第十一章阻抗和导纳-电路分析基础

2) 利用相量关系式进行计算


Um  jL I m


Im

Um
  j 8  50  0.02 140
jL
100 4
3) 根据所得相量写出对应的正弦量
i(t)  0.02 cos(100t 140  ) A
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第8章 阻抗和导纳
二、复数的四则运算
8-3 振幅相量
正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。
正弦波，以正弦电压为例，可表示为
u(t)  Um cos(t  )
  2f  2
T
正弦波的三特征：振幅、角频率（频率、周期）和初相。
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3
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
在正弦激励的交流动态电路中，其各电压、电流均为与激励 同频率的正弦波。 电力系统中，正弦稳态分析很重要。理论上，掌握了线性时不 变电路的正弦稳态响应，也即掌握了它对任何信号的响应。
结束 12
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
从相量图研究相位关系 更直观
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第8章 阻抗和导纳
例8-6：已知
电路分析基础
其中：uab  10cos(t  60 )  10cos(t  60 180 )
 10cos(t  240 )
 uac  5.04 cos(t  67.5 )
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
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第8章 阻抗和导纳
§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式
电路分析基础
设元件接在正弦稳态电路中，两端的电压和流过的电流为关
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
引入“变换”的思路，可用电阻电路的分析方 法解决正弦稳态分析问题。
第一部分：引入阻抗和导纳、相量模型，类比 运用已经很熟悉的电阻电路解法。
第二部分：只求有效值和只求相位两类特殊问 题，引入相量图法。
相量分析法是正弦稳态分析的基础。
Im  CUm
 i  u  90
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
三、电感元件
u(t)  Um cos(t  u )
i(t)  Im cos(t  i )
电感元件VCR的时域关系推导 亦可由对偶关系直接得出

 U m  u
电路分析基础
Im cos(t  i )  CU m cos(t  u  90 )

电容元件伏安关系的相
若
U m  U m u
量形式



由线性性质得： I m  CU m 90  jCU m
即 CU m( u  90 )  Im i
亦可得： 相量图

C
d dt
Um
cos(t
 u
)
 CUm sin(t  u )
 CUm cos(t  u  90 )  Im cos(t  i )
可得：
Im  CUm
讨论
 i  u  90 电流超前电压90。
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第8章 阻抗和导纳
结束 16
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
由线性性质得：


Um  RIm
即
Um u  RI m i
电阻元件伏安关系的相 量形式
可得：
Um  RIm
振幅符合欧姆定律
u i
电压、电流同相
相量图
用相量关系求解的三个步骤
（1）写出已知正弦信号的相量；
（2）利用相量关系式进行计算；
（3）根据相量写出对应的正弦量。
设正弦量为

f1(t)  Re( A1 e jt )

f2 (t)  Re( A2 e jt )

且 A1  f1(t)

A2  f2 (t)
则

f1(t)  f2 (t)   A1  A2
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9
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
二、KCL的相量形式
电路分析基础
8-6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入
一、阻抗
1、定义：正弦稳态时，元件电压相量与电流相量的比值定
义为元件阻抗，用Z表示。
即：
Z

U m Im
三种元件的相量关系可归结为
欧姆定律的 相量形式
U m  ZIm
三种元件的阻抗分别为： ZR  R
ZC

1
jC
 j
C
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相量图为
由图可知，电流超前电压 90 。
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
例8-9：流过4H电感的电压为 u(t)  8cos(100t  50 ) A 。
试求电感电流i(t) 。
解：用相量关系解 1) 写出已知正弦量的相量

U m  8  50V
ZL  jL
n Ikm  0
k 1
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
三、KVL的相量形式
同理可得KVL的相量形式为
n U km  0
k 1
在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电
压振幅相量写出。
例8-5：如图所示电路中的一个节点，
i1(t)  10cos(t  60 )A i2 (t)  5sin(t)A
纯电阻电路 含动态元件、电阻的电路
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
二、电容元件
u(t)  Um cos(t  u )

 U m  u
i(t)  Im cos(t  i )

 I m  i
电容元件VCR的时域关系
i

C
du dt
设线性非时变电路在单一频率的正弦激励下，进入稳态时， 各处电压、电流都为同频率的正弦波，因此在所有时刻，对
    任一节点，KCL可表示为： n ik  n Re Ikme jt  0
k 1
k 1
其中
Ikm

