指数函数、对数函数、幂函数讲义

指数与指数函数
知识要点
1.指数
（1）n 次方根的定义：若x n
=a ，则称x 为a 的n 次方根，“n
”是方根的记号.
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质
①当n 为奇数时，n
n a =a .
②当n 为偶数时，n
n a =|a |=⎩⎨
⎧<-≥).
0(),
0(a a
a a
（3）分数指数幂的意义
①a n
m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a
n
m -=
n
m a
1=
n
m
a
1
（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.
2.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数y =a x
（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象
a> ）
1(0＜
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.
④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.
经典例题
1.3a ·6a -等于 A.－a -
B.－a
C.a -
D. a
2.函数y =23
x 的图象与直线y =x 的位置关系是
3.若函数y =a x
+b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有
A.0＜a ＜1且b ＞
B.a ＞1且b ＞0
C.0＜a ＜1且b ＜0
D.a ＞1且b ＜0
4.函数y =－e x
的图象
A.与y =e x 的图象关于y 轴对称
B.与y =e x
的图象关于坐标原点对称
C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称
D.与y =e －x
的图象关于坐标原点对称
5、下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x
的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是
A.a ＜b ＜1＜c ＜d
B.b ＜a ＜1＜d ＜ c
C.1＜a ＜b ＜c ＜d
D.a ＜b ＜1＜d ＜c
6、若直线y =2a 与函数y =|a x
－1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________. 7、函数y =（
2
1）222+-x x 的递增区间是___________.
8、 已知2x
x
+2
≤（
4
1）x －2，求函数y =2x －2－x
的值域.
9、要使函数y =1+2x +4x
a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围 . 基础练习
1、已知f （x ）=a x
，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ ）
A.关于直线x +y =0对称
B.关于直线x －y =0对称
C.关于y 轴对称
D.关于原点对称
2、下列函数中值域为正实数的是
A.y =－5
x
B.y =（
3
1）1－x
C.y =1)21(-x
D.y =x 21-
3、函数f （x ）=a x
+log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为
A.
41 B. 2
1
C.2
D.4
4、=a a a a 。

5、化简
3
42
14132
23)(a
b b a ab b a ⋅（a ＞0，b ＞0）的结果是___________________.
6、满足条件m 2
m ＞（m m
）2
的正数m 的取值范围是___________________.
7、已知9x
－10·3x
+9≤0，求函数y =（
41）x －1－4（2
1）x
+2的最大值和最小值.
能力提高
8、若a 2x
+
21·a x －2
1≤0（a ＞0且a ≠1），求y =2a 2x －3·a x +4的值域.
9、解方程4x +|1－2x
|=11. 创新能力
10、若关于x 的方程25－|x +1|－4·5－|x +1|
－m =0有实根，求m 的取值范围. 能力拓展
1 若60a
＝3，60b
＝5.求12
)
1(21b b a ---的值.
2 方程2x
=2－x 的解的个数为______________.
对数与对数函数
概念
1.对数的定义：
如果a b
=N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 易得:log a N
a
N =——对数恒等式
2.指数式与对数式的关系：
a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.
要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。

3.对数运算性质:
①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N
M
=log a M －log a N . ③log a M n
=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）
④换底公式：log b N =
b
N
a a log log （0<a ≠1，0<
b ≠1，N ＞0）.
4.对数函数：
（1）定义：y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫对数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。

对数函数与指数函数是互为反函数; （2）对数函数的图象
a <11))
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. 5、对数函数与指数函数的关系 对数函数
log a y x
=与指数函数x
y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

6、重难点问题探析：
（1）、对数函数性质的拓展 （Ⅰ）同底数的两个对数值
)
(log x f a 与
)
1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较
若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a
若0)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)
()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔<
（Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图
对应关系为 （1）x y a log =，（2）x y b log =， （3）
x
y c log =，（4）
x
y d log =
则作直线1=y 得b a d c <<<<<10，
即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。

（2）、常见对数方程或对数不等式的解法 ①形如
)
1,0)((log )(log ≠>=a a x g x f a a 转为
)()(x g x f =，但要注意验根对于)(log )(log x g x f a a >，则
当1>a 时，得⎩⎨⎧>>)()(0)(x g x f x g ；当10<<a 时，得⎩
⎨⎧<>)()(0
)(x g x f x f
②形如0
)(log =x F a 或
)
0)(log (0)(log <>x F x F a a 的方程或不等式，一般用换元法求
解。

③形如
c
x g x f =)(log )(的方程化为)()]([x g x f c =求解，对于c x g x f >)(log )(的形式可以
考虑利用对数函数的单调性来解决。

