§22 变形固体的动力失效问题

1.自由落体铅垂冲击 初速为零的冲击物重量为P ，从高度h处自由下落到 被冲击物的K点。 二者接触前：P有一铅垂向下 的速度； P 二者接触后：P与梁共同向 h Pd 下运动，速度逐渐减小； K A B Kd 二者速度最终减小为零时， 结构变形达到最大值； 设此时被冲击物在冲击点处的位移为 Kd
构件作匀加速（匀减速）转动： 传动轴正常的启动和刹车
例题
例 题 22-1
§22 变形固体的动力失效问题



A 均质杆OA质量m，长 l ，由铅垂位置
受扰动倒下。试求杆中的弯矩分布， 最大弯矩及位置。 mg 解： 以A为原点，沿杆轴方向任 n 一部位B处切开，以AB为研究 FICA FIC 对象。截面B上的内力为动轴 M
B
2GJ 2 100 2 80 109 500 1057Mpa 2 2 V轴 60 1 ( 0.1 ) / 4
正常刹车， 若刹车时间 t 10 秒 :
d max
2 100 500 J 60 2.67Mpa 两者相差396倍！ WP t 2 (0.1) 10 16


O
A
mg
FIC
m F (l ) l 2 m 2 M IC 12l
IC
m 2 F (l ) l 2
n IC
1. 列 B 截面的内力方程 n 对AB部分： mB 0 FICA
M IC mg l
FSd
Md B

M d mg sin l 2 m m 2 l 0 l 2 2 12
B
Td GI P J 2GJ 2GJ 2 2 WP lWP l (d / 4) V轴
扭转冲击时，最大动应力与飞轮的转动惯量J成正 比，与传动轴的体积V成反比。


A
d max
若轴长 l =1m，转速n 100rpm， 飞轮J=500kgm2，d=100mm， G=80Gpa，则： 突然刹车：
Kd
1 P ( h Kd ) Pd Kd 2 在线弹性范围内有： Pd d d K d （22.1） P st st
V1 P(h Kd ) U1 0 1 T2 0, V2 0, U 2 Pd Kd 2
动荷因数

FOy
A
dM d 令 0 dt 1 2 得： 2 (1 ) 0 l l
n FIO FOx
M IO
mg
FIO
2l 3
l 危险截面在距O点 处 3
O
例题
例 题 22-1
§22 变形固体的动力失效问题
l 危险截面距O点 处 3
2l m g 2 Md (1 ) sin 3 4l l
Pd d d Kd P st st
（22.1）
A
记 Kst 为将冲击物的重力P以静 载方式作用于冲击点K处，沿 冲击方向产生的静位移 。 P h d Kd Pd Pd K d P P P K B st Kst Kd 代入能量守恒： 1 P ( h Kd ) Pd Kd 2 1 Kd 2 P(h Kd ) P Kd 整理： Kd 2 Kst Kd 2 Kst h 0 2

O
FNd
m 2 m 2 m 3 Md g sin ( ) 2l 2 6l
例题
例 题 22-1
§22 变形固体的动力失效问题

FOy
A
2．求


l 2 F m 2
n IO
n FIO FOx
M IO
mg
FIO
O
3 g sin m l2 l m gsin 2l 3 2 2 3 2 m m 2 m m g Md g sin ( ) (1 ) sin 2l 2 6l 4l l
(22.2)
动荷因数与结构的静载变形有关（即与结构的刚度有 关），与自由落体的下落高度有关。 P
若某个结构的动荷因数Kd 已知，则：
h
A
K
Pd
B
Kd
M d Kd M st d Kd st d K d st
(22.3)
关于动荷因 数的讨论：
Kd 2h Kd 1 1 Kst Kst
§22 .3
冲击问题
设冲击物为A，被冲击物为B，研究被冲击物B的强度。
假定： （1）冲击物A为刚体，不储存变形能。
（2）被冲击物B的质量远小于冲击物A的质量——可 略去被冲击物B的动能和势能。 （3）被冲击物在冲击时，始终处于线弹性。
（4）冲击物与被冲击物一经接触即附着在一起不分离。
22.3.1 铅垂冲击 当冲击开始时，即冲击物与被冲击物将接触时， 冲击物的速度是铅垂方向的。
例题
例 题 22-2
§22 变形固体的动力失效问题


A B
传动轴的正常刹车：
传动轴上的飞轮转动惯量很 大，A端有一刹车离合器， 轴的转速为n转/分，轴的直 径为d，切变模量为G，刹 车时，A端施加一与轴的转 动方向相反的常阻力偶，使 飞轮在 t 的时间间隔内完 全停止转动。求刹车时轴中 的动应力。
A端瞬间就停止转动，而B端飞轮由于惯性继续转动，
AB轴将发生突然的扭转 ——扭转冲击
冲击物——飞轮 机械能守恒： 被冲击物——AB轴
1 J 2 2
初始：T1
Td2l 1 终了： U 2 Td d 2 2GI P


A
d max
Td2l J 2 2 2GI P
GI P J Td l
梁中应力为 d ，相应的动载荷为 Pd (不同于静载荷P）
根据机械能守恒：位置1：冲击前，P在高h处，系统各 点速度为零，构件变形为零;
位置2：冲击后速度为零的位置， 构件达到变形最大， 取位置2为势能零点 T1 V1 U d1 T2 V2 U d 2 B
P A K
Pd
h
T1 0,
对系统：
m 0
M I J J t
MI M A
d max 故轴内最大动应力：
Td J WP WP t
例题
例 题 22-2
§22 变形固体的动力失效问题