I e jk km
为第k条支路电流iK的振幅相量。
根据线性性质得，KCL的相量形式为：


Um 
Im j
jC
2  30  2  120  0.02 100 0.5 50
2 120
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第8章 阻抗和导纳
3) 根据所得相量写出对应的正弦量
电路分析基础
u(t)  0.02 2 cos(100 t 120  ) A

I 3m  4240
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
例8-3，写出各振幅相量对应的正弦电压。已知f=50HZ
解：已知f=50HZ，则角频率   2f  100

1、U1m  50  30V
根据给定振幅相量直接写出其对应的正弦波。
 u1(t)  50 cos(100t  30 )V
结束
4
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
因此 u(t)  Um cos(t  ) 可写为
u(t)  Re[U me j(t ) ]  Re[U me j e jt ]


 Re[U m e jt ]  Re[U m t]

其中 U m  Ume j  Um
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1
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
第八章 阻抗和导纳
8-1 变换方法的概念 原来的问题 直接求解
原来问题的解答
变换
变换域中较易 的问题
求解
反变换
变换域中较易 问题的解答
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2
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第8章 阻抗和导纳
8-2 复数 一、表示形式
电路分析基础
I1m  560
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结束
6
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2、i2 (t)  10 sin(314 t  60 ) A
给定正弦波不是标准形式，按照三角函数的变换关系，化成 标准形式后再写其振幅相量。
i2 (t)  10sin(314t  60 )A  10cos(314t  60  90 )
由KCL的相量形式得



I1m  I 2m  I 3m  0
则：

I 3m  1060 A  5  90 A
 5  j8.66  j5  5  j3.66
 6.236.2 A
 i3(t)  6.2 cos(t  36.2 ) A
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 10cos(314t 150 )

I 2m  10150
3、i3(t)  4 cos(314 t  60 ) A
化成标准形式后再写其振幅相量。
i3(t)  4 cos(314t  60 ) A  4 cos(314t  60 180 )
 4 cos(314t  240 )

 U abm  10240
ubc  8sin(t 120 )  8cos(t 120  90 ) 
 8cos(t  30 )  U bcm  830
则：

U acm  5  j8.66  6.93  j4  1.93  j4.66
 5.04  67.5

2、U 2m  100150V
u2 (t)  100 cos(100t 150  )V
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8
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式
一、相量的线性性质
若干个同频率的正弦量（前可有实系数）线性组合的相量，等
于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。
 两者之间用
表示
三、相量图
相量在复平面上的图，称为相量图。
相量与 e jt 的乘积在复平面上表示，该相量以恒定的角速
度  逆时针旋转。
例8-2，写出各电流的振幅相量，并绘相量图
1、i1(t)  5cos(314 t  60 ) A
给定正弦波的标准形式，可根据振幅和初相直接写出其振幅相量

初相
振幅
称为电压振幅相量

同理，也有电流振幅相量 I m  Ime j  Im
二、正弦波与振幅相量的变换
两者有联系，但并不相同。正弦波是随时间按正弦规律变
化的实数，属于时域。振幅相量是复数，能代表正弦波，属于
复数域。
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5
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
相量分析法是一种专门用以分析正弦稳态电路的方法。
一、振幅相量
根据欧拉公式 e j  cos  j sin 令   t 得 e jt  cost  j sin t 则
cos(t)  Re(e jt ) sin(t)  Im( e jt )
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
 I m  i
电感元件伏安关系的相 量形式


U m  jL I m
可得：
U m  LI m
讨论
 u  i  90
电流滞后电压90。
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第8章 阻抗和导纳
相量图
电路分析基础
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第8章 阻抗和导纳
求i3 (t )
解：为了利用KCL的相量形式，应首先写出i1、i2的振幅相量
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结束 11
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
பைடு நூலகம்
i1(t)  10cos(t  60 ) A  I1m  1060 A 
i2 (t)  5sin(t)A  5cos(t  90 )  I 2m  5  90 A
电路分析基础
例8-8：流过0.5F电容的电流为i(t)  2 cos(100t  30 ) A 。
试求电容的电压u(t)，并绘相量图。 积分运算，复杂
解：可用VCR的时域关系计算
用相量关系解
1) 写出已知正弦量的相量
2) 利用相量关系式进行计算


I m  jC U m

Im 
2  30 A
联参考方向，可表示为
u(t)  Um cos(t  u )

 U m  u
i(t)  Im cos(t  i )

 I m  i
一、电阻元件
由欧姆定律得，电阻元件时域VCR关系是：
Um cos(t  u )  RIm cos(t  i )
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