数学 反比例函数的专项 培优易错试卷练习题附详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；
（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．
∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；
∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），
∴2=﹣ +b，解得：b= ，
∴一次函数解析式为y= x+ ．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：，或，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有，解得：，
∴直线A′B的解析式为y= x+ ．
令y= x+ 中x=0，则y= ，
∴点C的坐标为（0，）
（2）解：观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0
【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．
2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点
C．
（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．
（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求
证明）．
【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，
∴y= ，
∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，
∴y2= =1，
∴B（3，1），
∵直线y=ax+b经过A、B两点，
∴解得，
∴直线为y=﹣x+4，
令y=0，则x=4，
∴P（4，O）
（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，
∴= ，= = ，
∵b=y1+1，AB=BP，
∴= ，
= = ，
∴B（，y1）
∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，
∴x1•y1= • y1，
解得x1=2，
代入= ，解得y1=2，
∴A（2，2），B（4，1）
（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0
【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y
轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，
根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得
出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．
3．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
所以双曲线的解析式为y=﹣．
设点B的坐标为（m，﹣m）．
∵点B在双曲线上，
∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，﹣2）．
将点A、B、C的坐标代入得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．
（2）解：如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x2﹣3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；
（3）解：存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，
∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，
而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴平移后点A（﹣，），B（，），
∴点A关于y轴的对称点A'（，），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（，），A'（，），
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，
∴P（0，﹣）．
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.
4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函
数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，
OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的
图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）
∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

∴A（﹣1，﹣2）。

又∵点A在上，∴，解得k=2。

，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1。

（3）解：四边形OABC是菱形。

证明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴。

由题意知：CB∥OA且CB= ，∴CB=OA。

∴四边形OABC是平行四边形。

∵C（2，n）在上，∴。

∴C（2，1）。

∴。

∴OC=OA。

∴平行四边形OABC是菱形。

【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。

（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA 且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC
6．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），
∴k=4×（-8）=-32．
∵双曲线y= 过点B（m，-2），
∴m=16．
由直线y=kx+b过点A，B得：，
解得，，
∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为
（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），
分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，
∵O（0，0），A（4，-8），
∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；
②若OP∥AB，OA∥BP，
∵A（4，-8），B（16，-2），
∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；
③若OB∥AP，OP∥AB，
∵B（16，-2），A（4，-8），
∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；
∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或
（20，-10）
【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．
7．如图、在矩形OABC中，，双曲线与矩形两边BC，AB 分别交于E，F两点.
（1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标；
（2）如图二，若将沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值. 【答案】（1）解：矩形OABC中，，，E是BC中点，
点 .
点E在双曲线上，
.
.
点F的横坐标为4，且在双曲线上，
，即点；
（2）解：过点E做轴于H点，
点点
， .
， .
，
，
，
∽ .
，，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标；（2）过点E做轴于H点，根据∽，分别用k 表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.
8．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，
∴a=﹣1+3=2，
∴点A（1，2）．
∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：，，
∴点B（2，1）
（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．
∵点B、B′关于x轴对称，
∴PB=PB′．
∵点A、P、B′三点共线，
∴此时PA+PB取最小值．
设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．
当y=﹣3x+5=0时，x= ，
∴满足条件的点P的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A
（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．
【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（﹣3，2）．
∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），
∴
解得，
∴直线的表达式为y=﹣x﹣1
（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣
1）．
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点
的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．
10．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A 点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．
（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．【答案】（1）解：联立l与C得，
①﹣②，得﹣x+2 ﹣ =0
化简，得x2﹣2 x+3=0
解得x1=x2= ，y1=y2= ，
直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）
（2）解：证明：联立l与C得，
①﹣②，得
kx+2 ﹣ =0，
化简，得
kx2+2 x﹣3=0，
a=k，b=2 ，c=﹣3，
△=b2﹣4ac=（2 ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；
x=﹣，y= ，
即P（﹣，）
（3）解：①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
P（﹣，），
PA= ，
PB= ，
∴PA=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
联立l与C得，
①﹣②，得
kx+b﹣ =0，
化简，得
kx2+bx﹣3=0，
解得P1（，）P2（，
）
P1A2=（）2+（）2，P2B2=（）2+
（）2，
∴P1A2=P2B2，
∴P1A=P2B
【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．
11．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点 , 落在两个相邻的正整数之间，请写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数的图像与二次函数
的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足，试求实数的取值范围。

