人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．设数列{}n a 满足11a =，()
*
112
n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()
*
2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N B ．()
*
2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N C ．(
)
*1
112n n a n -=-
∈N
D ．()
*
122
n n a n =-
∈N 2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1
111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111
n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率
为3f ，第九个音频率9f ，则9
3
f f 等于（ ）
A
B
C
D
4．数列{}n a 的通项公式为1
2n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式
()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．3λ
B ．4λ
C ．2
3λ D ．34λ
5．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
6．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
7．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列；
②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列； ③若n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2
n n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列.
其中正确命题的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③
B ．①②
C ．①③
D ．①④
9．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b
是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则39
48
tan
1b b a a +-⋅的值是（ ）
A
．
B ．1-
C
．-
D
10．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30
B ．35
C ．40
D ．45
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12
n n n a S n N n
++=∈，则n a =（ ） A ．()1
12
n n -+
B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
二、填空题
13．在递减等差数列{}n a 中，2
1324a a a =-，若113a =，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和的
最大值为______.
14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个
音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f
，则
2
1
f f =______． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若
14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.
16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？
17．已知数列{}n a 满足112
a =，121n n a a n n +=++，则n a =__________.
18．等差数列{}n a 满足：
123202012320201111
a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++
++，则其公差d 的取值范围为______.
19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______. 20．若数列{}n a 满足11a =，且()*111
1n n
n a a N +∈-=，则 ①数列{}n
a e
是等比数列；
②满足不等式：11
1
2n n a a +++
≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}
n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311
n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________
21．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额. 22．已知数列{}n a 中，11a =，()*13
n
n n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()
312
n
n n n n
b a =-⋅
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112
n
n n n
T λ--<+
对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 23．等差数列{}n a 满足：12a =、2315a a a +=.数列{}n b 满足()2
2n n b n a =+.
（1）求等差数列{}n a 的通项n a ；
（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：对于任意的n ∈N *，都有34
n S <
. 24．在公差不为0的等差数列{}n a 的前10项和为65，1a 、3a 、7a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n a
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
25．已知正项数列{}n a 满足22
20n n a na n --=，数列
(){}12n n
n a
a -⋅+的前n 项和为
n S ．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ．
26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11
(0n n a a a S a
--=>且1)a ≠.数列{}n b 满足lg n n n b a a =.
（1）当10a =时，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若对一切n *∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围.
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1．B 解析：B 【分析】
利用累加法可求得结果. 【详解】
112n n n
a a +-=
， 所以当2n ≥时，111
2n n n a a ---=
，1221
2n n n a a ----=
，
，211
1
2a a -=
， 将上式累加得：1121111
222
n n a a --=++⋅⋅⋅+，
1
1112211
12
n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦-=
-1
112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，
1122n n a -∴=-
1212n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
2．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得
1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以
2
1
14(1)43n n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
3．A
解析：A 【分析】
依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1
122q =，由此能求出
9
3
f f 的值． 【详解】
依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ， 则12
131=a a q ，且1312=a a ，1
122∴=q ，
86
912
316
191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭
q q f q a a f a a 故选：A ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.
4．A
解析：A
将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*
n N ∈恒成立，转化为27
1
n n n λ
-++对任意*
n N ∈恒成立，由2min
71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.
【详解】 依题意得，()24122412
n n n
T +-==--，
∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为2
2log 2(1)73n n n n λ+-++，
即2
7
(1)n n n λ-++.又*n N ∈，
∴27
1
n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.
只需满足2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭即可.
设1n t +=，则*t N ∈，2t ，
∴27931n n t n t
λ-+=+-+.
∵99
3233t t t t
+
-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min
731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴
3λ，
故选：A. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．B
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S .
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 6．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+
n a n n =，作差得()()()
+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.
