安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考考前模拟数学试题含解析

安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考考前模拟数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(),1
2,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩
，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）
A ．()1,11,12e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．(]1,11,12e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．()1,11,13e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．(]1,11,13e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
2．如果实数x y 、满足条件10
{1010
x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13-
D ．34
-
4．已知函数()()0x
e f x x a a
=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()0,e
C ．(),e +∞
D ．1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
5．复数
12i
i
--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知函数()(0x
f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，
则||a f =，384b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，|(0)|
c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<
D ．b a c <<
7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．4π
B ．16π
C ．
163
π
D ．
323
π
8．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2π
ϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫
∀∈≤ ⎪⎝⎭
恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()3
6k k k z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．2,()3
3k k k z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()3
3k k k z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．2,()3k k k Z πππ⎡
⎤
+
⎢⎥⎣
∈⎦
9．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 10．已知函数()2ln 2x
x f x ex a x
=
-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．2
1,e e ⎛⎫-∞+
⎪⎝⎭ C ．2
1,e e
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣
⎭
D ．2
1,e e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
11．若函数3
2
()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则
6
3
S S 的值为（ ） A ．
32
B ．
12
C ．
78 D ．
98
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数
满足
则
的最大值为________.
14．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.
15．6
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，3
x 项的系数是__________．
16．在23(
)n x x
+的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首
项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式．
18．（12分）已知抛物线1C ：22y px =（0p >）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.
（1）求p 的值；
（2）设()00,P x y （002x <≤）为抛物线1C 上的动点，过P 作圆()2
211x y ++=的两条切线分别与y 轴交于A 、B
两点.求AB 的取值范围.
19．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望.
20．（12分）设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()2
22:11x
C y a a
+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且
12•PF PF 的最小值为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
21．（12分）已知函数()()210f x x x m m =+--> （1）当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；
（2）()()()2,g x f x g x =-的图象与两坐标轴的交点分别为,,A B C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围.
22．（10分）已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：
12
222b b ++…1()2
n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
当1x >时，函数周期为2，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数()f x 和1y mx =+有图像两个交点，计算1
3
AC e k -=，1BC k e =-，根据图像得到答案. 【详解】
当1x >时，()()2f x f x =-，故函数周期为2，画出函数图像，如图所示： 方程()10f x mx --=，即()1f x mx =+，即函数()f x 和1y mx =+有两个交点.
()x f x e =，()'x f x e =，故()'01f =，()1,B e ，()3,C e ，1
3
AC e k -=
，1BC k e =-. 根据图像知：(]1,11,13e m e -⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
.
故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键. 2、B 【解析】
解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B
3、B 【解析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13
BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2AD AB AC =+ ，
51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 4、B 【解析】
函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x
e
y a =的图象在直线y x
=上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数x
e
y a
=的变化趋势，从而得a 的范围．
【详解】
由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x
e x a
>，
x
e y a
=的图象永远在y x =的上方，
设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则0
1x x e a
e x
a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，
易知a 越小，x
e
y a
=图象越靠上，所以0a e <<.
故选：B ． 【点睛】
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围． 5、A 【解析】
试题分析：由题意可得：
131
255i i i -=--. 共轭复数为3155
i +，故选A.
考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系 6、C 【解析】
根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而
|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c .
【详解】
因为()(0x
f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，
所以01m <<，(1)0f =，
所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为313
824
12422<
=<=<，
所以a b <，
又|(0)|1c f m ==-，2
|(2)|f m m =-，
则|2
|(2)||(0)|10f f m -=-<，
即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 7、D 【解析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】
如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即
ABM ∠＝60°
，由底面边长为3得232
BM =⨯=
∴tan 603AM BM =︒==．
正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ，
则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333
V R πππ=
=⨯=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 8、A 【解析】
,()6x R f x f π⎛⎫
∀∈≤ ⎪⎝⎭⇒max ()16f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再解不等式
222()2
6
2
k x k k z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈即可.
【详解】
由已知，max ()sin 163f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫
==+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin 1,0,32ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
+=±∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以6π=ϕ，
()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，由222()262k x k k z πππππ-≤+≤+∈，
解得，()3
6
k x k k z π
π
ππ-≤≤+
∈.