经典例题
例1(1)若60a ＝3，60b
＝5.求12
)
1(21b b
a ---的值.
(2)已知315a
=55b
=153c
,求证:5ab-bc-3ac=0
例2、(1)求函数：)(log )1(log 1
1
log )(222
x p x x x x f -+-+-+=的值域. (2)设m =（log 2x ）2
+（t －2）log 2x +1－t ，若t 在区间［－2，2］上变化时，m 值恒 正，求x 的取值范围.
例3已知函数()lg()x x f x a b =-(1,01)a b ><<，
（1）求f (x )的定义域；
（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？ （3）当a 、b 满足什么条件时f (x )恰在),1(+∞取正值.
例4 设a ＞0，a ≠1，f (x )＝loga (x +1x 2
+)
(1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)求函数的反函数f -1
(x )；
(3)若方程f (x )＝log a (2x+ak )有实数解，求k 的取值范围。

【研讨.】设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，
点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点 (1)写出函数y =g (x )的解析式；
(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围
解: (1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),
则x ′=x －2a ,y ′=－y 即x =x ′+2a ,y =－y ′ ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上， ∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log a a
x -21
, ∴g (x )=log a
a
x -1
(2)由题意在［a +2,a +3］上x －3a ≥(a +2)－3a =－2a +2>0; 又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,
∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log a a x -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2
)|
而|f (x )－g (x )|≤1, ∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2
)≤1,
∵0＜a ＜1, ∴22
143a x ax a a
≤-+≤
又 a +2>2a .知u (x )=x 2
－4ax +3a 2
在［a +2,a +3］上为增函数，
∴只需22
22
011(3)4(3)3(2)4(2)3a a a a a a a a a a a
<<⎧⎪⎪+-++≤⎨⎪
⎪+-++≤⎩
解得0＜a ≤
12
57
9-, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤
12
57
9- 方法提炼 (1).求对称图象的函数解析式的方法;
(2).先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a 的取值范围.
练习
1、（1）____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+；（2）
=
+-)223(log )
12(_____________
2、函数()y f x =的图像与函数3log (0)
y x x =>的图像关于直线y x =对称，则
()f x =__________。

3、设3()log (6)f x x =+的反函数为1
()f
x -,若11
()6()627f m f n --⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦g ,则
()f m n +=________.
4、已知18log 9a =，185b
=，则36log 45用 a , b 表示为
5、若偶函数()x f ()R x ∈满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程
()x
x f 3log =的根的个数是( )。

A. 2个；
B. 4个；
C. 3个；
D. 多于4个 6、若点(,)A x y 在第一象限且在
236x y +=上移动，则y x 2
3
2
3log log +（ ）
A ．最大值为1；
B ．最小值为1；
C ．最大值为2；
D ．没有最大、小值
7、给出四个函数图象分别满足：
①()()();f x y f x f y +=+ ②()()()g x y g x g y +=⋅ ③()()()u x y u x u y ⋅=+ ④()()().v x y v x v y ⋅=⋅与下列函数图象对应的是（ ）
a b c d
A ．①a -②d -③c -④b - B. ①b -②c -③a -④d - C. ①c -②a -③b -④d - D. ①d -②a -③b -④c -
8、函数
()22log 1
log 1x f x x -=
+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则
()12f x x 的最小值为 （ ）。

A ．35；
B ．23；
C ．4
5； D
．54-
9、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+为（ ）。

A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 10
、设323log ,log log a b c π=== ）。

A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
11.已知01,log log 0a a a m n <<<<，则
( )
A.1n m <<
B.1m n <<
C.1m n <<
D.1n m << 12．若)3
log 4
log 4log 3log (
)3log 4(log 3log log 43342
4349+-+=⋅x ，则=x （ ）
A ．4
B ．16
C ．256
D ．81
13.设函数f （x ）=log a |x |在（－∞，0）上单调递增，则f （a +1）与f （2）的大小关系是 ( )
A.f （a +1）=f （2）
B.f （a +1）＞f （2）
C.f （a +1）＜f （2
D.不能确定 14.设1643>===t z
y
x
，则
11
z x
-与12y 的大小关系为（ ） A ．
1112z x y -< B ．111
2z x y
-= C ．
1112z x y -> D ．11z x -与12y
的大小关系不确定 【探索题】在函数)1,1(log >>=x a x y a 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m 、2+m 、4+m ，若△ABC 的面积为S ，求函数)(m f S =的值域.
幂函数
一、知识要点： 1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n
48476Λ个
(2)零指数幂)0(10
≠=a a (3)负整数指数幂()1
0,n
n a
a n N a -*=
≠∈
(4)正分数指数幂()0,,,1m n
m n
a a a m n N n *=>∈>；
(5)负分数指数幂()10,,,1m
n
m n
m
n
a
a m n N n a a
-*
==
>∈>
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．根式的内容
（1）根式的定义:一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(
)*
∈>N
n n ,1，
n
a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨
⎧<-≥==0
0a a
a a a a n n
②负数没有偶次方根，
③零的任何次方根都是零
3．幂函数：一般地，形如 α
x y =)(R a ∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数．
注意： ① 幂函数α
x y =)(R a ∈中的α为任意实数。