对于①，设等差数列{}n a 的公差为d ，则
()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值，故{}1n n a a ++是等差
数列，即①正确；
对于②，设等比数列{}n a 的公比为q ，则
12111
n n n n n n n n a a a q a q
q a a a a +++++++==++为定值，故
{}1n n a a ++是等比数列，即②正确；
对于③，等差数列n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的首项为111S a =，设公差为d ，则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式为
n
S n
=()11a n d +-，所以()11n S na n n d =+-， 则2n ≥时，
1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-，
由1a 符合()121n a a n d =+-，可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-，
则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值，即{}n a 是等差数列，故③正确；
对于④，设等比数列{}n a 的公比为q ，则
()()
()21123
1111n n n T a a a a a a q a q a q -===()
12311n n a q +++
+-()
12
1
n n n a q
-=，所以
()
()
121
2
2211n n n
n
n n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
， 则
()()
211222121
1n n n n n n a q q a q T T ----==为定值，即()2
n n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】
由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确；
111
116111102a a S a +=
⨯=>，故②正确； 1126712
126()02
a a S a a +=
⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.
9．A
解析：A 【分析】
由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出39
48
tan 1b b a a +-⋅的值
【详解】
解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b
是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，
所以36a =-，637b π=，
所以6a =673
b π=， 所以3961423
b b b π+==
，2
4863a a a ⋅==，
所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333
b b a a π
ππππ+==-=-+=-=-⋅-，
故选：A 【点睛】
此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题
10．C
解析：C 【分析】
利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】
因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =， 同理11121384a a a ++=，得12384a =，
2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=
故选：C ． 【点睛】
本题考查等差数列性质与等差中项公式.
（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.
11．A
解析：A 【分析】
先由已知数列递推公式可得
1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】 解：∵()*12
n n n a S n N n
++=∈，∴
12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，11
1
n n n a S n --=+，② ①－②有
11
21n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221
n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时211132
61a S a =+==
，故21232
a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，
∴
121n n
a n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.
12．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，
故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
二、填空题
13．【分析】先根据等差数列的定义求出数列的通项公式代入再利用裂项求和即可取出【详解】解：由题意知：数列为等差递减数列则公差即解得或（舍去）故数列的通项公式为：设的前项和为则：当时且单调递增当时时取得最大 解析：
613
【分析】
先根据等差数列的定义求出数列{}n a 的通项公式，代入11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，再利用裂项求和即可
取出. 【详解】
解：由题意知：数列{}n a 为等差递减数列，则公差0d <，
21324a a a =-，
()()2
11124a a d a d ∴+=+-，
即2
2
2
1111224a a d a a d d +=++-， 解得2d =-或2d =（舍去）， 故数列{}n a 的通项公式为：
()()()111312152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-， ()()1111111521322132152n n a a n n n n +⎛⎫
∴
==⨯- ⎪----⎝⎭
，
设11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ， 则：111111121113911132152n S n n ⎛⎫
=
⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪--⎝⎭
111213132n ⎛⎫=
⨯-+ ⎪-⎝⎭
， 当6n ≤时，0n S >且单调递增， 当7n ≥时0n
S <，
6n ∴=时，n S 取得最大值，即6116121313
S ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，
故答案为：613
. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是对111213132n S n ⎛⎫=
⨯-+ ⎪-⎝⎭
的分析，求出n S 的最大值. 14．【分析】将每个音的频率看作等比数列利用等比数列知识可求得结果【详解】由题知：一个八度13个音且相邻两个音之间的频率之比相等可以将每个音的频率看作等比数列一共13项且最后一个音是最初那个音的频率的2倍 解析：13
2
【分析】
将每个音的频率看作等比数列{}n a ，利用等比数列知识可求得结果. 【详解】
由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
∴可以将每个音的频率看作等比数列{}n a ，一共13项，且1
n
n a q a -=， 最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
1312a a ∴=，12121122a q a q =⇒=，
()
11641221133
21312f a a q q q f a a q ∴=====
，
1
231
2f
f ∴=． 故答案为：13
2
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
15．【分析】先根据求得然后求得求得的表达式进而求得中的项的最小值【详解】当时而所以则当时所以所以数列是首项为公比为的等比数列所以由于所以当时当时且所以当时单调递增最小值为即数列中的项的最小值为故答案为： 解析：15
13-
【分析】
先根据1a 求得λ，然后求得n a ，求得n b 的表达式，进而求得{}n b 中的项的最小值. 【详解】
当1n =时，()11123,23a a a λλ=--=，而13a =，所以21,3λλ-==. 则233n n S a =-，
当2n ≥时，11233n n S a --=-， 所以112333n n n n n a a a a a --=-⇒=，
所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n
n a =.
