2020-2021学年高中数学专题强化训练北师大版必修1(4份)
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专题强化训练(一) 集合
一、选择题
1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.4
D[由A,B集合元素的互异性知a≠0,a≠1,a≠2,故选D.]
2.设P,Q是两个非空集合,定义P×Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},若P={3,4,5},Q={4,5,6,7},则P×Q中元素的个数是( )
A.3 B.4
C.7 D.12
D[a有3种取值,b有4种取值,P×Q中元素(a,b)有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7);(4,4),(4,5),(4,6),(4,7);(5,4),(5,5),(5,6),(5,7).共12个.] 3.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( )
A.N M B.M∪N=M
C.M∩N=N D.M∩N={2}
D[由于-2M,所以选项A,B,C错误,选项D显然正确.]
4.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,则集合B可以是( )
A.{0,1} B.{x|x≤2}
C.{-1,0,1} D.R
A[由A∩B=B,得B A,故选A.]
5.已知集合A={x∈N|x2+2x-3≤0},B={C|C A},则集合B的子集个数为( ) A.8 B.16
C.32 D.64
B[∵A={x∈N|-3≤x≤1}={0,1},
∴B={,{0},{1},{0,1}},
∴集合B子集的个数为24=16.]
二、填空题
6.设集合A={-1,0,3},B={a+3,2a+1},A∩B={3}, 则实数a的值为A=________.
0或1[由题意知3∈B,
所以a+3=3或2a+1=3,
所以a=0或a=1.]
7.已知集合A =⎩⎨⎧
x ⎪⎪
⎪⎭
⎬⎫
125-x ∈N ,x ∈N ,则用列举法表示为A =________.
{1,2,3,4} [因为x ∈N ,12
5-x
∈N , 所以5-x =4,3,2,1,
所以x =1,2,3,4,故A ={1,2,3,4}.]
8.已知集合A ={-2,-1,0,1,2},B ={y |y =x 2
-1,x ∈A },则B =________. {-1,0,3} [列表如下:
x -2 -1 0 1 2
y =x 2-1
3
-1 0 3
由上表知,B ={-1,0,3}.] 三、解答题
9.已知集合A ={-3,0,1}.
(1)若集合B ={y |y =x 2
-2x },求A ∩B ;
(2)若集合C ={t 2
-t +1},t ∈R ,A ∩C =C ,求t 的值. [解] (1)∵B ={y |y =(x -1)2
-1}={y |y ≥-1}, ∴A ∩B ={0,1}. (2)由A ∩C =C ,得C
A ,
又t 2
-t +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122
+34≥34
,∴t 2
-t +1=1,
解得t =0或1.
10.设U =R ,集合A ={x |x 2
+3x +2=0},B ={x |x 2
+(m +1)x +m =0},若(U A )∩B =,求实数m 的值.
[解] A ={-1,-2},由(U A )∩B =,得B
A ,
当m =1时,B ={-1}, 满足(U A )∩B =;
当m ≠1时,B ={-1,-m }, 所以A =B ,所以-m =-2,即m =2. 综上得,m =1或2.
1.如图,I 是全集,A ,B ,C 是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A .(
B ∩I A )∩
C B .(A ∪I B )∩C C .(A ∩B )∩I C
D .(A ∩I B )∩C
D [阴影部分在A ,C 中,但不在B 中,故在I B 中,因此阴影部分表示的集合是A ,
C ,I B 三者的交集.]
2.已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )
A .5
B .4
C .3
D .2
D [由6=3×2,8=3×2+2,10=3×3+1,12=3×4,14=3×4+2,得A ∩B ={8,14}.故选D.]
3.已知全集U ={2,4,a 2
-a +1},A ={a +4,4},U A ={7},则a =________. -2 [由U A ={7},得7∈U ,所以a 2
-a +1=7,解得a =-2或3. 当a =-2时,A ={2,4},U ={2,4,7},满足题意; 当a =3时,A ={7,4},U ={2,4,7},不合题意. 所以,a =-2.]
