2020-2021学年苏教版数学选修课件-1.3.2极大值与极小值

2.由f(x)=x3+ax2+bx+1,得
f′(x)=3x2+2ax+b=3 (x a )+2b-
3
a2 . 3
当x=- a 时,f′(x)有极小值b-
a2 .
3
3
因为f′(x)的极值点是f(x)的零点.
所以f ( a ) = a3 a3 ab +1=0,
3
27 9 3
又a>0,故b= 2a2 3..
表示出g(x)后求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=
m x
n x2
，
由已知得
f（1） 1, f（ 1） 3,
解得:m=1,n=-2,
所以f(x)=ln x- 2 +1.
x
(2)g′(x)= 2ax 4a x2 ，
2x 2
因为g(x)在(0,1)上有极值点x0,则g′(x0)=0,
整令理t=得x0+:2a,=则2t（∈xx(0022,23）),a(=0<（x0t<12)）,2 1 (t 4 4) 在(2,3)上单调递增,所以a∈(0, 1).
A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a1]ex-1, 因为f′(-2)=0,所以a=-1,故f(x)=(x2-x-1)ex-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1, 令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在 (-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
【自我检测】 1.函数y=x3-3x2-9x+5的极大值为____________,极小值为____________. 【解析】y′=3x2-6x-9,令y′=0,得x=-1或x=3, 令y′>0得x<-1或x>3, 所以函数在(-∞,-1)上单调递增,(-1,3)上单调递减,(3,+∞)上单调递增. 故当x=-1时,函数有极大值f(-1)=10, 当x=3时,函数有极小值f(3)=-22. 答案:10 -22
【拓展延伸】三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数; ②若a<0,则f(x)在R上是减函数. (2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1),(x2,+∞),减区间为 (x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞, x1),(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)
(0,+∞) +
↗
类型二 与参数相关的极值问题 【典例】1.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m=____________. 2.函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=________,b=________. 【思路导引】1.极值点⇒y′=0⇒极大值⇒确定m. 2.求f′(x),x1=1,x2=2是f′(x)=0的两根,代入求解.
【思路导引】1.确定单调性⇒极值点⇒f′(x) =0⇒极值⇒确定出a的值. 2.f (x)有极值⇒利用极值点是零点列关系式.
【解析】1.因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,而f′(x)=6x2+2ax+36, 所以有f′(2)=0,代入得a=-15.现令f′(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数在区间 (3,+∞)上单调递增. 答案:递增
2.函数在极值点附近切线斜率的变化规律 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点 左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为 正. 3.对极值概念的两点说明 (1)端点非极值:函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区 域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点; (2)单调无极值:若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在该区间内一定不是单调 函数,即在区间上单调的函数没有极值.
1.3.2 极大值与极小值
必备知识·自主学习
【自我预习】 1.极大值
【微提醒】极大值是个局部的概念,是函数在某点处的值与其附近左右两侧的 函数值比较的结果.
2.极小值
【微提醒】函数的极值不是惟一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系, 一个函数的极大值未必大于极小值.
3.极值 函数的极小值、极大值统称为函数的_极__值__.
【补偿训练】
若函数f(x)=ax3+x+1有极值,则a的取值范围为____________.
【解析】f′(x)=3ax2+1.
(1)当a≥0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上单调递增,无极值.
(2)当a<0时,令f′(x)=0,解得x=± .1
3a
可判断知x=- 1 时,f(x)取极小值;
3a
. 1－ln x
x2
x
(0,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
1 e
↘
因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)= 1,没有极小值.
e
【方法技巧】 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f′(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f′(x)=0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情 况求极值. 提醒:求极值时,务必要给出极值点左、右两侧导数的正负号.
关键能力·合作学习
类型一 求函数的极值 【典例】1.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切 线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为____________. 2.求函数 f(x)= ln x 的极值.
x
【思路导引】1.求极大值与极小值之差⇒y′⇒x=2处有极值,x=1时的导数值. 2.首先确定函数的定义域,求方程f′(x)=0的全部实根,判断极值.
【微提醒】极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个定义域内最 大或最小.极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
【思考】 (1)在定义域内,函数的极大值是惟一的吗?函数的极大值一定大于其极小值
吗?函数的极值点可能在区间的端点产生吗?作图说明.
提示:如图,f(x2),f(x4)是极大值,f(x1),f(x3),f(x5)是极小值,可知函数的极 大值是不惟一的,极大值不一定大于极小值,如f(x4)<f(x1).函数的极值点不能 在区间的端点产生.