由于14n n a b n =-，所以143
n n
n
b -=， 当114n ≤≤时，0n b ≥， 当15n ≥时，0n b <， 且11111314134233333n n n n n n n n n n b b ++++-----=
-=-1
229
03n n +-=>， 所以当15n ≥时，n b 单调递增，最小值为151515
14151
33b -==-. 即数列{}n b 中的项的最小值为15
1
3-. 故答案为：15
13- 【点睛】
根据n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，主要通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.判断数
列的单调性可采用差比较法.
16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形
解析：50 【分析】
根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2
n n S a =，代入求
出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】
记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为
n S ，
设第n 个正方形的边长为n a ,则第n
n ， 所以第n +1
个正方形的边长为12
n n a a +=
，
12
n n a a +∴
=， 即数列{n a }是首项为15a =
，公比为
2
的等比数列，
1
52
n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为
1
2
的等比数列， 123125(1)1250(1)1212
n
n n
S S S S -
+++⋯+=
=⋅-∴-，
所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：50
17．【分析】结合累加法及裂项相消法可得根据已知条件即可求出通项公式【详解】解：因为所以则当时将个式子相加可得因为则当时符合题意所以故答案为:【点睛】本题考查了数列通项公式的求解考查了累加法考查了裂项相消
解析：31,1,2n n N n
*
-≥∈
【分析】
结合累加法及裂项相消法可得11
1-=-n a a n
，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】
解：因为121n n a a n n +=+
+，所以12111
1
n n
a a n n n n +-==-++，
则当2,n n N *
≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧
-=-⎪⎪
⎪-=-⎪⎨⎪⎪
⎪-=-⎪-⎩
，将1n -个式子相加可得
11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131
122n a n n
=-+=-，
当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31
,1,2n a n n N n
*=-≥∈. 故答案为: 31
,1,2n n N n
*-≥∈. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.
18．【分析】由题意知等差数列中的项一定有正有负分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论结合已知条件可知或从而可求出公差的取值范围【详解】解：由题意知等差数列中的项一定有正有负当时由则由则所以所以即；当时同 解析：(][),22,-∞-+∞
【分析】
由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论，结合已知条件，可知101110101,1a a ≥<-或101110101,1a a ≤->，从而可求出公差的取值范围. 【详解】
解：由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，当10,0a d <>时， 由123202012320201111a a a a a a a a +++
+=-+-+-+⋯+-，则
10111010
10
0a a -≥⎧⎨
≤⎩ ， 由123202012320201111a a a a a a a a +++
+=++++++++，则
10111010
10a a ≥⎧⎨
+≤⎩， 所以101110101,1a a ≥≤-，所以10101a d +≥，即101012d a ≥-≥； 当10,0a d ><时，同理可求出101012d a ≤--≤-， 综上所述，公差d 的取值范围为(][),22,-∞-+∞.
故答案为: (]
[),22,-∞-+∞.
本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的单调性.本题的易错点是未讨论首项的正负问题.
19．①②【分析】利用前项和公式得可得最大即可判断出正确命题【详解】化为：最大①为的最大值正确;②正确;③所以③不正确;④所以不正确综上可得：①②正确故答案为:①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用等差
解析：①② 【分析】
675S S S >>,利用前n 项和公式得7670,0a a a <+>,可得67670,,0a a a a d >>><，6S 最大, ()
11111611110.2
a a S a +=
=>即可判断出正确命题．
【详解】
675S S S >>
11657654
6175222
a d a d a d ⨯⨯⨯∴+
>+>+, 化为：7670,0a a a <+>
67670,,0a a a a d ∴>>>∴<
6S 最大, ①6S 为n S 的最大值,正确; ()
11111611110.2
a a S a +=
=>②110S >正确;
③()126760S a a =+>,所以③120S <不正确;
④85678730S S a a a a -=++=<,所以850S S ->不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n 项和公式,难度一般.