4.集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ⎪⎪⎪ n
2∈Z
,B =⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m +12∈Z ,则A ∩B =________. [A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ⎪⎪⎪
n
2
∈Z
={n |n 是偶数},B =⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m +1
2∈Z
={m |m 是奇数},所以A ∩B =.]
5.已知集合A ={x |3≤x <6},B ={x |2<x <9}. (1)求A ∩B ,(R B )∪A ;
(2)已知C ={x |a <x <a +1},若C B ,求实数a 的取值集合. [解] (1)A ∩B ={x |3≤x <6}.
由B ={x |2<x <9},得R B ={x |x ≤2,或x ≥9}, ∴(R B )∪A ={x |x ≤2,或3≤x <6,或x ≥9}.
(2)∵C B ,如图所示:
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥2,a +1≤9,
解得2≤a ≤8,
∴a 的取值集合为{a |2≤a ≤8}.
专题强化训练(二) 函 数
一、选择题 1.设函数f (x )=⎩⎨⎧
x ,x ≥0,-x ,x <0,
若f (x 0)=1,则x 0=( )
A .-3
B .3或-3
C .-1
D .1或-1
D [当x 0≥0时,x 0=1,x 0=1;当x 0<0时,-x 0=1,x 0=-1.综上得,x 0=1或-1.]
2.函数f (x )=4-x
x -3
的定义域为( ) A .(-∞,4] B .(-∞,3)∪(3,4] C .[-2,2]
D .(-1,2]
B [依题意,⎩
⎪⎨
⎪⎧
4-x ≥0,x -3≠0,
解得x ≤4,且x ≠3.] 3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
1,x >0,0,x =0,
-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是( )
A .(-∞,0]
B .[0,1)
C .[1,+∞)
D .[-1,0]
B [g (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
,x >1,0,x =1,
-x 2,x <1,
画出g (x )的图像如下:
由图像,知g (x )的递减区间是[0,1).]
4.已知f (x )=
x +1
2
x
,则( )
A .f (x )的图像是中心对称图形,其对称中心为点(0,0)
B .f (x )的图像是中心对称图形,其对称中心为点(0,2)
C .f (x )的图像是轴对称图形,其对称轴为y 轴
D .f (x )的图像是轴对称图形,其对称轴为直线x =2
B [f (x )=
x +1
2
x
=x 2+1x
+2.
令g (x )=x 2+1
x
,则g (x )是奇函数,
所以,g (x )的图像是中心对称图形,对称中心为点(0,0). 所以,f (x )的图像是中心对称图形,对称中心为点(0,2).] 5.若函数f (x )=x
2x +1
2x -a
为奇函数,则a =( ) A .1 B .2 C.12
D .-12
A [由f (x )是奇函数,得f (-x )=-f (x ). 即
-x
-2x +1
-2x -a
=-
x
2x +1
2x -a
,
所以(-2x +1)(-2x -a )=(2x +1)(2x -a ), 所以4(a -1)x =0. 所以,a =1.] 二、填空题 6.函数f (x )=
1
x -1
的定义域是________.
[0,1)∪(1,+∞) [依题意,x -1≠0,
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥0,x ≠1,∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1,+∞).]
7.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
+1,x ≥2,
f x +3,x <2,则f (1)=________.
17 [f (1)=f (4)=42
+1=17.] 8.如果f (x )=⎩⎪⎨
⎪⎧
2x -3,x >0g
x ,x <0
是奇函数.那么,当x <0时,g (x )=________.
2x +3 [当x <0时,-x >0,
所以,g (x )=-f (-x )=-[2(-x )-3]=2x +3.] 三、解答题
9.已知函数f (x )=4x 2
-4ax +a 2
-2a +2在区间[0,2]上的最小值为3,求a 的值.
[解] f (x )=4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x -a 22
-2a +2, ①当a
2
≤0,即a ≤0时,
f (x )在[0,2]上单调递增.
