四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第8课时直线与双曲线的位置关系测试新人教A版选修2-1(2

四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第8课时直线与双曲线的位置关系同步测试新人教A版选修2-1
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第8课时直线与双曲线的位置关系
基础达标(水平一 )
1.已知直线l过点（，0）,且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点，则这样的直线有（)。

A。

1条B。

2条C。

3条D.4条
【解析】点(,0）即为双曲线的右顶点，过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条。

【答案】C
2.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2，则|PF2｜等于（).
A。

4 B。

6 C。

8 D.10
【解析】依题意,有=，所以a=3，因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上，所以｜PF2｜
—｜PF
1|=2a，解得｜PF
2
｜=8，故选C。

【答案】C
3。

已知点P（3,-4）是双曲线-=1（a>0,b>0）渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若·=0，则双曲线的方程为（）.
A。

-=1 B.—=1
C.-=1 D。

—=1
【解析】由题意知，点E(-c,0）,F（c,0）,则·=（3+c，-4)·(3-c，-4）=9-c2+16=0，所以c2=25.可排除A，B选项.
又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.
【答案】C
4。

若直线y=kx+2与双曲线x2—y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是（）.
A。

B。

C. D.
【解析】由得（1—k2)x2-4kx—10=0.
由题意得解得-<k〈—1。

【答案】D
5。

过双曲线—=1（a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.
【解析】由题意可知从而4〈〈9,
所以e=∈（,）.
【答案】(,）
6。

已知F为双曲线—=1(a>0,b〉0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3，则此双曲线的离心率
为。

【解析】因为F为双曲线—=1(a〉0，b〉0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点,
所以可设点F(-c，0）,A（0，b),B(x B，y B),直线AF:y=x+b.
由题意知,直线AF与渐近线y=x相交.
联立两直线消去x，得y B=。

由=3,得y B=4b,所以=4b,解得离心率e=.
【答案】
7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

【解析】设点P(x,y），Q(x0,y0）,则点N（2x-x0，2y-y0),
代入x+y=2，得2x—x0+2y—y0=2。

①
因为PQ垂直于直线x+y=2，所以=1,
即x-y-x0+y0=0。

②
由①②得x0=x+y-1，y0=x+y—1。

由点Q（x0,y0）在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为
2x2—2y2—2x+2y=1。

拓展提升(水平二)
8。

已知双曲线—y2=1(a>0），若过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，|AB｜的最小值为1,则a的值为(）。

A.1或
B.2
C.1
D.2或
【解析】若A，B两点都在右支上,则当AB⊥x轴时，|AB｜最小,
此时|AB｜===1，则a=2;
若A，B位于两支上，则当AB为实轴时,|AB|最小,
此时｜AB｜=2a=1,则a=。

所以a=2或a=。

【答案】D
9.已知双曲线-=1上存在两点P，Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y—2=0上,则实数b的值为（)。

A。

-10 B。

-8 C。

-2 D.2
【解析】因为点P，Q关于直线y=x+b对称，所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b，所以直线PQ的斜率为—1。

设直线PQ的方程为y=—x+m,令点P(x P,y P）,Q（x Q，y Q)，M（x M，y M),由得
x2+4mx—2m2—6=0,所以x P+x Q=-4m，所以x M=-2m,所以点M(-2m,3m)。

又因为PQ的中点M在直线2x+y—2=0上，所以—4m+3m-2=0,解得m=—2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上，得b=5m，所以b=-10，故选A.
【答案】A
10。

连接双曲线—=1和-=1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当的值最大时,双曲线-=1的离心率为。

【解析】由题意可知S1=×2a×2b=2ab,S2=×2c×2c=2c2，
∴===≤,当且仅当=,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线—=1的离心率为e==.
【答案】
11。

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2—y2=1的右支交于不同的两点A,B。

（1)求实数k的取值范围。

（2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在,说明理由.
【解析】（1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得（k2—2）x2+2kx+2=0. ①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
解得—2〈k<—。

(2)设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，（x2,y2）,则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0）.
则由FA⊥FB,得（x1—c)(x2-c)+y1y2=0,
即(x1—c)（x2-c)+(kx1+1）（kx2+1)=0。

整理得（k2+1)x1x2+(k—c）（x1+x2)+c2+1=0. ③
把②式及c=代入③式,化简得5k2+2k—6=0,
解得k=—或k=（舍去）。

可知当k=—时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。