故选：A. 【点睛】
本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 9、A
【解析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可. 【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是 “任意0m >，使方程20x x m +-=无实根”. 故选：A 【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题. 10、B 【解析】
求出导函数()f x '
，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】
2
1ln ()2()x
f x x e x
-'=
--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值2
1()f e e a e
=+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，
因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e
<+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围． 11、D 【解析】
对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】
因为()3239f x x ax x =++-，所以()2
323f x x ax =++'，
又函数()3
2
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，
所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 12、C 【解析】
求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得6
3
S S 的值. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=，3
201920161
8a q a ∴=
=-，12
q ∴=-， 因此，63
63317118
S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】 根据柯西不等式：，故
，
当，即，
时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 14、10 【解析】
根据已知数据直接计算即得. 【详解】
由题得，9.49.79.810.310.8
105
x ++++=
=.
故答案为：10 【点睛】
本题考查求平均数，是基础题. 15、240 【解析】
利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可. 【详解】
由题意得：6161(2)
(
)r r
r r T C x x -+=，只需3
632
r -=，可得2r ，
代回原式可得3
3240T x =， 故答案：240. 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难. 16、15 【解析】
利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项. 【详解】
因为23n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的二项展开式中，所有项的系数之和为4n =1024, n=5,
故5
23x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式的通项公式为T r+1=C ·
35-r 5102r x -,令51002r -=,解得r=4,可得常数项为T 5=C ·3=15,故填15. 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)11{2
a q ==（2）1
22n n T n +=--
【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握． （1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）112121{
24T a T a a ===+=121
{2
a a =⇒=2q ⇒=11{2a q =∴= （2）12n n
a ，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅ 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅+
+⋅+⋅
两式相减：1
22n n T n +=--
18、（1）2p =；（2）02AB <≤ 【解析】
（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到342
p
+
=求解. （2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-，根据直线与圆()2
211x y ++=相切，
1=，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，根据题意()()0010020,,0,k A y x B y k x --，建立
012k k A x x B -==.
【详解】
（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4， 由抛物线的定义得：342
p
+=， 解得:2p =.
（2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-， 因为直线与圆()2
211x y ++=相切，
1=，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，
()20001212220000
211
,22y x y k k k k x x x x +-+=⋅=++，
由题意得：()()0010020,,0,k A y x B y k x --
所以
012k k A x x B -==
==
因为002x <≤， 所以
0112
214x +≤<， 所以02AB <≤. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19、（1）421
；（2）见解析 【解析】
（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可 【详解】
（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以()11
24154
10404
21021
C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，
()40734
101
06C C P X C ⋅===， ()31734
101
12C C P X C ⋅===， ()22734
103
210C C P X C ⋅===， ()13734
101
330
C C P X C ⋅===， X 的分布列为
01236210305
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题
20、（1）2
212
x y +=；（2）2.
【解析】
（1）利用12•PF PF 的最小值为1，可得22
2
2
2
2122
1•1a PF PF x y c x c a
-=+-=+-，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；
（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值． 【详解】
（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+，()2,F P x c y =-，
22
2
2
2
21221•1a PF PF x y c x c a
-∴=+-=+-，[],x a a ∈-，
由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，
∴椭圆C 的方程为22x y 12
+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程22
22x y +=中， 得(
)
2
22
214220k x kmx m +++-=．
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，(
)(
)
2
2
2
2
16421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．
设112
1
k m d F M k -+==
+，222
1
k m d F M k +==
+，
当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，
121
=
MN d d k
∴⋅-， ()12122211
=21
m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+，
2221m k =+，
22244=
11
1
m m S k m m m
∴=
=
+++
∴当0k ≠时，1m >，1
2m m
+
>， 2S <∴．
当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =． 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2． 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21、（1）153x x ⎧
⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）(3,)+∞ 【解析】
（1）当2m =时，不等式()1f x ≤可化为：2121x x +--≤，再利用绝对值的意义，分1x <-，1-≤≤x ，2
x >
（2）根据()()2g x f x =-可得()4,13,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
，得到函数()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为
()()4,0,0,,,03m A m B m C ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，再利用三角形面积公式由()23123S m m =+>求解.
【详解】
（1）当2m =时，
不等式()1f x ≤可化为：2121x x +--≤ ①当1x <-时，不等式化50x +≥为， 解得：51;x -≤<-
②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤， 解得：1
13
x -≤≤-
， ③当2x >时，不等式化为30,x +≤解集为Φ，
综上，不等式的解集为153x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭.
（2）由题得()4,1
3,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
，
所以函数()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为()()4,0,0,,,03m A m B m C ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，
ABC ∆∴的面积为()()1243233m S m m m m ⎡⎤
=
---⨯-=+⎢⎥⎣⎦
， 由()2
3123
S m m =
+>， 得6m <-（舍），或3m >， 所以，参数m 的取值范围是(3,)+∞. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用，还考查分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 22、（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +-
d=．（Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2
c=．
由,可得2
n
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则.
即，
c=，且．
可得2
n
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式．。