高一数学-1.2.4 平面与平面的位置关系(2)课件A

一、二面角的定义：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“算”
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
一、两个平面垂直的定义

B A

l
O
如果两个平面相交 所成的二面角是直二 面角，那么我们称这 两个平面相互垂直. 记作：



画法：

二、两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直．
则结论成立吗？
C
课堂练习
一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 × 的一条 直线，则α⊥β.（ ） 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面 β内的两条直线，则α⊥β.（ ）× 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 两条相交直线, 则α⊥β.（ ） √ 4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.( ) √
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C， 连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°， ∠ACO就是所求二面角的平面角。 1 2 a AO= 设 AB=a, 则 AC= a α 2 2 A AO 2 l 则sin∠ACO= B AC 2
β
O
C
∴∠ACO=45°
4．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角 的两个面内，且AB与两个面所成的角分别为30°和 45°，设A，B两点在棱上的射影分别为A′，B′，则 C A′B′长等于（ ）．
γ
a D b M Q N
∴D是a、b的交点. ∴PD与l重合，即l⊥γ.
评注：1、此证法为同一法 2、另证：在γ内取点Q.
课堂练习： 1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（B ）． A． 1 B．2 C． 3 D． 4
第1章 立体几何初步
1.2.4 平面与平面的位置关系（2）
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 1、根据定义作出来—— 定义法 的大小与 其顶点 做二面角的面。 2、利用直线和平面垂直作出来 在棱上的位置无关 ——垂线垂面法 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
课堂练习： 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α， β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B．2 C． 3 D． 4
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若 AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°， 则此二面角的大小是（ D ） A.30°， B.30°或150°， C.45°， D.45°或135°。
[分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β 内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则 ∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有 AB⊥β，问题 也就得到解决．
[两个平面垂直的性质定理1] 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面． 为作辅助线提 供了理论依据
线线垂直
线面垂直
面面垂直
பைடு நூலகம்
例1．如右图：A是ΔBCD所在平面外一点， AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 若将此条件改为 求证：平面AEC⊥平面ABD ∠BAC=∠DAC=90°，
证明：∵ ∠ABC=∠ADC=90° A AB=AD，AC=AC . ∴△ABC≌ △ADC. ∴CB=CD 又∵ AB=AD， E是BD的中点， ∴AE ⊥BD， CE ⊥BD, B AE ∩ EC=E， ∴BD ⊥平面AEC. E 又BD在平面BCD内， ∴平面AEC⊥平面ABD D
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的 一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面 内． 为判定直线在平面 内提供了理论依据
例2 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点， 过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是 VA、VC的中点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试 说明理由．
A
已知：AB⊥β，AB⊂α. 求证：α⊥β。
C
E

B
[证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角 α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α ⊥β。
D
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由 DE∥AC，推出上面的结论。
例3．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 S 求证：AB⊥BC。
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC.
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.
D A C
B
例4．求证：如果两个相交平面都垂直于第三 个平面，则它们的交线垂直于第三个平面.
已知：α⊥β，β⊥γ，γ⊥α， α∩β= l．
求证：l⊥γ.
证明：在l上取点P，且P∈γ. 设α∩γ=a，β∩γ=b， 过点P 作PD⊥γ于D. ∵α∩γ=a， ∴D 必在α与γ的交线a上. 同理D必在β与γ的交线b上. α l P β
总结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平 面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据； (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
两个平面垂直的性质定理
如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD， α∩β=CD， 求证：AB⊥β。
总结
1.定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
2.理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 4.解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直
A.
a 2
B.
2 a 2
C.
a
D.
2a
.
提示：利用直线与平面所成角的定义和垂直关系得： ∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴在Rt△BB′A中， BB′=AB/2=a， 在Rt△BA′A中 在Rt△BB′A′中，
BA AB 2 2 2a
AB BA2 BB2 2a2 a2 a
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知 VC⊥AC，VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角 A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆 周角，知 ∠ACB =90°。
因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理， 知直线DE与平面VBC垂直。