球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系
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设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为 （ ）
在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱
则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）
C
S
A
B
C
M
N
题目：
解析：
C
巩固练习
从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）
A
O
H
三棱锥P—ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16 ，则该三棱锥的高的最大值为 8 .
底面ABC所在小圆半径为
O
H
P
C
B
A
祝同学们学习愉快！ 谢谢！！再见！！！
A1
B1
C1
M
设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。
正三棱柱的内切球
如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。
把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。
P
H
D
O
K
∟
∟
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
∽
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）
A
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.
解析：先想象一下图形，画出示意图
由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔPAO中，有：
B
§4 球与棱柱切接问题举例
正三棱柱的外接球
球心在上下底面中心连线的中点。
ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=R
O
A
B
C
作业：
已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满 足 ,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿．
如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
则AD两点间的球面距离 .
提示：
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系
O
P
A
B
C
D
K
H
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
0
P
A
B
C
H
P
A
B
C
O
因PA与球O相切于点A， ∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.
∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC ∴PA=PB=PC
又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC为全等的 等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。
解:在 中, , 可得 由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ， 球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此 球的表面积为.
A
C
O
A
B
O
B
O
C
A
B
C
则三棱柱的体积为 （ ）
在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截在球内的线段长为 ( )
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为
D
C
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°
由RtΔ中的射影定理得：
O
P
A
B
C
D
M
H
法二
由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
题目：
题目：
正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( )
求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．
解：①∵球面距离
②∵OA=OB=OC=1
③ 设球的内接正方体棱长为a，则
A
O
B
A
C
O
B
C
O
C
B
A
A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。
∴球心O到平面ABC的距离为
8
一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为
棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ）
B
八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.
解析：
O1
O7
O1
O7
M
N
设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：
由已知得：球心O为正三棱锥底面ΔABC的中心。如图，则有ΔPAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。
设底面正Δ边长为a，侧棱长为b，则
提示：
∴ΔAOD为等边三角形.
半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ， 点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。
求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．
解：①∵球面距离
②∵OA=OB=OC=1
③ 设球的内接正方体棱长为a，则
法二：易知AO垂直于平面BOC。
有人抄错题了，把 和 交换了一下，则，答案还一样吗？
易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为
解析：
则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）
A
题目：
提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直
正三棱锥对棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。故，SB⊥SA,SB⊥SC,进而，SA⊥SC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径
（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积 等于 。
真题赏析
A
B
C
E
∟
O΄
O
B
A
C
B1
A1
C1
O΄
B
O΄
O
R
r
1
（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．
真题赏析
由球面距离公式：
解析：
设正ΔABC的外接圆半径为r
解析：
O
P
A
B
C
D
K
H
P
H
D
O
K
∟
∟
设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。
代入正三棱锥内切球半径公式：
得：
又 正三棱锥外接球半径
D
已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
同理，PB⊥PC, PC⊥PA , 即PA、PB、PC两两互相垂直
在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱
则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）
C
S
A
B
C
M
N
题目：
解析：
C
巩固练习
从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）
A
O
H
三棱锥P—ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16 ，则该三棱锥的高的最大值为 8 .
底面ABC所在小圆半径为
O
H
P
C
B
A
祝同学们学习愉快！ 谢谢！！再见！！！
A1
B1
C1
M
设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。
正三棱柱的内切球
如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。
把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。
P
H
D
O
K
∟
∟
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
∽
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）
A
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.
解析：先想象一下图形，画出示意图
由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔPAO中，有：
B
§4 球与棱柱切接问题举例
正三棱柱的外接球
球心在上下底面中心连线的中点。
ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=R
O
A
B
C
作业：
已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满 足 ,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿．
如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
则AD两点间的球面距离 .
提示：
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系
O
P
A
B
C
D
K
H
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
0
P
A
B
C
H
P
A
B
C
O
因PA与球O相切于点A， ∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.
∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC ∴PA=PB=PC
又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC为全等的 等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。
解:在 中, , 可得 由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ， 球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此 球的表面积为.
A
C
O
A
B
O
B
O
C
A
B
C
则三棱柱的体积为 （ ）
在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截在球内的线段长为 ( )
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为
D
C
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°
由RtΔ中的射影定理得：
O
P
A
B
C
D
M
H
法二
由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
题目：
题目：
正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( )
求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．
解：①∵球面距离
②∵OA=OB=OC=1
③ 设球的内接正方体棱长为a，则
A
O
B
A
C
O
B
C
O
C
B
A
A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。
∴球心O到平面ABC的距离为
8
一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为
棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ）
B
八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.
解析：
O1
O7
O1
O7
M
N
设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：
由已知得：球心O为正三棱锥底面ΔABC的中心。如图，则有ΔPAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。
设底面正Δ边长为a，侧棱长为b，则
提示：
∴ΔAOD为等边三角形.
半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ， 点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。
求：① ∠AOB，∠BOC的大小；② 球心到截面ABC的距离； ③ 球的内接正方体的表面积与球面积之比．
解：①∵球面距离
②∵OA=OB=OC=1
③ 设球的内接正方体棱长为a，则
法二：易知AO垂直于平面BOC。
有人抄错题了，把 和 交换了一下，则，答案还一样吗？
易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为
解析：
则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）
A
题目：
提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直
正三棱锥对棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。故，SB⊥SA,SB⊥SC,进而，SA⊥SC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径
（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积 等于 。
真题赏析
A
B
C
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∟
O΄
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B1
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（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．
真题赏析
由球面距离公式：
解析：
设正ΔABC的外接圆半径为r
解析：
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A
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∟
∟
设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。
代入正三棱锥内切球半径公式：
得：
又 正三棱锥外接球半径
D
已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
同理，PB⊥PC, PC⊥PA , 即PA、PB、PC两两互相垂直