抛物线的焦点弦性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线px y 22
=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点
结论1：p x x AB ++=21
p x x p
x p x BF AF AB ++=+++
=+=2121)2
()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p
AB =
证: (1)若2
π
θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2)若2
π
θ≠
时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -
=即2
cot p
y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=
由弦长公式得θ
θθ2
2212
sin 2)cot 1(2cot
1p
p y y AB =
+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小
p p
2sin 21sin 2
2≥∴
≤θ
θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8
3
2为定值p AB S oAB =∆
()8
sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2
1
sin 21322
20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =
∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=
+=∆∆∆∆θθθθθϑθ
结论5： (1) 2
21p y y -= (2) x 1x 2=4
2
p
证44)(,2,22
2
221212
22211P P
y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2
2
2
1
11AB BF
AF BB AA MM =
+=
+=
故结论得证
结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F
FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F
M ⋅=2
1
（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2
1212
1
4M M B M AM =+
证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1
11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点
1
11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴
︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA
∴M 1F ⊥AB
BF AF F M ⋅=∴2
1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM
︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2
212
1
AB B M AM =+
()()()2
12
12
11
2
42MM MM BB AA
BF
AF ==+=+=
结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴
证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 22121
11122,221-=-====
，而221p y y -=
所以122
2
22oB oA k p y y p
p
k =-=-=
所以三点共线。

同理可征（2）（3）（4） 结论10：
p
FB FA 211=+
p
21
|CD |1|AB |1=+证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为
E,θ的倾斜角为
因为直线L 则θ
θcos 1cos -=
∴=+=+=P
AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得
P BF θcos 11+= ∴p
FB FA 2
11=+ 结论11：
证:A
A B B EA E B A A FA B B BF FA
BF EA E B AA EF BB 111
1111
111,////=
∴
===
∴
EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠＝相似于EA A E BB E AA
PEQ
EF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即＝＝＋＝＋
0K K X BE AE BE
AE BF
AF BE AE ＝＋轴对称关于和直线直线∴=
∴
(4) 90AEB FB EF AF 2
︒∠∴=＝＝＝时，当π
θ
2px y 2p -x k y L 2 2=⎪⎭
⎫
⎝⎛=≠
将其代入方程的方程为时，设直线当π
θ ()
k
2
k p x x )y ,B(x ),y ,A(x 04p k 2)x p(k -x k 2
2212211222
2
2
+=+=++则设得 x 1x 2=4
p 2
假设12
2y 1K K BE AE 22
11
BE AE -=+
⋅
+∴⋅⊥p x y p x ＝－
则
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即
(
)()()()()
()()
2
22222222
21212
2121k 2p 01k 4p 1k x x 2p x x 1k k k k p -+=
+∴=++-+-+∴
结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02
结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则
推广与深化：
AE BE AF AE
(1)PEQ (2)
(3) K K 0BF BE
(4) AE BE , AE BE
2
2
EF π
π
θθ∠=+==
⊥≠
线段平分角当时当时不垂直于
深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．
证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：0ap 2pmy 2y 2
=--，∴pa 2y y 21-=．
深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则21
|AB ||FR |=
证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：)
2p
x (tga y -=， 代入px 2y 2
=得：px 2)4p px x (a tg 2
2
2
=+-，
即：0
4p )a pctg 2p (x x 22
2
=++-．
由性质1得
a sin p
2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=
+=++=，
又设AB 的中点为M ，则
|
a cos a pctg ||a cos 2p
2x x ||FM |221=-
+=， ∴
a sin p |a cos a pctg ||a cos ||
FM ||FE |222=
==， ∴
21|AB ||FR |=．
深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯
、、，且它们等分周角2π，则有
（1）
∑
=⋅n
1
i i i |FB ||F A |1
为定值； （2）
∑
=n
1
i i i |B A |1
为定值．
证明：（1）设抛物线方程为
a
Fx A ,cos 1p
1=∠θ-=
．
由题意
π-+=∠⋯π+=∠π+
=∠n 1
n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32，
所以222
211
p a sin p a cos 1p )a cos(1p a cos 1|FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅， 同理22n n 2
222p )
n 1
n a (sin |FB ||F A |1,,p )n a (sin |FB ||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅
易知
2n
)n 1n a (sin )n 2a (sin )n a (sin a sin 2222=
π-++⋯+π+π++， ∴
222n
1
i 2222
i i p 2n p )
n 1
n a (sin p )n a (sin p a sin |FB ||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑
=．
（2）∵a sin p
2a cos 1p 2)a cos(1p a cos 1p |B A |2211=
-=+π-+-=
，
∴p 2)n 1
n a (sin |
B A |1
,,p 2a sin |
B A |1
2n n 2
11π-+
=⋯=
，
∴
p 4n p 2)
n 1n a (sin p 2)n a (sin p 2a sin |B A |12
n
1
i 22i i =π-++⋯+π++=∑
=．。