常用逻辑用语复习教案

2-1 第一章常用逻辑用语

小结与复习(教案)

【知识归类】

1．命题：能够判断真假的陈述句.

2. 四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p

⌝则⌝则p

⌝.

⌝;逆否命题: 若q

q

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:

原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定.

原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真,它的否命题真命题.

原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假.

逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.

3. 充分条件与必要条件:

⇒:p是q充分条件; q是p必要条件;

p q

⇔是的充分必要条件，简称充要条件.

:

p q p q

4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示，意义为：

或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.

按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.

p:矩形有外接圆; :q矩形有内切圆.

或矩形有外接圆或内切圆（真）

p q

:

且矩形有外接圆且有内切圆（假）

p q

:

非p:矩形没有外接圆（假）

5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.

6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、

“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫特

称命题.

(1) p 与p ⌝的真假相异,因此,欲证p 为真,可证p ⌝为假,即将p ⌝作为条

件进行推理,如果导致矛盾,那么p ⌝必为假,从而p 为真.

(2) “,p q 若则”与“q p ⌝⌝若则”等价.欲证“,p q 若则”为真,可由假设

“q ⌝”来证明“p ⌝”,即将“q ⌝”作为条件进行推理,导致与已知条件p 矛盾.

（3）由“,p q 若则”的真假表可知，“,p q 若则”为假，当且仅当p 真q 假，

所以我们假设“p 真q 假”，即从条件p 和q ⌝出发进行推理，如果导致与公理、

定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,p q 若则”是真命

题.

后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.

【题型归类】

题型一：四种命题之间的关系

例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）.

(A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.

解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:

0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D

【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否

命题.

题型二：充分、必要条件题型

例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）.

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条

件

【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角

的正弦值相等是否一定有两个角相等.

解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充

分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.

【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充

分条件; q 是p 不必要条件.

变式练习：“1a =”是“,21a x x x

+

≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件

例3 221:212;:210(0)3

x p q x x m m --≤-

≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围. 【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的

关系,利用集合的理论方法将问题解决.

解: 由22210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，

{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或.

{}112210,:2103

x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A

⊆于是：

012110m m m >⎧⎪-≥-≤⎨⎪+≤⎩

解得0

【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能

把各种关系清楚地描绘出来.

题型三：复合命题真假的判断

例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；

q ：

方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围.

【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m

的取值范围.

解：240,:2;0

m p m m ⎧∆=->>⎨>⎩解得 ()()2

2:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得 p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，

2,2,3121 3.

13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和

根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复

合命题的真假判断.

变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数

()f x =

()73x

a --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.

题型四：全称命题、特称命题

例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:

(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B A B ⊄⇔=∅

(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得