用动量定理比较简便。

举一反三：
【变式】一个质量5kg 的物体以4m/s 的速度向右运动，在一恒力作用下，经过0.2s 其速度变为
8m/s 向左运动。

求物体所受到的作用力。

【答案】物体所受到的作用力为300N ，方向向左。

【解析】规定初速度的方向即向右为正方向，根据动量定理可知： F t P ⋅∆=∆
∴5(8)5460N N=300N 20.2
P F t ∆⨯--⨯-=
==-∆． 负号表示作用力的方向向左。

类型四、求平均作用力
例8、（2019 重庆高考）高空作业须系安全带。

如果质量为m 的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h （可视为自由落体运动）。

此后经历时间t 安全带达到最大伸长，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为（ ）
【答案】A
【解析】人下落h 高度为自由落体运动，由运动学公式v 2=2
g h ，可知；缓冲过程（取
向上为正）由动量定理得，解得：，故选A 。

【总结升华】本题关键是明确物体的受力情况和运动情况，然后对自由落体运动过程和全程封闭列式求解，注意运动动量定理前要先规定正方向。

举一反三：
【变式】 蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。

一个质量为60kg 的运动员，从离水平网面
3.2m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回离水平网面5.0m 高处。

已知运动员与网接触的时间为1.2s 。

若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力
mg +mg -mg +mg -v =()0()F mg t mv -=--F mg =
+
的大小。

（g 取2
10m/s ）
【答案】3
1.510N ⨯.
【解析】运动员刚接触网时速度大小：
1v ，
方向向下；刚离开网时速度大小：
210m/s v =，
方向向上。

运动员与网接触的过程，设网对运动员的作用力为F ，对运动员由动量定理,取向上为正方向，则
21()F mg t mv mv -∆=- 解得：
21
mv mv F mg t
-=
+∆ 601060(8)
N+6010N 1.2
⨯-⨯-=
⨯
31.510N =⨯．
方向向上。

类型五、用动量定理求变力的冲量
例9.如图所示，将一轻弹簧悬于O 点，下端和物体A 相连，物体A 下面用细线连接物体B ，A 、B 质量分别为M 、m ，若将细线剪断，待B 的速度为v 时，A 的速度为V ，方向向下，求该过程中
弹簧弹力的冲量。

【思路点拨】求变力的冲量，可借助动量定理F t P ∆=∆，由动量的变化量间接求出。

【答案】()M v V -
【解析】剪断细线后，B 向下做自由落体运动，A 向上运动。

对A ：取向上方向为正，由动量定理得 0I Mgt MV -=--弹
∴I Mgt MV ∴=-弹①
对B ：由自由落体运动知识 v
t g
=
………………………② 由①、②解得：
v
I Mg
MV g
=-弹 =()M v V -．
【总结升华】求变力的冲量，不能用Ft 直接求解，可借助动量定理F t P ∆=∆，由动量的变化量间接求出。

类型六、用动量定理解决变质量问题
例10.一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动。

设帆面的面积为S ，风速为1v ，船速为2v (2v ＜1v )，空气的密度为ρ，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？
【答案】2
1212()/()F m v v t S v v ρ=∆-∆=- 【解析】
取如图所示的柱体内的空气为研究对象。

这部分空气经过时间t ∆后速度由1v 变为2v ，故其质量
12()m S v v t ρ∆=-∆．。

取船前进方向为正方向，对这部分气体，设风力为F ，由动量定理有 21()F t m v v -∆=∆-
解得
21212()/()F m v v t S v v ρ=∆-∆=-．
【总结升华】此题需求平均风力大小，需用动量定理来解决。

对于流体运动问题，如水流、风等，在运用动量定理求解时，我们常隔离出一定形状的部分流体作为研究对象，然后对其列式计算。

类型七、动量定理在系统中的应用
例11.滑块A 和B （质量分别为A m 和B m ）用轻细线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F 作用在B 上，使A 、B 一起由静止开始沿水平桌面滑动，如图。

已知滑块A 、B 与水平面的滑动摩擦因数均为μ，在力F 作用时间t 后，A 、B 间连线突然断开，此后力F 仍作用于B 。

试求：滑块A 刚好停住时，滑块B 的速度多大？
【思路点拨】取滑块A 、B 构成的系统为研究对象。

尽管系统内各物体的运动情况不同，但各物体所受的冲量之和仍等于各物体总动量的变化量。

【答案】[][]()/()B A B B A B v F F m m g t m m m g μμ=-++
【解析】取滑块A 、B 构成的系统为研究对象。

设F 作用时间t 后线突然断开，此时A 、B 的共同速度为v ，根据动量定理，有
[]()()0A B A B F m m g t m m v μ-+=+-
解得
[]()/()A B A B v F m m g t m m μ=-++
在线断开后，滑块A 经时间'
t 停止，根据动量定理有
'
0A A m gt m v μ-=-
由此得
[][]'
/()/()A B A B t v g F m m g t m m g μμμ==-++
设A 停止时，B 的速度为B v 。

对于A 、B 系统，从力F 开始作用至A 停止的全过程，根据动量定理有
[]'
()()0A B B B F m m g t t m v μ-++=-
将'
t 代入此式可求得B 滑块的速度为
[][]()/()B A B B A B v F F m m g t m m m g μμ=-++．
【总结升华】在已知力的作用时间的情况下，可考虑应用动量定理求解比较简便。

尽管系统内各物体的运动情况不同，但各物体所受的冲量之和仍等于各物体总动量的变化量。

应用这个处理方法能使一些繁杂的运动问题求解更简便。

举一反三：
【变式】质量为M 的金属块和质量为m 的木块通过细线连在一起，从静止开始以加速度a 在水中下沉。

经过时间t ，细线断了，金属块和木块分离。

再经过时间'
t ，木块停止下沉，求此时金属块的速度？
【答案】'()()
+⋅+=M m a t t v M
【解析】将金属块和木块看作一个系统，根据动量定理有：
'()()P M m a t t =+⋅+
最终木块停止下沉，即速度为零，所以只有金属块有动量，根据动量守恒定律有
'()()M m a t t M v
+⋅+
= '()()
+⋅+=M m a t t v M
．
类型八、动量定理与动量、能量的综合应用
例12.将物体从同一高度以相同的速率分别竖直向上、竖直向下、水平抛出，则三种情况下相同的是（ ）
A .重力的冲量
B .重力的功
C .落地时物体的动量
D .落地时物体的动能
【答案】BD
【解析】 A ：t t t <<下平上抛抛抛，所以重力的冲量不同；B ：同一高度抛出，所以=W mgh 一定相同；C 、D ：由能量守恒，可知落地时的动能相同。

但是速度的方向：上抛和下抛相同，平抛的物体是斜着射向地面的，所以动量的大小相同，方向不同。

BD 正确。

【总结升华】要强化动量的矢量性，这也是动能和动量的根本区别。

例13.一子弹水平地穿过前后并排静止地放在光滑水平面上的木块，木块质量分别为1m 和2m ，如图所示，设子弹穿过木块所用的时间分别为1t ∆和2t ∆。

求子弹穿过后，木块1m 与2m 速度。

设木块对子弹阻力恒定为F 。