河南省豫南九校2011届高三数学第一次联考 文 新人教A版

河南豫南九校2010——2011学年高三第一次联考
文科数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
参考公式：考试结束后，将答题卡交回。

如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k
n P k
(1－P)
n －k
（k=0,1,2…,n ）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 1．设全集I 是实数集R, 2
3
{|4}{|
0}1
x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集 （如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ）
A.{}
2x x < B.{}
21x x -≤< C.{}
22x x -≤≤
D.{}
12x x <≤
2．已知i 为虚数单位，复数121i
z i
+=
-，则复数z 在复平面内的对应点位于 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．已知命题p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则
（ ）
A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥
B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥
C ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>
D ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>
4. 函数3
4
x y =的图象是
（ ）
5．在3
2
()3610f x x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为 （ ）
A ．3110x y +-=
B ．360x y -+=
球的表面积公式
S=42
R π
其中R 表示球的半径 球的体积公式
V=3
3
4R π
其中R 表示球的半径
C ．3110x y --=
D ．3110x y --=
6．以下四个命题中，其中正确的个数为
（ ）
①命题“若2
24x x ==则”的逆否命题；
②“4
a π
=
”是“sin 21a =”的充分不必要条件
③命题“若q ≤1，则x 2
＋2x ＋q ＝0有实根”的否命题；
④若p q p q p q ∧∨为假，为真；则、有且仅有一个是真命题； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．下列函数中既是奇函数又在区间]1,1[-上单调递减的是（ ）
A ．x y sin =
B ．1+-=x y
C ．x x y +-=22ln
D ．)22(2
1x
x y -+= 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+-=)1()
1(16)23()(x a
x a x a x f x 在),(+∞-∞内单调递减，那么实数a 的取值
范围是 （ ）
A . )1,32(
B . )32,0( C. )32,83[ D. )1,8
3[
9．已知a b 、都是正实数， 函数2x
y ae b =+的图象过（0,1）点，则11a b
+的最小值是（ ）
A
．3+ B
．3- C ．4 D ．2
10．已知函数()sin()cos(f x x x θθ=+++）的导函数为/
()f x ，若/()()()g x f x f x =+ 对任意实数x ，都有()()g x g x =-)则θ可以是 （ ）
A.
6π B.4π C.2
π
D.π 11．若关于x
20mx -=有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．3(,)4-∞-
B ．33(,)
(,)4
4-∞-+∞C ．3(,1]4 D ．3
[1,)4
-- 12．现定义一种运算;⊗当m 、n 都是正偶数或都是正奇数时，;m n m n ⊗=+当m n 、中一个为正奇数另一个为正偶数时，,m n mn ⊗=则集合
{}(,)|16,,M a b a b a N b N **=⊗=∈∈中的元素个数是
（ ）
A ．22
B ．20
C ．17
D ．15
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分。

把答案填在答题卷中的横线上。

）
13．已知21(1)
()[()]sin 2(1)
x x f x f f x x π⎧-≤==⎨
->⎩则 14．已知点P(x 、y )满足不等式组443x y x y +≥
⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
的最大值是 .
15．函数212
log (23)(1)y x mx =-+-∞在，上为增函数，则实数m 的取值范围是____________．
16．下列说法中：
① 函数1
1
)(+-=
x x x f 与x x g =)(的图象没有公共点； ② 若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(--=+x f x f ，则函数)(x f 周期为6 ；
③ 若对于任意)3,1(∈x ，不等式022
<+-ax x 恒成立，则3
11>a ；
○
4函数2
2log ()y x ax a =--的值域为R ,则()0,4-∈a ； 其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共5小题共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程2
12270x x -+=的两根，数列
{}n b 的前n 项和1
12
n n T b =-；
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记11n n n c a b ++=，求证：数列{}n c 为递减数列。

