【配套K12】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理知识

2.3.1 平面向量基本定理
疱工巧解牛
知识•巧学
一、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.
其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
误区警示
(1)定理中的e 1、e 2是两个不共线向量；
(2)a 是平面内任一向量，且实数对λ1、λ2是唯一的；
(3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.
二、向量的夹角
1.已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)
叫做a 与b 的夹角.
学法一得 (1)当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角θ是指从同一点出发的向量a 与b 所成的角，θ∈(0°,180°).
(2)当向量a 与b 共线时，若同向，则θ=0°；若反向，则θ=180°.
综合可知：向量a 与b 的夹角θ∈［0°,180°］.
2.a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a⊥b.
典题•热题
知识点一 平面向量的基本定理
例1 如图2-3-3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且=a ，=b ，用a 、b 表示、、和.
图2-3-3
思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.
解：在ABCD 中，∵AC =+=a +b ，
=-=a -b ， ∴=21-=21-(a +b )=21-a -2
1b ，
MB =
21DB =21(a -b )=21a -2
1b ， MC =21AC =21a +21b ，MD =-MB =21 a +21b . 方法归纳 由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.
例2 如图2-3-4，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形.又BM=
31BC ，CN=3
1CD ，试用a 、b 表示、、.
图2-3-4
解：∵=-=a -b ，=
31=61=61a -61b , ∴=+=b +61a -61b =6
1a +65b . 又∵=a +b ，得=32=3
2a +3
2b . ∴MN =ON -OM =21a -61b . 例3 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，M 、N 是DA 、BC 的中点，设=e 1、=e 2，以e 1、e 2为基底表示、、.
思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与AD 、AB 之间的关系.
解：(1)∵∥，∴存在唯一的实数k ，使=k·，即=k e 2(0＜k ＜1).
图23-5
(2)由图2-3-5,可知=-=e 1-e 2， 而=+=e 1-e 2+k e 2
=e 1+(k-1)e 2(0＜k ＜1).
(3)=
2
1(AB +) =21(e 2+k e 2)=21(k+1)e 2(0＜k ＜1). 知识点二 判定动点P 在定直线AB 上
例4 设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且=m +n .
证明：(1)由三点共线、n 满足的条件.
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使=λ， 即-=λ(-)， ∴=(1-λ)+λ.
令m=1-λ，n=λ， 则=m +n 且m+n=1.
(2)由m 、n 满足m+n=1 A 、B 、P 三点共线. 若=m +n 且m+n=1，则=m +(1-m) ， 则-=m(-)， 即=m .∴与共线.∴A、B 、P 三点共线.
由(1)(2)可知，原命题是成立的.
思考一下，若m=n=2
1时，OP 如何表示?P 点在什么位置? 方法归纳 由上题证明可知：对直线AB 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式=(1-t)+t (*)，反之，对每一个数值t ，在直线AB 上都有唯一的一个点P 与之对应；向量式(*)叫做直线AB 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数.此结论为我们提供了判定动点P 在定直线AB 上的一种方法.当t=21时，=2
1(+)，此时P 为线段AB 的中点，这个公式就是线段AB 的中点的向量表达式.
知识点三 向量的夹角
例5 试指出图2-3-6中向量的夹角.
图2-3-6
答案：(1)∠A OB=θ为两向量的夹角； (2)与的夹角为0°，两向量同向共线； (3)与的夹角为180°，两向量异向共线；
(4)两向量的夹角为θ.
知识点四 利用向量证明三点共线
例6 设两非零向量e 1和e 2不共线.
(1)如果=e 1+e 2，=2e 1+8e 2，=3(e 1，-e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.
思路分析：要证明A 、B 、D 三点共线，需证存在λ，使=λ(e 1+e 2)即可.而若k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).
解：(1)∵AB =e 1+e 2，BD =BC +CD =2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB ， ∴、共线.又因两向量有公共点B ，
∴A、B 、D 三点共线.
(2)∵k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2)，
则(k-λ)e 1=(λk-1)e 2.由于e 1与e 2不共线，
只能有⎩⎨⎧=-=-.
01,0k k λλ则k=±1.
方法归纳 证明三点共线，可结合题目条件，把e 1与e 2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量，用e 1与e 2表示出来，依据向量共线的条件判定向量共线，又因为这两个向量有共同点，所以可证三点共线.
问题•探究
方案设计探究
问题 平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.
探究过程:
如图2-3-7，设直线l 的倾斜角为α(α≠90°).在l 上任取两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，不妨设向量21P P 的方向是向上的，那么向量21P P 的坐标是(x 2-x 1,y 2-y 1).过原点作向量OP =21P P ，则点P 的坐标是(x 2-x 1,y 2-y 1)，而且直线OP OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义,得tan α=1
212x x y y --.
图2-3-7
探究结论:k=tan α=1
212x x y y --就是《数学2》中已经得到的斜率公式，上述推导过程比《数学2》中的推导过程简捷的多，由此可见向量作为工具是非常有用的.
交流讨论探究
问题 我们本节学习了基底的定义，你认为人民币中的元、角、分可以作为基底吗？
探究思路:学生甲：基，是事物发展的根本或起点，被看作一个单位的对象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表达全部事物中任一事物的数量最少的单位对象的集合.在我们的生活中，人民币的计数单位有元、角、分，表示任意币值的基底是“元”，如10万元，2亿元等.
学生乙：这些不能用“角”作为基底来表示吗？
学生甲：当然也可以是“角”，更可以是“分”,但由于元、角、分之间存在着换算关系“1元=10角=100分”，因此不能将“元、角、分”作为基底.
学生乙：那么现实中不是有7元6角5分的说法吗？这个是不是以“元、角、分”作为基底的？
学生甲：事实上，我们同样可以用元来表示这一说法，如7.65元.
探究结论:由此我们可以看出作为基底的一个重要原则便是数量最少，但又能表示全部!。