四奥第3讲——定义新运算教案

课题：四奥第四讲定义新运算

教学目标：

1、使学生认识什么是定义新运算；

2、使学生理解新运算的规则并能够按新运算的要求进行计算；

3、培养学生分析问题、解决问题的能力；

重难点：

重点：理解新运算的定义并能够按新运算的要求进行计算；

难点：对于题目没有直接告诉我们符号的运算规则时，可以通过观察条件，找到符号的运算规则；

教具与学具：

本周通知事项：

教学过程：

一、引入：

同学们，告诉你们一个好消息，Ali也来到了巨人课堂，但是他遇到了困难希望同学们能够帮帮他，老师相信乐于助人的你们一定很想快点帮Ali解决困难，好吧，那我们就一起来看看Ali遇到的是什么困难吧。

二、新课教授：

例1：设a,b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a－3×b。试计算5△6，6△5。

【老师】哦，原来是题目中出现了一个奇怪的三角形，Ali不知道是怎么回事，那聪明的你们知道怎么办吗？

【学生甲】“△”和我们所学的符号不一样

【老师】说的很对，我们以前是没有见过，那我们可不可以根据他所给的来寻找规律，解决下面的题目呢？

【学生乙】老师，我知道，根据已知的条件可以知道“△”表示的是△前面一个数乘以4减去后一个数乘以3的差。

【老师】好！同学们掌声鼓励下，这位同学观察得非常仔细，只要我们找到了这个规律，那我们解决下面的问题还难吗？！我们一起来看看。

请同学们上黑板做，然后再一起规范过程

解：因为a△b=4×a－3×b

5△6= 4×5-3×6 6△5= 4×6-3×5

=20-18 =24-15

=2 =9

同学们确实很聪明，Ali看到这个都不知道该怎么办，但是我们能够很快的解决，不得不承认大家都是聪明的，但是同学们，你们有没有发现，“△”前后的数字交换后，结果就不一

样了，所以呢，今天Ali的困难也就是我们今天要学习的新内容“定义新运算”，它不同于我们所学的＋、－、×、÷，赋予我们一种新的定义，在这一讲中，我们会学习利用一些特殊的符号，比如○、△、＃、※、◎……，并利用＋、－、×、÷定义一些新的运算规则。

接下来我们来看下Ali遇到的第二个问题是什么呢？

例2：对于两个数a,b,规定a⊙b表示3×a＋2×b。试计算

(1)3⊙2

(2)2⊙3

(3)（5⊙6）⊙7，5⊙（6⊙7）。

【老师】（1）“⊙”被定义成了一种什么样的新运算呢？

【学生】⊙表示3乘以前一个数加上2乘以后一个数的和

【老师】好，很正确，看来同学们的眼睛都很厉害，这样下去老师得下台了~~~ 第一问和第二问请两个同学上黑板做，其他同学在下面做。

【老师】(2) 3⊙2和2⊙3的结果一样吗？

【学生】不一样！

【老师】所以老师在这里再一次强调，计算时要严格按照运算规则进行运算，不能随便交换符号前后两个数。

【老师】（5⊙6）⊙7的运算顺序是什么？老师强调，在新运算里，有括号就先算括号（建议分步计算）

解：（1）3⊙2=3×3+2×2=13

（2）2⊙3=3×2+2×3=12

（3）在（5⊙6）⊙7中，应该先算括号里面的，所以建议大家分步算。

5⊙6=3×5+2×6=27， 27⊙7=3×27+2×7=95

在5⊙（6⊙7）中，

6⊙7=3×6+2×7=32， 5⊙32=3×5+2×32=79

练一练：定义新运算a⊕b=a×b+a+b,（1）求6⊕2,2⊕6；（答案：20，20）（2）求（1⊕2）⊕3,1⊕（2⊕3）；（答案：23，23）

【老师】Ali看到这些题目是越看越糊涂，完全不知道怎么办，这不，看到下面这个题目几乎傻眼，那我们也来看看是什么题目让Ali感觉那么困难。

例3：例3、规定运算“☆”为：

若a＞b，则a☆b＝a＋b；

若a＝b，则a☆b＝a－b＋1；

若a＜b，则a☆b＝a×b；

那么，2☆3＋4☆4＋7☆5 等于多少？

【老师】这个题就有些复杂了，同学们先看看题目，然后请同学告诉我，你发现了什么？【学生】老师，这个运算不统一

【老师】好，回答很正确，那又知不知道是怎么不统一的呢？

【学生】符号前后的数字需要比较大小，分情况讨论

老师学生：怎么讨论？当符号前面的数大于后面的数时，运算法则是两个数相加；当符号前面的数等于后面的数时，符号前面的数减去后面的数再加上1；当符号前面的数小于后面

的数时，运算法则是两数相乘。我们一起来看看。

解： 2☆3＋4☆4＋7☆5

=2×3+4－4+1+7+5

=6+1+12

=19

【老师】看来这些题目根本就难不倒聪明的你们，那老师出一个题目给你们练练。

练一练：设a、b都表示数，规定：

若a＞b，a*b=3×a＋2×b。

若a＜b，a*b=a÷3＋b

那么（5*6）*7等于多少？

看来大家都掌握了，下面这个题目，老师想让同学们自己来当小老师，老师来当学生，给大家讲讲这个题目。

例4 ，对于任意两个不相等的自然数a 和b，a⊙b 表示a、b 中较大的数除以较小的数的余数，如：13⊙5＝3，23⊙7＝2，求74⊙9，8⊙60，29⊙（36⊙8）。

解：74÷9=8……2，所以74⊙9=2

60÷8=7……4，所以8⊙60=4

29⊙（36⊙8）先算括号，36÷8=4……4，

36⊙8=4

所以29⊙（36⊙8）=29⊙4

29÷4=7 (1)

29⊙4=1

29⊙（36⊙8）=1

【老师】看来大家都很有当老师的天赋，以后我们会经常请同学们上来展示。

例5：规定：a○b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b 表示自然

数。求1○100 等于多少？

【老师】同学们观察一下，这个题中的○被定义成了一种什么样的新运算？可通过设数法帮助学生分析或者可以直接把1和100代进定义即可发现规律。

【学生】a○b表示计算从a开始b个连续自然数的和。

【老师】规律发现了，那解决这个题海难不难？

【异口同声】不难！

【老师】不难还不赶紧写。。。。。。

解：1○100=1+2+3+4+5……+100

=（1+100）×100÷2

=5050

练一练：如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。