20．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以
解析：②④⑤ 【分析】
利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由
3
212
b b b b ≠证明数列{}
n a e 不是等比数列，根据1111(1)1
n n a n a n +++
=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确.
()*111
1n n a a n N +-=∈且111a ，
∴数列1
{
}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1n
n n N a =∈， ()*1
n a n N n
∴=
∈. ①设1
n n n
a b e e ==，则113
2
123,,b e b e b e ===，因为
11
32
6212
,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}n
a e 不是等比数列；
②1111
(1)1n n a n a n +++
=+++，因为1(1)1
y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115
(1)2122
n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列
(){}n
f a 是单调递增数列；
④234111
,,234
a a a =
==即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111
(1)1
n n n n a n a n +=
=-++，所以
12231111
1211123
1
n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+
+
+，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】
本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项
相消法求和，属于中档题.
三、解答题
21．（1）(
)2
*
2160450,y x x x N =-+-∈；（2）1500万元.
【分析】
（1）保养费用是首项为22，公差为4的等差数列，再利用收入-维修费用-成本，写出y 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式计算y
x
的最大值. 【详解】
（1）依题可得2(1)1802244502160450()2x x y x x x x x N -⎢⎥
=-+
⨯-=-+-∈⎢⎥⎣⎦
即y 关于x 的函数关系式为2
2160450y x x =-+-，(
)*
x N
∈.
（2）由（1）知，当年的平均盈利额为：
45045021601602160100y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝
⎭， 当且仅当450
2x x
=
时，即15x =时等号成立. 所以使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是知道设备的维修费用是等差数列求和，才能正确写出函数关系. 22．（1）2
31
n n a =-；（2）23λ-<<. 【分析】 （1）将()*
13n n n a a n N a +=
∈+，变形为
1131n n
a a +=+，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得12n n n
b -=
，然后利用错位相减法求得1
2
42n
n n T -+=-，将不等式()112n
n n n T λ--<+
对一切*
n N ∈恒成立，转化为()1
2142
n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，分n 为偶数和奇数讨论求解. 【详解】
（1）由()*1
3
n
n n a a n N a +=∈+， 得13131n n n n
a a a a ++==+， ∴
111
11322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭
是以3为公比，以1113
22a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，
所以1113322n n a -+=⨯，即231n n
a =-. （2）1
2n n n
b -=
()01221
11111123122222n n n T n n --=⨯
+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:
012111111222222222
n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ∴1
2
42n n n T -+=-
， 因为不等式()112
n
n n n
T λ--<+对一切*n N ∈恒成立， 所以()1
2
142
n
n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1
2
42
n t -=-
单调递增， 若n 为偶数，则12
42
n λ-<-
，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<； 若n 为奇数，则1
2
42
n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>- 综上：23λ-<<. 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．（1）2n a n =；（2）证明见解析． 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用基本量计算可得通项n a ； （2）利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和为n S ，可证得命题成立． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d 则2311235a a a d a +=+=，即12d
a ==
()2122n a n n ∴=+-⨯=
（2）()21112222n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪+⋅+⎝⎭
则11111111111...232435112n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11113113
12212422244
n n n n ⎛⎫=+--=--< ⎪
++++⎝⎭ 故命题成立． 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 24．（1）1n a n =+；（2）22
3242
n n n n
T ++=-+. 【分析】
（1）本题首先可根据前10项和为65得出1104565a d +=，然后根据1a 、3a 、7a 成等比数列得出()()2
11126a d a a d +=+，最后两者联立，求出1a 、d 的值，即可得出结果；
（2）本题首先可根据1n a n =+得出1
21n n b n +=++，然后采用分组求和法即可求出n T .
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 因为前10项和为65，所以101104565S a d =+=，
因为1a 、3a 、7a 成等比数列，所以2
317a a a =，即()()2
11126a d a a d +=+，
联立()()
12
11110456526a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得12a =，1d =， 故1n a n =+.