∴f (x )min =f (0)=a 2
-2a +2, 由a 2
-2a +2=3,得a =1± 2. 又∵a ≤0,∴a =1- 2. ②当0<a
2
<2,即0<a <4时,
f (x )min =f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2=-2a +2,
由-2a +2=3,得a =-1
2(0,4),舍去.
③当a
2
≥2,即a ≥4时,
f (x )在[0,2]上单调递减, f (x )min =f (2)=a 2-10a +18,
由a 2
-10a +18=3,得a =5±10, 又∵a ≥2,∴a =5+10. 综上得a =1-2或5+10. 10.已知函数f (x )=x 2
-2|x |.
(1)判断其奇偶性,并指出其图像的对称轴; (2)画出此函数的图像,并指出其单调区间及最小值. [解] (1)函数的定义域为R ,关于原点对称,
f (-x )=(-x )2-2|-x |=x 2-2|x |.
则f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数, 图像关于y 轴对称. (2)f (x )=x 2
-2|x |
=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
-2x =x -12
-1,x ≥0,x 2
+2x =x +1
2
-1,x <0.
画出图像如图所示,
根据图像知,函数f (x )的最小值是-1. 增区间是[-1,0],[1,+∞); 减区间是(-∞,-1),(0,1).
1.函数f (x )=2x +1x -1,x ∈[2,4]的最小值是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
A [∵f (x )=2x +1x -1=2+3
x -1,
∴f (x )在[2,4]上单调递减, ∴f (x )min =f (4)=3.]
2.f (x )是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f (3)>f (1),则下列各式一定成立的是( )
A .f (0)<f (6)
B .f (3)>f (2)
C .f (-1)<f (3)
D .f (2)>f (0) C [∵f (-1)=f (1),∴f (-1)<f (3).]
3.若函数f (x )=x 2
-|x +a |的图像关于y 轴对称,则实数a =________. 0 [因为函数y =x 2-|x +a |的图像关于y 轴对称, 所以y =x 2
-|x +a |为偶函数, 所以f (-x )=f (x ), 即x 2
-|a -x |=x 2
-|x +a |, 所以|a -x |=|x +a |,所以a =0.] 4.函数f (x )对任意实数x 满足f (x +2)=
1
f x
,若f (1)=-5,则f (f (5))=________.
-1
5
[因为f(5)=
1
f3
=f(1)=-5,
所以f(-5)=
1
f-3
=f(-1)=
1
f1
=-
1
5
.]
5.定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.
[解]由题意,f(a-1)+f(4a-5)>0,即f(a-1)>-f(4a-5),
又因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(a-1)>f(5-4a).
又函数y=f(x)在[-1,1]上是增函数,
有
⎩⎪
⎨
⎪⎧
-1≤a-1≤1,
-1≤4a-5≤1,
a-1>5-4a
⇒
⎩⎪
⎨
⎪⎧0≤a≤2,
1≤a≤
3
2
,
a>
6
5
⇒
6
5
<a≤
3
2
,
所以a的取值范围是⎝
⎛
⎦⎥
⎤
6
5
,
3
2
.
专题强化训练(三) 指数函数和对数函数
一、选择题
1.设f(x)=
⎩
⎨
⎧1-x,x≥0
2x,x<0
,则f[f(-2)]=( )
A.-1 B.
1
4
C.
1
2
D.
3
2
C[f[f(-2)]=f⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
4
=1-
1
4
=1-
1
2
=
1
2
.]
2.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.y=
1
1-x
B.y=x2
C.y=ln(1+x) D.y=2-x
D[y=2-x=⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
x
在R上是减函数,故选D.]
3.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足
f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫
-∞,1
2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,+∞ B [因为f (x )是偶函数,所以原不等式可化为f (-2|x -1|
)>f (-2),
又f (x )在(-∞,0)上单调递增, 则-2
|a -1|
>-2,∴2
|a -1|
<21
2
, ∴|a -1|<12,∴12<a <3
2
.]
