2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练（附答案）1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论：
①若a＜0，则c＞n；
②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
③方程ax2+（b﹣n）x+c＝0一定有两个不相等的实数解；
④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）．
其中正确的是（填写序号）．
2．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣3的四个结论：①当m＝1时，抛物线的顶点为（1，﹣6）；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为﹣4；
④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1＜x2，y1＜y2，则x1+x2＞2m；其中
正确的是．
3．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3＝1，则x的值为；
（2）抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标是；
（3）若2☆a的值小于0，则方程﹣2x2﹣bx+a＝0有个根．
4．若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是．5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴交抛物线于点P，交x轴于点Q，点A是PQ右侧的抛物线上的一点，过点P做PB⊥P A交x轴于点B，若设点A的横坐标为t（t＞1），线段BQ的长度为d，则d与t的函数关系式是．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x…﹣30135…
y…7﹣8﹣9﹣57…
则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为．
7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2与x轴相交于A，B两点．若线段AB的长不小于2，则代数式a2﹣6a+7的最小值为．
8．把抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c＝．
9．若关于x的分式方程﹣＝1有正整数解，且关于x的函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+﹣1的图象在x轴的下方，则满足条件的所有整数m的值之和为．
10．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝m，则m的值为．
11．如图是二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象，若y≥0，则x的取值范围是．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），且a+b+c＝0，有下列结论：
①该抛物线经过点（1，0）；
②若a＝b，则抛物线经过点（﹣2，0）；
③若a，c异号，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2＜1，若a＜c＜0，则y1＜y2．
其中所有正确结论的序号是．
13．如图，抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若AB+CD＝6，则抛物线的解析式为．
16．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x 的方程ax2+bx+c＝0的根为．
18．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣，），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．
19．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x 轴的另一个交点的坐标是．
20．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当x⩾0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2⩾m⩾2时，△ABP 面积的最大值为8，则a的值为．
参考答案
1．解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线经过（1，n），
∴a+b+c＝n，即3a+c＝n，3a＝n﹣c，
若a＜0，则n﹣c＜0，
∴c＞n，①正确．
∵3a＝n﹣c，
∴a＝，
∵b2﹣4ac＝4a2﹣4ac＝﹣＝，
∵c与n异号，
∴＞0，
∴抛物线与x轴有2个不同交点，②正确．
∵a+b+c＝n，
∴b﹣n＝﹣a﹣c，
方程ax2+（b﹣n）x+c＝0中Δ＝（b﹣n）2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，∴a＝c时，方程有两个相同实数解，③错误．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得y＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣a+c），
把x＝0代入y＝ax2+bx+c得y＝c，
∴点C坐标为（0，c），
设PC解析式为y＝mx+n，把（﹣1，﹣a+c），（0，c）代入y＝mx+n得，解得，
∴y＝ax+c＝x+c，
把x＝3代入y＝x+c得y＝n﹣c+c＝n，
∴直线PC经过（3，n），④正确．
故答案为：①②④．
2．解：①将m＝1代入二次函数解析式得，y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴抛物线的顶点为（1，﹣6），故①正确；
②Δ＝（2m）2﹣4（﹣2m﹣3）＝4m2+8m+12＝4（m+2）2+4＞0，
∴该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点，故②正确；
③y＝x2﹣2mx﹣2m﹣3＝（x﹣m）2﹣m2﹣2m﹣3，
∴二次函数的最小值为：﹣m2﹣2m﹣3＝﹣（m+1）2﹣2，
∴该函数的最小值的最大值为﹣2，故③错误；
④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1＜x2，y1＜y2，
当m＜x1＜x2时，y随x的增大而增大，此时x1+x2＞2m；
当x1＜m＜x2时，|x1﹣m|＜|x2﹣m|，整理得x1+x2＞2m，故④正确；
故答案为：①②④．
3．解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，
移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，
整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝1，x2＝2；
（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．所以，顶点坐标（，）；
（3）∵2★a的值小于0，
∴22﹣2a+a＜0，
解得a＞4．
在方程﹣2x2﹣bx+a＝0中，
∵Δ＝（﹣b）2+8a≥8a＞0，
∴方程﹣2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
4．解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，
故答案为：k＜．
5．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点P的坐标为（1，4），
∴PQ＝4，
过点A作AH⊥PQ于点H，则∠AHP＝∠PQB＝90°，
∴∠APH+∠P AH＝90°，
∵BP⊥AP，
∴∠BP A＝∠BPQ+∠APH＝90°，
∴∠P AH＝∠BPQ，
∴△APH∽△PBQ，
∴，
∵点A的横坐标为t，
∴A（t，﹣t2+2t+3），