MA
故轴内最大动应力：
d max
A
MI
B
Td J WP WP t
Td
MI
B
故：飞轮的转动惯量越 大，刹车时间越短，轴 内的动应力就越大。 因此，高速转动轴都规定 了严格的刹车时间。
(22.2)
Kst 为冲击物的重力P以静载方式作用于冲击 （ 1） 点K处，沿冲击方向上的静位移。 其中，K点静位移： M d max Kd M st max 例如： 1 Kst 简支梁中点 弹簧 d max Kd st max
Kd K d Kst
P A K h B A
2
Pl3 1 P 48EI 2 2k
Kd
P
M d , d , d
B
Kd
Kst
关于动荷因 数的讨论：
Kd 2h Kd 1 1 Kst Kst
(22.2)
（2）在自由落体铅垂冲击的动荷因数式子中，令 h=0，即结构施加一个突加载荷，则有：K d 2
d P
胡克定律仍成立，弹性模量E也不变
构件运动（有加速度） ——惯性力问题 冲击载荷 动载荷 载荷随时间变化 载荷随时间周期变 化——交变应力 与静载荷相比，构件在动载荷下的强度问题有所 不同，如：冲击载荷的时间效应和周期载荷的载 荷作用积累效应等。
相同点：线弹性、小变形假设和材料常数（如弹性 模量、切变模量、泊松比、屈服极限、强度极限等） 不变。 动载荷下的强度条件可类比于静载荷下的强度条 件，仅将工作应力取为动应力即可。
故高速传动轴禁止突然刹车，且严格规定刹车时间。
例题
例 题 22-3
A a
§22 变形固体的动力失效问题

FOy
A
n FIO FOx
M IO
mg
FIO
O
讨论：拆除旧烟囱，在根部定向爆破后， 根部开始断裂，烟囱倒下。当倾斜角度 增大时，烟囱横截面上的弯矩也增大。 当弯矩 M d 最大值所在截面（距根部 l / 3 处的最大拉应力达到强度极限时（砖石 结构），烟囱就产生第二次断裂。这第 二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地 面一侧开始。（若静载应在背向地面一 侧有最大拉应力）。
l 对OA： mo 0 : M IO mg sin 0 2
l FIO m 2 m l2 M IO 3
对杆OA： 画出受力图
例题
例 题 22-1
§22 变形固体的动力失效问题
m g 2 Md (1 ) sin 4l l 3.求动弯矩最大的危险截面
Kst
Kd
2 2 Kst 4 Kst 8 Kst h 2h Kst (1 1 ) 2 Kst
Kd
2 2 Kst 4 Kst 8 Kst h 2h Kst 1 1 2 Kst

自由落体铅垂冲击动荷因数
Kd 2h Kd 1 1 Kst Kst
2 v0 2 gh Kd 1 1 g st
(22.4)
22.3.2 水平冲击 重量为 P 的冲击物以速度 v 沿水平方向冲击构 件上K点。冲击过程中无势能变化，机械能守恒：
K
v P
1 P 2 初始： T1 v 2 g
Pd
Kd
Kd Kst
v2
1 终了： U 2 Pd Kd 2 P 2 Pd Kd 1 Kd v P Kd 2g 2 2 Kst
FSd
Md
O B
mg l
IC

IC
力FNd ,动剪力 FSd ，动弯矩 M d
M IC m 2 12l
n IC
FNd
m F (l ) l 2
m 2 F (l ) l 2
例题
例 题 22-1
§22 变形固体的动力失效问题
故突加载荷引起的应力和位移是同样大小静载荷的2倍 2.重量为P的冲击物以初速 v0 铅垂冲击
v0
1 P 2 T 机械能守恒，则 1 2 g v0
其余与自由落体铅垂冲击同 A B
Kd Kst 可得：
2 v0 2hg 1 1 g Kst

以初速 v0 铅垂冲击动荷因数
例题
例 题 22-2
§22 变形固体的动力失效问题


B
A
MA
MI
Td
解：A端刹车时施加一与 方 向相反的阻力偶矩 M A ， 飞轮和传动轴匀减速，角 加速度为 ： 0 （负号表示与角 t t 速度方向相反）
M I 惯性力偶矩
B
对轴的任意横截面，扭矩为： Td M I J t
g Kst
Kd v2 Kd Kst g Kst
水平冲击动荷因数
Kd v2 Kd Kst g Kst
(22.5)
22.3.3 扭转冲击


A B
例22.2中的传动轴正常刹车时的 最大动应力为： Td J d max WP WP t
如果传动轴A端突然紧急刹车，
§22 .2 惯性力问题
构件作有加速度的运动时，根据达朗贝尔原理，在 构件上加上相应惯性力——在形式上可转化为静力 学问题求解。 构件作有加速度 加上相应惯性力 按变形体静力 的运动时的强度、 学问题求解 刚度、稳定性 工程中常见例子： 构件作匀加速（匀减速）直线运动 ：吊车起吊重物 构件作匀速转动 ：传动轴飞轮
工程力学（C）
（下册） ( 40 )
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§22
变形固体的动力失效问题
静载荷 ——从零缓慢增至终值
§22 .1 概述
构件所受载荷 引起静应力 st ，静位移 st 动载荷 ——构件运动（有加速度） 载荷随时间变化
§10
§18
—
引起动应力 d ，动位移 d
实验证明： 只要