4.下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 3
B .f (x )=3x
C .f (x )=x 1
2
D .f (x )=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
B [满足f (x +y )=f (x )f (y )的只有选项B 与D ,又f (x )=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
是减函数,f (x )=3x
是
增函数,故选B.]
5.若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )
B [依题意,log a 3=1, ∴a =3.
y =a -x =⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
是减函数,故A 错;y =(-x )a =-x 3是减函数,故C 错;y =log a (-x )=
log 3(-x )是减函数,故D 错.而B 符合题意,故选B.]
二、填空题
6.lg(lg 10)=________. 0 [lg(lg 10)=lg 1=0.] 7.函数f (x )=a
x -2
+3(a >0,且a ≠1)的图像恒过定点________.
(2,4) [因为f (2)=a 0
+3=1+3=4,所以f (x )的图像恒过点(2,4).] 8.已知3a
=4b
=12,则
a +b
ab
=________. 2 [由3a =4b
=12,得a lg 3=b lg 4=12lg 12.
∴a =12lg 12lg 3,b =12lg 12lg 4,
∴a +b ab =12lg 12lg 3
+
1
2
lg 12lg 412lg 12lg 3·1
2
lg 12lg 4
=
lg 4+lg 312lg 12=lg 12
12
lg 12=2.]
三、解答题
9.已知1≤x ≤10,且xy 2
=100,求(lg x )2
+(lg y )2
的最大值. [解] 由xy 2
=100,得lg x +2lg y =2,∴lg x =2-2lg y .
∴u =(lg x )2
+(lg y )2
=(2-2lg y )2
+(lg y )2
=5(lg y )2
-8lg y +4=5⎝
⎛⎭⎪⎫lg y -452
+4
5
. ∵1≤x ≤10, ∴1≤100
y
2≤10,
即10≤y 2
≤100, ∴1
2
≤lg y ≤1. 当lg y =12,即y =1012时,u 取最大值5
4
,
此时x
=100y 2=
100⎝ ⎛⎭
⎪⎫10122=100
10
=10.
10.若直线y =2a 与函数y =|a x
-1|(a >0,且a ≠1)的图像有两个公共点,求a 的取值范围.
[解] 当0<a <1时,y =|a x
-1|的图像如图①所示,
图①
∴0<2a <1,∴0<a <1
2
.
当a >1时,y =|a x
-1|的图像如图②所示
图②
由于2a >2,所以不可能有两个公共点. 综上所得0<a <1
2
.
1.为了得到函数y =log 3
x -3
3
的图像,只需要把函数y =log 3x 的图像上所有的点( )
A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D [由对数的运算性质得log 3
x -3
3
=log 3(x -3)-log 33=log 3(x -3)-1,所以,要得
到函数y =log 3
x -3
3
,即y =log 3(x -3)-1的图像,只需把函数y =log 3x 的图像向右平移3
个单位长度,再向下平移1个单位长度.]
2.设实数m 满足条件3m
=2-3
,则下列关于m 的范围的判断正确的是( ) A .-4<m <-3 B .-3<m <-2 C .-2<m <-1
D .-1<m <1
C [因为3m =2-3
,m =-3log 32,又3<8<9,所以313<2<3
23,所以13<log 32<23,故m =-
3log 32∈(-2,-1),故选C.]
3.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
,则f (-2+log 35)
=________.
4.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)=-f (x ),且当x ∈(-2,0)时,f (x )=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
,则f (log 28)=________.
2 [f (log 28)=f (3)=f (2+1)=-f (2)=-f (1+1)=f (1),因为f (x )为R 上的偶函
数,所以f (1)=f (-1)=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12-1
=2,故f (log 28)=2.] 5.设函数f (x )=log 3(9x )·log 3(3x ),且1
9≤x ≤9.
