第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数

第一节 控制系统的微分方程
一、 建立系统微分方程的一般步骤
（1） 确定系统的输入变量和输出变量 。 （2） 建立初始微分方程组。 （3） 消除中间变量，将式子标准化。
标准形式： 左端：与输出量有关的项； 右端：与输入量有关的项； 各导数项均按降幂排列！
电气系统三要素的微分方程
设系统输入量为电流，输出量为电压 电阻
传递函数
Y (s) 1 G (s) 2 F ( s ) ms fs k
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
2
输出在左，输入在右
按降幂排列
相似系统
——具有相同结构的数学模型 R + ur i L + C uc -
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
练习
例3：已知 F ( s )
10( s 2) ，求 f (t ) 2 s ( s 1)
20 例4：已知 F ( s ) 2 ，求 f (t ) s 4 s 13 20 例5：已知 F ( s ) ，求 f (t ) 2 ( s 1)( s 4 s 13)
s 2 5s 7 例6：已知 F ( s ) ，求 f (t ) ( s 1)( s 2)
2． RLC电路的微分方程
ur 输入量： uc 输出量：
+ ur -
R i
L + C uc -
根据基尔霍夫定律：
d i (t ) u r (t ) R i (t ) L u c (t ) dt 输出在左，输入在右 i (t ) C d u c (t ) dt 按降幂排列
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
u ( t)
+ i(t) L
1 u(t)= C i(t)dt
i(t)= C
du ( t) dt
u ( t)
–
1 i(t)= L
u ( t) dt
d i (t) L u(t)= dt
复阻抗
C u r 微分方程： 信号量小写变大写，下标不变，t变s
RLC串联电路 串联电路 RLC
R + i
L + u c -
（1） A( s ) 0 不同极点 （2） A( s ) 0 有重极点 （3） A( s ) 0 有共轭极点
留数法 比较系数法或特值法 配方法
10( s 4) ，求 f (t ) 例1：已知 F ( s ) ( s 1)( s 2)( s 3) 10 例2：已知 F ( s ) ，求 f (t ) s ( s 2)
零输入 响应
零状态 响应
1 2 t 2 t c ( t ) 1( t ) 4 e cos t 13 e sin t 查表 5
第三节 传递函数
输入
r(t) R(s)
微分方程 微分方程
c(t) C(s)
输出
输入的拉氏变换
G(s) G(s)
输出的拉氏变换
一、传递函数的定义
U c ( s ) L[uc (t )] d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt U r ( s ) L[ur (t )]
微分定理
零初始条件 LCs 2U c ( s ) RCsU c ( s ) U c ( s ) U r ( s ) 传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程

求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
1 ( s 4 s 5)C ( s ) ( s 4)c(0) c '(0) s
2
1 ( s 4)c(0) c '(0) C ( s) 2 s( s 4 s 5) s2 4s 5
1 1 4( s 2) 13 2 2 5 s ( s 2) 1 ( s 2) 1
第二章 自动控制系统的数学模型
所谓数学模型是指描述系统动态特性的数 学表达式。 常用的三种数学模型： 微分方程，传递函数，频率特性
线性系统 拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
建立控制系统数学模型的方法 建立控制系统数学模型的方法
1、理论分析法 根据组成系统的各个元部件所遵循的物理规律或 者化学规律，列写各部件的输入输出关系，然后根据 系统的结构方块图或各信号的传递关系，消除中间变 量，最后找出输入输出关系式。 该方法适用于内部结构清楚的系统。 2、系统辨识法(实验法) 利用系统或元件的输入-输出信号来建立数学模 型。 该方法适用于对系统或元件一无所知的情况下。
dt
1 1 C (s) 2 2 s 2 s 2 ( s 1) 1
练习
d 2 c(t ) dc(t ) 例2：求解 2 4 5c(t ) dt dt
2
1
已知 c (0) c '(0) 1
1 解： s C ( s ) sc(0) c '(0) 4 sC ( s ) 4c(0) 5C ( s ) s
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 传递函数 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
输出信号的拉氏变换 C (s) 传递函数 输入信号的拉氏变换 零初始条件 R ( s )
电阻、电容、电感
+ i(t) R –
u(t)= i (t)·R
u ( t)
+ i(t) C –
u ( t) i(t)= R
原函数 f(t)
at t 象函数 F(s) 2
1
2
at
1 sa