【答案】（1）解：抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)
将（0，—）代入，解得a= .
∴抛物线解析式为y=
（2）解：得,,,
∵点A在第一象限，故点A的坐标为（），∴交点的横坐标x0落在1和2之间 .（3）解：由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1= ,y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小。

因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1 ，
得
同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
得K＜12。

所以K的取值范围为:.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）解联立反比例函数的解析式与抛物线的解析式组成的方程组求出其在第一象限内的交点的坐标，即可得出答案；
（3）根据抛物线的性质得出当2＜x＜3时，y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），y2随着X的增大而减小。

因为A（X0， Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，从而列出不等式组，求解即可.
12．综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为
________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.
【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”
（3）x；（20﹣2x）2；576
【解析】【解答】（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
故答案为：x，（20﹣2x）2， 576
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
13．已知抛物线的顶点坐标为，经过点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的值；
（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴的负半轴于点，点在抛物线上.
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若，求，的值.
【答案】（1）解：已知抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：6=16a-2，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线交轴点，则点的坐标，
∴ .
∵，
∴ .
∴ .
由得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴ .
（3）解：①依题意得抛物线的解析式为 . 点在抛物线上，
∴，
∴顶点的坐标为，
令，即 .
∴，（舍去），
∴点的坐标为 .
②作轴于点，
∵E（2-a，0），F（a，2a-2），
∴，
∴，
又，
∴，
∵FH//y轴，
∴∠FPO=∠PFH=22.5°，
∴∠FPO=∠EFP，
∴PD=FD，
设交轴于点，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，
∵∠EFH=45°，
∴，
∵∠FEH=45°，a>2,
∴OD=OE=a-2，
∴PD=a-2- = ，
∵HO=a，
∴，
∴，（舍去），
∴ .
【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。

（2）由点A，B的坐标，可求出AB的长，利用三角形的面积公式，可得到点N和点M的横坐标之差为1，再将两函数联立方程组，可转化为x2-2kx+4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两个根之和和两根之积，由此可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值。

（3）①利用函数平移规律，可得到C1的函数解析式，由点F在抛物线C1上，可建立m 与a的二次函数，再求出顶点P的坐标，将点P代入抛物线C，建立方程，求出方程的解，可得到符合题意的点E的坐标；②作FH⊥x轴于点H，用含a的代数式表示出点E，F 的坐标，即可求出FH、EH的长，再去证明∠EFP=∠PFH=22.5°，从而可以推出PD=FD；设EF 交y轴于点D，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，利用解直角三角形求出PD，DF，OD 的长，再建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到m的值。

14．已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分 .点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作，交于点，过点作，分别交，于点， .连接， .设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，点在的平分线上？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：在中，∵，，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴∠BPE=∠BCA=90°
又∠B=∠B
∴△BPE∽△BAC
∴
即
∴，，
当点在的平分线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴ .
∴当为4秒时，点在的平分线上.
（2）解：如图，连接， .
.
（3）解：存在.如图，连接 .
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得或10(舍)
∴当秒时， .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求AC，根据证，求出CD、OD的值，根据△BPE∽△BAC得到比例式，用含有t的代数式表示出PE、BE，当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据
构建函数关
系式即可．（3）证明∠EOC=∠QOG，可得，推出，由此构建方程即可解决问题．
15．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB ＝4；
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3
（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝
，
∵S△ABD＝AB•DN＝AD•DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝
，
∵△AMN∽△ABP，∴，即
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），
或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），
S△ABP＝PB•AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），
∴，
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ ，k2＝2﹣
当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，
综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.。