（2）因为1n a n =+，2n a
n n b a =+，
所以1
21n n b n +=++，
则23
1222231n n T n +=++
++++
++
()()224122132412
2
2
n n n n n n +-+++=
+=-+
-， 故22
32
42
n n n n
T ++=-+. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列通项公式的求法以及分组求和法求和，常见的数列的求和方法有：等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法以及倒序相加法.
25．（1）2n a n =；（2）()()123?
216n n S n n n +=-+++. 【分析】
（1）由已知得()()20n n a n a n -+=且0n a >，即可得通项公式.
（2）由（1）有()()122122n
n
n n a a n n -⋅+=-⋅+，利用分组、错位相减法求n S .
【详解】
（1）由22
20n n a na n --=得()()20n n a n a n -+=，又{}n a 为正项数列，
∴2n a n =．
（2）由（1）知()()122122n
n
n n a a n n -⋅+=-⋅+，
令n T 为数列
(){}212n
n -⋅的前n 项和，则()123123252212n n
T
n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，
∴()2
3
41
2123252212
n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，
两式相减，得()1
2
3
1
12222222212n
n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯，
所以()()2112212221212
n n n
T n ++⨯⨯--=+--⨯-，
所以()1
232
6n n T n +=-⨯+，
令n B 为数列{}2n 的前n 项和，则()
()1212
n n n B n n +=⨯=+， 所以()()1
23216n n n n S T B n n n +=+=-⨯+++．
【点睛】 关键点点睛：
（1）由已知方程，将n a 作为未知数求正解，即为数列通项公式. （2）将所得数列分为(){}212n
n -⋅、{}2n 两组分别求和，应用错位相减、等差数列前n
项和公式求n S .
26．（1）1(91)1010
81
n n n T +-⋅+=；（2）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.
【分析】
（1）由1n =得出1a a =，再令2n ≥，由11n n a a S a --=，得出11n n a S a a -=-，可推出 1111n n a S a a
---=-，两式相减得出
1n n a a a -=，利用等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和
n T ；
（2）由1n n b b +<得出()1
lg 1lg n n na a n a a +<+，分两种情况1a >和01a <<讨论.
①当1a >时，利用参变量分离法得出1
n
a n >
+，可得出1a >； ②当01a <<时，利用参变量分离法得出1
n a n <+，可得出102a <<.
综合①②得出实数a 的取值范围. 【详解】
当1n =时，11a S =，
1111
a a a a
--=，解得1a a =. 当2n ≥时，∵11n n a a S a
--=， ∴
11n n a S a a -=-，可得111
1n n a S a a
---=-， 上述两式相减得
()111
n n n n a S S a a a
----=-， 即
11n n n a a a a a
--=-，所以1n n a a a -=. 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列， ∴1
n
n n
a a a a ，
从而lg lg n
n n n b a a na a ==.
（1）当10a =时，10n
n b n =⋅，
∴2
121021010n
n n T b b n b n n =+++=+⋅++⋅， 则2
3
1
1010210(1)1010n
n n T n n n +=+⋅++-⋅+⋅，
∴()23111010191010101010109
n n n n n
T n n n ++--=++++-⋅=-⋅，
所以()112
1010110(91)10109981n n n n n n T ++-⋅-⋅+=-=. （2）由1n n b b +<，可得1
lg (1)lg n n na a n a a +<+.
①当1a >时，由lg 0a >，可得1n
a n >+，
()*11
n n n <∈+N ， ∴1a >，∴1
n
a n >
+，对一切*n ∈N 都成立，此时的解为1a >； ②当01a <<时，由lg 0a <，可得(1)n n a >+，
∴1n
a n <
+，
()*1N 12
n n n ≥∈+，01a <<， ∴01
n
a n <<+，对一切*n ∈N 都成立， ∴102
a <<
. 由①，②可知，对一切*n ∈N 都有1n n b b +<的a 的取值范围是10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查利用前n 项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.。