所以当x=0时,函数有极大值,f(x)极大值=c. 当x=2时,函数有极小值,f(x)极小值=c-4. 所以f(x)极大值-f(x)极小值=4. 答案:4
2.函数f(x)= ln的x 定义域为(0,+∞),且f′(x)=
x
令f′(x)=0,解得x=e.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如表:
x= 1 时,f(x)取极大值.故a<0.
3a
答案:a<0
类型三 函数极值的综合应用 【典例】1.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数在区间 (3,+∞)上单调____________.(填“递增”或“递减”) 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) 求b关于a的函数关系式,并写出定义域.
2.f′(x)=
a+2bx+3=
x
2bx2＋3x＋a,因为函数的极值点为x1=1,x2=2,
x
所以x1=1,x2=2是方程 2bx2＋3x＋a =0的两根,
x
即为2bx2+3x+a=0的两根,
所以由根与系数的关系知
解得
a＝－2， b＝－12 .
－23b＝1＋2，?
a ＝1 2b
2，
答案:-2 - 1
x f′(x) f(x)
(-∞,x1) +
↗
x1 0
极大值
(x1,x2) -
↘
x2 (x2,+∞)
0
+
极小值 ↗
故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3,因此b=
2a2 3， 定义域为(3,+∞).
9a
【方法技巧】三次函数有极值的充要条件 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别 式Δ=4b2-12ac>0. 提醒:对于函数y=ax3+bx2+cx+d要先观察三次项系数a是否为0.
【解析】1.y′=-3x2+12x=-3x(x-4). 由y′=0,得x=0或x=4. 且x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0,函数单调递减; x∈(0,4)时,y′>0,函数单调递增. 所以x=4时取到极大值. 将x=4代入函数解析式 得-64+96+m=13,所以m=-19. 答案:-19
(2)试结合函数y=x3思考:当f′(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值? 提示:y=x3在R上单调递增,无极值. 但y′=3x2,当x=0时,y′=0.故f′(x0)=0时,函数f(x)在x0处不一定取得极值.
【自我总结】 1.极值点的分布规律 (1)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大 值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点; (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的 极大值点与极小值点是交替出现的.
9a
因为f(x)有极值,故f′(x)=0有实根,
从而b- a2 1 (27-a3)≤0,即a≥3.
3 9a
a=3时,f′(x)>0(x≠-1),
故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
a>3时,f′(x)=0有两个相异的实根x1=
x2= －a
a 2－3b .
3
－a－ a2－3b ， 3
列表如下
2.若函数f(x)= x2 a 在x=1处取极值,则a=_______________.
x 1
【解析】因为f′(x)= 2x（x 1）（x2 a）＝x2 2x a ，
（x 1）2
（x 1）2
又因为函数在x=1处取极值,所以f′(1)= 3 a =0,解得a=3.
4
答案:3
3.已知函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围为 ____________. 【解析】f′(x)=ex-a,函数f(x)在(0,1)上有极值, 所以f′(x)=0在(0,1)上有解, 所以a=ex,x∈(0,1),所以1<a<e. 答案:(1,e)
Δ>0 a>0
a<0
Δ≤0
【变式训练】
已知函数f(x)=mln x+ n +1,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=3x-4.
x
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设函数g(x)=af(x)- x 在(0,1)上有极值点x0,求a的取值范围.
2
【解题指南】已知切线可以求出切点及切点处的导数值,从而确定函数的解析式,
2t 2 t
6
【核心素养培优区】 【规范答题案例】根据单调性求参数的取值范围 【典例】(14分)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.试确定a,b的 值,并求f(x)的单调区间.
【变式训练】 已知函数f(x)=x2ex,求f(x)的极小值和极大值. 【解析】f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x(x+2)ex, 列表:
x f′(x)
f(x)
(-∞,-2) +
↗
-2
0
极大值 f(-2)
(-2,0) -
↘
0
0
极小值 f(0)
故当x=-2时,f(x)取得极大值为f(-2)=4e-2, 当x=0时,f(x)取得极小值为f(0)=0.
【解析】1.因为y′=3x2+6ax+3b,由已知得
3 22 6a 2 3b 0, a 1,
3
12
6a
பைடு நூலகம்
3b
3,
b 0.
所以y′=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2.
当x<0时,y′>0,函数单调递增;
当0<x<2时,y′<0,函数单调递减;
当x>2时,y′>0,函数单调递增.
2
【方法技巧】 已知函数极值点或极值求参数的要领
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求 解后必须验证根的合理性.
【变式训练】 若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为 ( )