复习拉普拉斯变换
常用的拉氏变换性质： 微分定理： 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 初值定理： 终值定理： 若
则 存在，
位移定理： F(s) 的所有极点均位于s的左半平面（包括原点）。
已知F(s)，如何知道 f ( ) 存在与否 ？ ？？
三、线性微分方程式的求解
拉氏变换法求解微分方程： 线性微分方程 （时域ｔ）
时间函数 f (t ) 的拉氏变换记作
F ( s ) L[ f (t )]


0
f (t ) e st dt
拉氏变换 代数方程 （复数域ｓ）
微分方程的解 （时域ｔ）
f (t ) L1[ F ( s )]
代数方程的解 拉氏反变换 （复数域ｓ）

nm
复习拉普拉斯变换
已知原函数为f(t)，
s j 其中：
( ) 5 0) e sin t(ta 6 ）正弦函数 （ （ 32 ）单位加速度函数 4 ）单位脉冲函数 1(t) t 序号 e （ （ 1 5 ）单位阶跃函数 ）单位斜坡函数 ）指数函数 数学表达式： tt 0 0 数学表达式： 0 0 或 t 1 ( t ) 1 6t sin t 2 2 0 0 t 0 0 s 0 ( t 0) f ( t ) t 0 f ( f t ( ) t ) 1(t) 1 (t) 1 2 ( t 0) ff (t) lim t1 t t 0 0 t s t 1 t 0 0 (t) sin t ( t 0) 2 cos t at 0 1( t ) 2 7 2 2 s e ( t 0) s 拉氏变换为： 拉氏变换为： 拉氏变换为： j t j t 1 2 st 1 st st 1 st e e 1 1 t st e st 拉氏变换为： at F (s) L[ f (t)] dt 3 (t)] dt dt t G lim e e lim dt elim sin t dt 1 F(s) (s) L[ sin t e dt e 2 2 1e 8 2 st st 0 ( s a ) 2 2 1 s 0 0 0 0 0 0 2 t 0 0e st dt F (s) L[ f (t)] - 1 tde x 2 j s x 2e F (s) L[1(t)] e dt ( e dx ) 0 0 at 0 st s s s ' j t 1 j t e j j ts (1 ee )t sa 1b F (s) 1 e dt 1 1 s 2 st st e e e 1 b at b 2 lim (1 e ) te lim )1 0 cos t （ t e t e dt t 9 ' (sin t ; cos ) 2 2 3 vdu) ( udv uv s a 4 3 0 s 0 0 ( s ) ( sa)a s 2 sj a2 a s 2 2 0
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
复位移定理：
3、拉氏反变换
F ( s ) f (t )
f (t ) L1[ F ( s )]
查表法：将 F ( s ) 部分分式展开，变换成能在表中直接查 到原函数的形式。
m m m m 11 B ( s ) c s c s c s cm b s b s b bm B( s 0 1s 0 11 m 1m FF (s n () s ) n 1 A ( s ) s a s p an1 s anpn ) A( s (s 1 p1 )( s (s 2 )
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) (t )
+
i (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
dx (t) C f (t) dt
Kx(t) f (t)
二、常见环节和系统微分方程的建立 1． RC电路
（2） 建立初始微 分方程组
+ ur R + i C uc -
ur Ri uc duc iC dt
（3）消除中间变量， 使式子标准化
duc RC uc u r （1） 确定输入量 dt 和输出量 输入量： ur RC电路是一阶常系 数线性微分方程。 输出量： uc
U c (s) 1 G (s) U r ( s ) LCs 2 RCs 1
机械位移系统 机械位移系统
微分方程：
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
零初始条件
2
微分定理
ms Y ( s ) fsY ( s ) kY ( s ) F ( s )