(1)求f (3)的值;
(2)令t =log 3x ,将f (x )表示成以t 为自变量的函数,并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值.
[解] (1)f (3)=log 327·log 39=3×2=6. (2)∵t =log 3x , 又∵1
9
≤x ≤9,
∴-2≤log 3x ≤2,即-2≤t ≤2.
由f (x )=(log 3x +2)·(log 3x +1)=(log 3x )2
+3log 3x +2=t 2
+3t +2.
令g (t )=t 2
+3t +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +322
-1
4
,t ∈[-2,2].
①当t =-32时,g (t )min =-1
4
,
即log 3x =-32,则x =3-32=3
9,
∴f (x )min =-14,此时x =3
9;
②当t =2时,g (t )max =g (2)=12, 即log 3x =2,x =9, ∴f (x )max =12,此时x =9.
专题强化训练(四) 函数应用
一、选择题
1.若函数f (x )=3ax +1-2a 在区间(-1,1)内存在一个零点,则a 的取值范围是( ) A .a >1
5
B .a >1
5或a <-1
C .-1<a <1
5
D .a <-1
B [依题意,f (-1)·f (1)<0,即(-5a +1)(a +1)<0,解得a >1
5
,或a <-1.]
2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x
-1,x ≤1,1+log 2x ,x >1,
则函数f (x )的零点为( )
A.1
2,0 B .-2,0 C.12
D .0
D [f (x )=0,即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤1,
2x
-1=0,或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >1,
1+log 2x =0,
解得x =0,故选D.]
3.函数f (x )=πx +log 2x 的零点所在区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,18
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18,14
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14,12 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12,1 C [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=π4-2<0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=π
2-1>0,
∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14,12内至少有一个零点.]
4.设方程|x 2
-3|=a 的解的个数为k ,则k 不可能等于( ) A .1 B .2 C .3
D .4
A [依题意,k 为函数y =|x 2
-3|与y =a 的图像交点的个数.
由图可知,k ≠1.]
5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4 利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
A .y =log 2x
B .y =2x
C .y =x 2
D .y =2x
B [画出散点图(图略),由散点图可知,这种空调的函数模型为y =2x
.] 二、填空题
6.已知函数f (x )为奇函数,且有3个零点,则这3个零点之和等于________. 0 [因为奇函数的图像关于原点对称,所以,其零点之和为零.]
7.若等腰三角形的周长为20,则底边y 关于腰长x 的函数解析式为________.
y =20-2x (5<x <10) [依题意,y =20-2x , 由⎩⎪⎨⎪
⎧
x >020-2x >02x >20-2x
,得5<x <10.
所以,其解析式为y =20-2x (5<x <10).]
8.已知m ∈R ,函数f (x )=m (x 2
-1)+x -a 恒有零点,则实数a 的取值范围是________. -1≤a ≤1 [当m =0时,a ∈R , 当m ≠0时,Δ=1+4m (m +a )≥0, 4m 2
+4am +1≥0, ∴16a 2-16≤0, ∴-1≤a ≤1. 综上得,-1≤a ≤1.] 三、解答题
9.定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x >0时,f (x )=2 012x
+log 2 012x ,试确定f (x )
在R 上的零点个数.
[解] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数, ∴f (0)=0.
∵log 2 01212 0122=-2,2 0121
2 0122≈1,
log 2 01212 012=-1,2 0121
2 012>1,
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 0122<0,f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 012>0,
∴f (x )=2 012x
+log 2 012x 在区间⎝
⎛⎭
⎪
⎫12 0122,12 012内存在零点.
易知f (x )在(0,+∞)上是单调增函数, ∴f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, 根据奇函数的对称性可知,
函数f (x )在(-∞,0)内有且只有一个零点. 综上可知函数在R 上的零点个数为3.
10.某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ,P ),点(t ,P )落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示:
第t 天
4 10 16 22 Q (万股)
36 30 24 18
(1)根据提供的图像,写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式;
(3)用y 表示该股票日交易额(万元),写出y 关于t 的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?