② 形如 α)2(x y = , αx y ⋅=2, 2+=α
x y ,…
等形式的函数都不是幂函数 4．幂函数性质归纳
所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； 0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上函
数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； 0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 二、函数图象
幂函数的基本形式是y x α
=，其中x 是自变量，α是常数.在学习与研究幂函数时，同学们要十分重视幂函数图象的作用，借助幂函数图象，掌握幂函数性质. 1、牢记常用幂函数图象
常用的幂函数有五个，即y x =，2
y x =，3
y x =，12
y x =，1
y x -=.对于这五个常用幂
函数的图象，同学们不但要能在单个坐标系中单独作出，而且要能在同一个坐标系中全部作
出.
2、借助图象掌握函数性质 在高中阶段学习函数知识时，需要对函数图象及其基本性质熟练掌握，而掌握函数基本性质的一个最基本，最有效的方法就是借助函数图象.
②.由性质表可以得出幂函数的共性，总结如下：
（1）当0α>时，图象过定点(00)(11)，，
，；在(0)+，∞上是增函数. （2）当0α<时，图象过定点(11)
，；在(0)+，∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限接近.
③.借助图象掌握性质：从水平方向看，由图象上点的横坐标的变化范围，得出函数的定义域；从垂直方向看，由图象上点的纵坐标的变化范围，得出函数的值域；由图象的对称性得出奇偶性；由图象的上升与下降得出单调性. 3、幂函数图象分布规律
在第一象限内观察图象的分布规律，可以得出如下结论：幂函数y x α
=的图象，在第一象限内，在直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大；在y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.
要熟记这个分布规律，同学们可以通过两个特例来巧记，如观察函数2
y x =与1
y x
-=在第一象限的图象，很快就可以发现在1x =的右侧，
2
y x =的图象在1
y x -=的图象的上方，而在y 轴和直线1x =之间时，2
y x =的图象在1
y x -=的图象的下方.
同时，同学们还可以通过分析幂函数的指数特点，探讨指数α具有什么特征，图象分
布在哪些象限，或者由指数特征探讨图象的对称性等，来掌握幂函数的性质，这里就不再细说了，同学们不妨自己探讨一下.
4、图象基本特点与分布规律的应用
例1 幂函数m
y x =与n
y x =在第一象限内的图象如图1所示，则（ ）. A ．1001n m -<<<<，
B ．101n m <-<<， Ｃ．101n m -<<>， Ｄ．11n m <->，
练习1 如图2，已知幂函数a
y x =，b
y x =，c
y x =，d
y x =在第一象限内的图象分别是1234C C C C ，，，，则01a b c d ，，，，，
的大小关系是 ． 例2
已知幂函数6
()m y x m -=∈Z 与2()m y x m -=∈Z 的图象与x y ，轴都没有交点，
且2
()m y x
m -=∈Z 的图象关于y 轴对称，求m 的值．
诊断练习：
1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2
，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－
的定义域是
3．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝
2
21
m m
x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．
例题：
例1比较下列各组数的大小：
（1）1.53
1，1.73
1，1； （2）（－22
）
3
2-
，（－
107
）3
2
，1.1
3
4-
；
（3）3.83
2-，3.952
，（－1.8）5
3； （4）31.4，51.5
.
例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．
例3幂函数
2
7323
5
()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.
课堂练习：
1．幂函数()y f x =的图象过点1
(4,)2
，则(8)f 的值为 .
2．比较下列各组数的大小： 32
(2)a + 32
a ； 22
3
(5)a -
+ 23
5-
； 0.50.4 0.40.5.
3．幂函数的图象过点(2,
14
), 则它的单调递增区间是 ．
4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a
x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ．
5．函数y ＝3
4x -在区间上 是减函数．
6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性；
（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集.
课后练习
1．用“<”或”>”连结下列各式：0.6
0.32 0.5
0.32 0.5
0.34， 0.40.8- 0.40.6-． 2．函数132
2
(1)(4)y x x --
=-+-的定义域是
3．9
42
--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知
3
53
2x x >
，x 的取值范围为
5．若幂函数a
y x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是
6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过,
则()f x 的表达式为 7. 函数2
()3
x f x x +=
+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”）
8．比较下列各组中两个值的大小
33221.3 1.3
0.30.355
3
3
(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15-
-
--与与与与0
9．若3
13
1)
23()2(-
--<+a a ，求a 的取值范围。

10．已知函数y ＝42215x x －－．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．。