18．（本小题满分12分） 某批发市场对某商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求两周销售利润的和小于或等于12千元的概率．
19．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
22,901====∠AC BC AA ACB o ，D 为1AA 中点.
（1）求证：11CD B C ⊥；
（2
）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （3）求三棱锥11C B CD -的体
20．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率e =2.
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，经过点(02)，且斜率 k 的直线l 与椭圆交于不同的两点P 、Q ．是否存在常数k ，使得向量AB OP OQ +与
共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数())1(ln ++=x a x x f . （1）讨论函数()x f 的单调性； （2）求函数()x f 在[]2,1上的最大值.
四、选考题（请考生在第22、23、题中任选一题做答，作答时，请注明题号；若多做，则按
22题计入总分，满分10分． 请将答题的过程写在答题卷．．．中指定．．的位置） 22．选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC.
（1）求证：FB=FC ； （2）求证：FB 2
=FA ·FD ；
C B 1
A 1
B
A
D
C
（第19题图
23．选修4－5：不等式证明选讲
已知函数()21f x x x =+--． （1）试求)(x f 的值域；
(2)设233
()(0)ax x g x a x
-+=
> 若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围．
★2010年9月28日
豫南九校2010年高三第一次模底考试
数学试题（文科）参考答案
命题学校：上蔡第一高级中学
[评卷注意事项] 1、 本解答每题只给出了一种解法，如果考生的解法与本解答不同，请认真评阅，并比照
本解答相应给分.
2、 如果考生的解答中某一步出现问题，但并没有改变该题后继部分的难度和考查内容，
且后继部分的解答正确可适当给分，但最多不能超过后继部分应得分数的一半，如果后继部分有较多错误，就不给分.
3、 只给整数分数.选择题，填空题不给中间分. 一、选择题：DBCAD DCCAD DC 二、填空题： (13.) 3
4
- (14) 5 (15) []1,2 16; ①② 三：解答题：
17．解：（Ⅰ）由 题意得253,9a a ==
公差52
252
a a d -=
=-…………2分
所以2(2)21n a a n d n =+-=-…………4分
由1121123
n n T b n b =-
==得时 1111
222
n n n n n n b T T b b --≥=-=-时…………6分
得113n n b b -= 所以2
3
n n b =…………8分
F
E
D
C B A
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1
42
3n n n c ++= 1212464280333
n n n n n n n n
c c ++++++-∴-=-=<
数列{}n c 为递减数列…………12分
18．解：（1）周销售量为2号，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3. ……4分 （2）由题知该商品两周可能销售4、5、6吨，所以ξ
的可能值为8、10、12、且
22(8)0.20.04,6(10)20.20.50.28(12)0.520.20.30.37,
10P P P ξξξ=====⨯⨯===+⨯⨯=分分分
所以两周销售利润的和小于或等于12千元的概率为
0.040.20.370.61p =++= ……12分
19. 解析：（1）11190A C B ACB ∠=∠=∴1111B C A C ⊥
又由直三棱柱性质知11
1B C CC ⊥ ……2分∴
11B C ⊥平面11ACC A
又CD ⊂平面11ACC A ∴11B C CD ⊥ ……4分
（2）由
122AA BC AC ===，D 为1AA
中点，可知
1DC DC ==222114DC DC CC +==即
1CD DC ⊥ ……6分。

又11
B C CD ⊥ ∴ CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD ，
故平面1B CD ⊥平面11B C D …9分
（3）解：11
1111111122123323C DCB
B DC
C DCC V V S B C --∆==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ………………12分 20.解：（1）椭圆方程是2
212
x y +=……4分 （2）由已知条件，直线l
:y kx =+
2
2(12
x kx ++=．
整理得22
1102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
①
C 1
B 1
A 1
B
A
D
C （第19题图）
由已知得2
221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=->
⎪⎝⎭
，解得2k <-
或2k >．……6分
设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212(,)OP OQ x x y y +=++，
由方程①，122
12x x k
+=-
+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③
而(2,0)A ，(0,1)B ，AB (=
-,
所以AB OP OQ +与
共线等价于1212)x x y y +
=+， 将②③代入上式，解得2
k =,……10分 又2k <-
或2
k >， 故没有符合题意的常数k ．……2分
21. （Ⅰ）)0(1
)(>+='x a x
x f ，
（1）0≥a 时，函数()x f 在),0(+∞单调递增； （2）0<a 时，函数()x f 在)1
,0(a -单调递增；),1
(+∞-
a
单调递减.………5分 （Ⅱ）（1）2
1
-
≥a 时，函数()x f 在[]2,1上单调递增，最大值为2ln 3+a ； （2）1-≤a 时，函数()x f 在[]2,1上单调递减，最大值为a 2； （3）211-
<<-a 时，函数()x f 在)1,1(a -单调递增；)2,1
(a
-单调递减，最大值为)1
ln(1a
a -+-.……………………………12分
22. 解：（Ⅰ）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ．
∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC =∠FBC ． ∵
∠EAD =∠FAB =∠FCB ，
∴
∠FBC =∠FCB ，
∴FB =FC ． -----（5分） （Ⅱ）∵∠FAB =∠FCB =∠FBC ，∠AFB =∠BFD ， ∴ΔFBA ∽ΔFDB ．∴
FB FA
FD FB
=
，∴FB 2=FA ·FD ．-----（10分）
23； （Ⅰ）函数可化为3(2)
()21(21)3(1)x f x x x x -<-⎧⎪
=+-≤≤⎨⎪>⎩
,()[]3,3f x ∴∈- ………5分
F E
D
C
B
A
(Ⅱ) 若0x >，则2333
()33ax x g x ax x x
-+=
=+-≥，即当23ax =时，()
min 3g x =-，又由（Ⅰ）知()max 3f x ∴=． ……………………．
．8分 若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即()min g x ≥()max f x ，
33,∴≥3a ∴≥，即a 的取值范围是[)3,+∞． (10)。