[解] (1)由图像知,前20天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),容易求得直线方程为P =1
5
t +2;
从第20天到30天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为P =-
1
10
t +8, 故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为: P =⎩⎪⎨⎪⎧
15t +2,0≤t ≤20,t ∈N +
,-1
10t +8,20<t ≤30,t ∈N +
.
(2)由图表易知Q 与t 满足一次函数关系, 即Q =-t +40,0≤t ≤30,t ∈N +. (3)由(1)(2)可知
y =⎩⎪⎨
⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫15t +2-t +40,0≤t ≤20,t ∈N +
,⎝ ⎛⎭
⎪⎫-110t +8-t +40,20<t ≤30,t ∈N +
,
=⎩⎪⎨⎪⎧
-1
5t -152
+125,0≤t ≤20,t ∈N +,
110t -60
2
-40,20<t ≤30,t ∈N +.
当0≤t ≤20,t =15时,y max =125, 当20<t ≤30时,y 随t 的增大而减小.
所以在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元.
1.设方程3x
=|lg(-x )|的两个根为x 1,x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0<x 1x 2<1
D [
函数y =3x
与函数y =|lg(-x )|的图像如图所示,由图示可设x 1<-1<x 2<0, 则0<3x 1<3x 2<1,
且⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x 1=lg -x 1,3x 2=-lg -x 2,可得
3x 1-3x 2=lg(-x 1)+lg(-x 2)=lg x 1x 2, ∵3x 1-3x 2<0,∴0<x 1x 2<1.]
2.在10枚崭新的硬币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称________次就可以发现这枚假币.
3 [先分2组,每组5枚,用天平称出质量较轻的一组,再把5枚分成一组2枚,另一组也2枚,把两组放入托盘中,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若平衡,则假币一定在较轻的那2枚硬币里面,然后用天平称出轻的一枚即可,故最多称3次即可.]
3.函数f (x )=e x
+2x -6(e≈2.718)的零点属于区间(n ,n +1)(n ∈Z ),则n =________. 1 [因为f (1)=e -4<0,f (2)=e 2
-2>0,
所以,函数f (x )的零点,属于区间(1,2),故n =1.]
4.已知函数f (x )=mx 2
-2(m +n )x +n ,(m ≠0)满足f (0)·f (1)>0,设x 1,x 2是方程
f (x )=0的两根,则|x 1-x 2|的取值范围是________.
[3,2) [由f (0)·f (1)>0可得n (m +n )<0,⎝ ⎛⎭
⎪⎫n m 2
+n m
<0.设t =n m 即t 2+t <0,得t ∈(-1,0).因为m ≠0,所以Δ=[-2(m +n )]2
-4mn =4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫m +n 22
+3n 2
>0.
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
+x 2
=2
m +n
m
,x 1x 2
=n
m ,
|x 1-x 2|=
x 1+x 2
2
-4x 1x 2=2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫n m 2
+n m +1 =2t 2
+t +1,
令g (t )=t 2
+t +1,t ∈(-1,0),可得g (t )∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34,1,
故|x 1-x 2|∈[3,2).]
5.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所得的利润依次为M 万元和N 万元,它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出:M =14x ,N =3
4x -1(x ≥1).今有8万元资金
投入经营甲、乙两种商品,且乙商品至少要求投资1万元,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少?共能获得多大利润?
[解] 设投入乙种商品的资金为x 万元,则投入甲种商品的资金为(8-x )万元,共获得利润
y =M +N =1
4(8-x )+
3
4
x -1(1≤x ≤8).
令x -1=t (0≤t ≤7),则x =t 2
+1, ∴y =14(7-t 2
)+34t =-14⎝ ⎛⎭⎪⎫t -322
+3716.
故当t =32时,可获最大利润37
16
万元.
此时,投入乙种商品的奖金为134万元,甲种商品的资金为19
4万元.。