∴AH＝t﹣1，PH＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+1，
∴，
∴BQ＝4t﹣4，
∴d＝4t﹣4，
故答案为：d＝4t﹣4．
6．解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝＝1．根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为x＝3或x＝﹣1．
所以2x+1＝3或2x+1＝﹣1．
解得x＝1或x＝﹣1．
所以一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为：x＝±1．
故答案是：x＝±1．
7．解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴抛物线开口向上，即a＞0，
∵AB≥2，
∴当x＝2时，y≤0，即a﹣2≤0，
解得a≤2，
∵a2﹣6a+7＝（a﹣3）2﹣2，
∴当a＝2时，a2﹣6a+7取最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
8．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，而对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y＝x2﹣2x﹣c在直线y＝2c上截得的线段长度是6个单位，
∴当y＝2c时，x2﹣2x﹣c＝2c，
则x2﹣2x﹣3c＝0，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
∴1+﹣（1﹣）＝6，
2＝6，
∴1+3c＝9，
解得：c＝，
故答案为：．
9．解：∵﹣＝1，
∴3+m＝x﹣1，
∴x＝m+4，
当m+4为正整数时，m为大于﹣4的整数，且m+4≠1，即m≠﹣3，
∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+﹣1＝﹣（x﹣m）2+﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1），
∵抛物线图象在x轴下方，
∴﹣1＜0，
∴m＜2，
∴m的值可以为﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣2﹣1+0+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．解：令2x2﹣8x+6＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣2），
当点P1，P2，P3中有1点为抛物线顶点时满足题意，
∴m＝AB•|y P|＝×2＝2，
故答案为：2．
11．解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），∴y≥0时，x的取值范围为﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
12．解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴抛物线经过点（1，0），①正确．
∵a＝b，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴抛物线经过点（﹣2，0），②正确．
若a，c异号，则Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同交点，③正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵c＜0，
∴抛物线与y轴交点在x轴下方，
∵a＜c＜0，＝x1x2，
∴0＜＜1，
∴抛物线与x轴的一个交点为（1，0），另一交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝1与y轴之间，
∴④错误．
故答案为：①②③．
13．解：∵抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，
∴当y＝0时，x2+x﹣3＝0，
解得x＝﹣9或1，
∴A（﹣9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵AC2＝92+32＝90，BC2＝12+32＝10，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴2∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵∠ACD+2∠ABC＝180°
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝BC＝3，
∴E（﹣9，﹣6），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，
把E的坐标代入得，﹣6＝﹣9k﹣3，
∴k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，
解得或，
∴点D的坐标为（﹣7，﹣），
故答案为：（﹣7，﹣）．
14．解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经过（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣5，0）．
∵抛物线在x轴的上方部分y＞0，
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
15．解：设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则x2+4x+m＝0，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，
则AB＝|x1﹣x2|＝＝，
令x＝0，则y＝m，
∴C（0，m），
∵CD∥x轴，
∴点D纵坐标为m，
当y＝m时，则x2+4x+m＝m，
解得：x＝﹣4，或x＝0，
∴D（﹣4，m），
∴CD＝0﹣（﹣4）＝4，
∵AB+CD＝6，
∴AB＝＝2，
解得：m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，
故答案为：y＝x2+4x+3．
16．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴﹣1+b＝0，解得b＝1；
∴当﹣3＜b＜1时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
当直线y＝x+b与物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝，
当b＞时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
故答案为：﹣3＜b＜1或b＞．
17．解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．
18．解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣，），B（1，1）的横坐标，即x1＝﹣，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣，x2＝1．
19．解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
20．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x＝﹣3或1，
不妨设点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
∴该抛物线顶点的横坐标为＝﹣1，纵坐标为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∵当x⩾0时，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2⩾m⩾2时，△ABP面积的最大值为8，∴当x＝2时，y＝4a+4a﹣3a＝5a，当x＝﹣1时，y＝﹣4a，
∵|5a|＞|﹣4a|，
∴＝8，
即＝8，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．。