四川省遂宁中学高2015级高中数学12月月考试题理

1
遂宁中学高2015级十二月考试题
数学（理科）
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：
球的表面积S =4πR 2
,体积V =
34πR 3
,其中R 为球的半径 柱体的体积V =Sh ,锥体的体积V =3
1
Sh ,其中S 为底面积,h 为高.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U R =，集合{}{}
2,05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B =（ ）
A. {}
02x x <<
B. {}02x x <≤
C. {}02x x ≤<
D. {}02x x ≤≤
2. 在复平面内，复数341i
z i
+=
-对应的点在 （ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为
B.
C.
3
D. 3
- 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3
65cm π
B ．3
3cm π
C ．3
23
cm π
D ．3
73
cm π
5. 已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，以线段
12F F 为边作正12MF F ∆，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的
离心率为 （ ）
A. 4+
1
1 6. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 （ ）
A.5
B. 6
C.7
D.8
7.
若n
的展开式中第四项为常数项，则n=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
8.
函数()f x =
（ ）
2
A.在0,
,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 上递增，在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上递减 B.在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递增，在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
上递减 C.在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递增，在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递减
D.在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递增，在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上递减 9. 点A B C D 、、、
在同一个球的球面，AB BC ==2AC =,若四面体ABCD 体积的最大值为
2
3
，则这个球的表面积为 （ ） A. 1256π B. 8π C. 254π D. 2516
π
10．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，
3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是
A.1
0,5,5
+∞ （]（）
B.1
0,[5,5+∞ （）） C.11,]5,775
（（）
D.11,[5,775
（））
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 已知函数1
()2
ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是_______. 12．若2013
(2)
x -220130122013a a x a x a x =++++ ，则024
2012
1352013a a a a a a a a ++++=++++
10x y +-≥
13．在平面直角坐标系中，若不等式组 10x -≤ （a 为常数）所表示的平面区域 10ax y -+≥
的面积等于2，则a 的值为_____________.
14. 在ABC ∆中，2
2sin
,sin()2cos sin 2A A B C B C =-=，则AC AB
= 。

15．已知c b a ,,为互不相等的三个正实数，函数)(x f 可能满足如下性质：①)(a x f -为奇函数；②)(a x f +为奇函数；③)(b x f -为偶函数；④)(b x f +为偶函数；⑤()()f x c f c x +=-．类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论： (i)若满足①②，则)(x f 的一个周期为4a ；(ii)若满足①③；则)(x f 的一个周期为||4b a -；(iii)若满足③④，则)(x f 的一个周期为||3b a -；(iv)若满足②⑤；则)(x f 的一个周期为||4c a +．其中正确结论是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
3
16. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足*2(1)()n n n S a n N =+-∈。

（Ⅰ）求数列{}n a 的前三项123,,a a a ； （Ⅱ）求证：数列2(1)3n n a ⎧⎫
+
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列，并求出{}n a 的通项公式。

17. （本小题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n a p 、、的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X
18（本小题满分12分）
(1)求值:tan 20tan 4020tan 40+⋅
.
(2)求值:tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++⋅
（3）已知3cos()45x π+=,177124x ππ<<,求值2sin 22sin 1tan x x
x
+-
4
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是
AB 的中点，11,2,4AC BC AA ===
（Ⅰ）当E 是1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；
（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --
的余弦值是17
，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点到直线1x y a b +=
的距离d =O
为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于,A B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求出定值。

