岱山县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

岱山县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
2． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
3． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 若函数1,0,
()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨
+<⎩
则(3)f -的值为（ ）
A ．5
B ．1-
C ．7-
D ．2
5． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
6． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种
7． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
8． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x 10．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为
36p ， 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
12．已知函数f （x ）=x 2﹣
，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则b
a
的值为 ▲ ．
14．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则
的取值范围 ．
15．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
17．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
18．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
20．如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF 的位置． （Ⅰ）求证：CE ∥平面ADF ；
（Ⅱ）若K 为线段BE 上异于B ，E 的点，CE=2．设直线AK 与平面
BDF 所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，
求BK 的取值范围．
21．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．
（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；
（Ⅱ）求侧面积S的最大值；
（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．
22．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．
23．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．
24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
岱山县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：∵a ＞b ＞0，∴﹣a ＜﹣b ＜0，∴（﹣a ）2＞（﹣b ）2
，
故选C ．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02
＞4，
求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C 相交， 故选：C ．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=
，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=
．
所以x+y+z=++
=1．
故选：A ．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
4． 【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值．
5． 【答案】D
【解析】解：不等式组
表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y ﹣2=0的距离，
即|AM|min =．
故选：D ．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
6． 【答案】A
【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A ．
【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．
7． 【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E
P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为12PC =
=
可得34243316ππ=，解得7
2
PA =，故选B ．
8． 【答案】C
【解析】解：命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题是“若x ＞0，则x 2
＞0”，是真命题； 否命题是“若x 2
≤0，则x ≤0”，是真命题； 逆否命题是“若x ≤0，则x 2
≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2． 故选：C
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 10．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A 、D ；
对C ：
在（-和（
上单调递增，
但在定义域上不单调，故C 错； 故答案为：B 11．【答案】C
12．【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x ≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f （﹣1）=f （1）=1，可排除B 、C 两个选项．
∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为
∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项
故选A
二、填空题
13．【答案】
1 2
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
14．【答案】[，1]．
【解析】解：设两个向量的夹角为θ，
因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，
所以，，
所以，=
所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，
[，1]，
所以；
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
15．【答案】
【解析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

16．【答案】4
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
17．【答案】．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
18．【答案】（0，1）．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k ，由图象可以读出：0＜k ＜1时，y=k 和f （x ）有3个交点，
即方程f （x ）=k 有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】 试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭
，其前项和为()1114414n -<+.
考点：数列与裂项求和法．1
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD BA，正方形ABEF中，EF BA．…
∴EF CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…
又DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF．…
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE2
=BC2+BE2．
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…
以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），
F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．
由，，得可取=（1，﹣1，1），…
又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m＜2，解得0，即BK的取值范围为（0，4﹣]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），
梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），
体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）
=20（cos+1），θ∈（0，），
设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，
∴当sin=，θ∈（0，），
即θ=时，木梁的侧面积s最大．
所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．
当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
∴当θ=时，体积V最大．
22．【答案】
【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），
∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
23．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，
则＞1恒成立，即＞1，
所以，a a﹣b＞b a﹣b，
将该不等式两边同时乘以a b b b得，
a a
b b＞a b b a，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵bsinA=，
由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，即得tanB=，
∴B=…
（2）△ABC的面积．
由已知及余弦定理，得．
又a2+c2≥2ac，
故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为…。