21. （本小题满分14分）
A 是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数)(x f 组成的集合：（1）对任意]2,1[∈x ，都有
)2,1()2(∈x f ；（2）存在常数)10(<<L L ,使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有
2121)2()2(x x L x f x f -≤-
（1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x f ，证明：A x f ∈)(
（2）设A x f ∈)(，如果存在]2,1[0∈x ，使得00)2(x x f =，那么0x 是唯一的
（3）设A x f ∈)(，任取)2,1(1∈x ，使得....2,1),2(1==+n x f x n n ，证明：给定正整数K, 对任意正
整数P, 都有211
1x x L
L x x k k P
k --≤-++
5
遂宁中学高2015级十二月考试题
数学（理科）答案
1．∵{}
2u C A x x =<，∴{}
()02u C A B x x =≤< ，故选C
2．∵34(34)(1)17171(1)(1)222i i i i x i i i i +++-+=
===-+--+， ∴点17,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第二象限，故选B 。

3．∵1472a a a π++=，∴432a π=，∴423
a π
=，
∴3544tan()tan 2tan 3
a a a π
+===A 。

4．D 解析：由三视图可知，此几何体为底面半径r 为1cm 、高h 为3cm 的圆柱上部去掉一个半径为R 为1cm 的半球，所以其体积为
2331327
3()2433
V r h r cm πππππ=-⨯=-=
5．
D 12(,0),(,0),)F c F c M -，则1MF 中点
为22
2
2())22(),12c c a b
---=，
则31e =+-舍去)。

6．B 按框图推演可得M 的值为6，故选B
7．
B n
的展开式中第四项为35
331332
2
11()()22
n n n
n C x
x C x --
-⋅-=-，又第四项为常数项，所
以
5
02
n -=，从而5n =，故选B 。

8．A
()f x ==当[0,]x π∈时
，()t a n f x x 为增函数，当
3[,2],2
x x π
ππ∈≠
时，()f x x =为减函数。

9. C
∵2AB BC AC ===，∴ABC ∆是直角三角形，∴ ABC ∆的外接圆的圆心是边AC 的中点O 1，如图所示，若使四面体ABCD 体积的最大值只需使点D 到平面ABC 的距离最大，又1OO ⊥平面ABC ，所以点D 是直线1OO 与球的交点设球的半径为R ，则由体积公式有：12O D =
在1Rt AOO ∆中，22
1(2)R R =+-，解得：54
R =254O S π=球的表面积，故选C
10.A 【解析】由(1)()f x f x +=-得
，(2)()f x f x +=，所以函数的周期是 2. 由()()log =0a g x f x x =-。

得()=log a f x x ，分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象，因
为(5)=log 5(5)a m m =-。

所以若1a >，由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则满足(5)=log 51a m <。

此时5a >。

若01a <<，由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少
6
6个零点，则满足(5)=log 51a m -≥-，此时105a <≤。

所以a 取值范围是1
0,5,5
+∞ （]（），选
A.
11．21211
,()0,210,2(2)2
a a f x a a x -'>
=>->>+ 12．令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①，
令1-=x 得2013
01234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②，
由①②联立，可得2012
420a a a a ++++ 2013312
+=，
++31a a 52013a a ++ 2013
132
-=， 从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013
31
2132
+=
-201320133131+=--． 13．3 解析：当0a <时，不等式组所表示的平面区域如图中的M ，是一个无限的角形区域，面积不
可能为2，故只能0a ≥，此时不等式组所表示的平面区域如右图中的N ，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则4AB =，即点B 的坐标为（1，4），所以3a =.
7
14
212sin
1cos sin()262A A A A A π=⇔-=⇔+= 又0A π<< ∴7666A πππ<+< ∴566A ππ+= ∴23A π
=
再由余弦定理得：222
a b c bc =++ ①
将sin()2cos sin B C B C -=展开得：sin cos 3cos sin B C B C =
∴将其角化边得：2
2
2
22b c a -= ②
将①代入②得：2
2
30b c bc --= 左右两边同除以bc 得：
310b c
c b
-⨯-= ③
解③得：b c =
b c =
∴AC b AB c ==
15.【解析】由2013sin y x =的图象知，两相邻对称中心的距离为2T 两相邻对称轴的距离为2
T
，对称
中心与距其最近的对称轴的距离为4
T
，若满足①②，则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ，
)0,(a -，从而有a a a T
2)(2
=--=，即a T 4=；若满足①③，则)(x f 的对称轴为b x =，与对称轴
相邻的对称中心为)0.(a ，有||4b a T
-=，即||4b a T -=；若满足③④，则)(x f 的两个相邻的对称
轴为b x -=和b x =，从而有=--=)(2
b b T
b 2，即b T 4=；若满足②⑤，则)(x f 的对称中心为
)0,(a -，与其相邻的对称轴为c x =，从而有()4
T
c a a c =-+=-，即=T 4||a c -．故只有(iii)(iv)
错误
16．解：(Ⅰ)在2(1),1n n n S a n =+-≥中分别令1,2,3n =得：
1112212332121
21a a a a a a a a a =-⎧⎪+=+⎨⎪++=-⎩ 解得：111
102
a a a =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ (Ⅱ)由2(1),1n n n S a n =+-≥ 得：1112(1),2n n n S a n ---=+-≥
两式相减得：122(1),2n n n a a n -=--≥
1422(1)(1)33n n n n a a -=----1142
2(1)(1)33n n n a --=+---
1122
(1)2((1))(2)33
n n n n a a n --+-=+-≥
故数列2(1)3n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭
是以12133a -=为首项，公比为2的等比数列。

8
所以121(1)233n n n a -+
-=⨯ 112
2(1)33
n n n a -=⨯-⨯- 17．解析：(Ⅰ)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为
0.3
0.065
= 频率直方图如下：
第一组的人数为
1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n == 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以195
0.65300
p == 第四组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯= 所以1500.460a =⨯=
(Ⅱ)因为[)40,45风年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所
以采用分层抽样法抽取18人，[)40,45岁中有12人，[)45,50岁中有6人，随机变量X 服从超几何分布。

0312********
1818515
(0),(1)20468C C C C P X P X C C ======， 213012612633
18183355
(2),(3)68204
C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量的分布列为
∴数学期望5153355012322046868204
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= 19. 解：（1）证明，取1AB 的中点G ，连结EG ，FG
∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点， ∴FG ∥111
,2
BB FG BB =
又∵FG ∥11
,,2
EC EC CC FG EC ==
∴四边形FGEC 是平行四边形，∴CF ∥EG 4分 ∵CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1 ∴CF ∥平面AEB （2）以C 点为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为,,x y z 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，
则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,4)C A B 设(0,0,)(04)E m m ≤≤，平面1AEB 的法向量1(,,)n x y z =.
则1(1,2,4),(1,0,)AB AE m =-=-
由111,,AB n AE n ⊥⊥ 得2400x y z x mz -++=⎧⎨-+=⎩
1(2,4,2)n m m =-
9
∵CA ⊥平面11C CBB
∴CA
是平面EBB 1的法向量，则平面1EBB 的法向量
2(1,0,0)n CA ==
∵二面角A-EB 1-B
，
121212cos(,)||||n n n n n n ⋅===
解得1(04)m m =≤≤
∴在棱1CC 上存在点E ，符合题意，此时1CE =
20．解：(Ⅰ)由12e =得1
2
c a =，即2a c =
，∴b =
由右焦点到直线1x y a b +=
的距离为7d =
7=
，
解得2,a b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y += (Ⅱ) 设1122(,),(,)A x y B x y
(1)当k 存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆22
143
x y +=联立消去y 得 2222
34(2)120x k x kmx m +++-=
2121222
8412
,.3434km m x x x x OA OB k k
-+=-=⊥++ ∴121212120,()()0x x y y x x kx m kx m +=+++= 即222
2
22
4128(1)03434m k m k m k k -+-+=++， ∴2222
22
4128(1)
03434m k m k m k k -+-+=++ 整理得22
712(1)m k =+，并且符合0∆>，所以O 到直线AB
的距离d =
=
，
(2)当k 不存在时，同理可求得O 到直线AB。