【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练专题04数列的综合应用Word版含解析

第六章 专题四
1．(2014·福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )
A ．0 B.π
12 C.π
6
D.π4
解析：选A 设三角形的三内角分别为A ，B ，C ，对应的边分别为a ，b ，c .令A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π
3，b 2
＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推出a ＝c ＝b .故A ＝B ＝C ＝π
3，
公差为0.
2．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是递增数列；
p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
解析：选D 设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n
n ＝1
＋1
n 是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．选D.
3．(2014·温州模拟)已知三个不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则可能成等差数列的是( )
A ．a ，b ，c
B ．a 2，b 2，c 2
C ．a 3，b 3，c 3 D.a ，b ，c
解析：选B 特值法求解，取a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则a 2，b 2，c 2为1,1,1，是等差数列，故选B.
4．(2014·海口质检)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1且a 2，1
2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4
＝( )
A.1－5
2 B.5＋12 C.5－1
2
D.5＋12或5－12
解析：选B 据已知得a 3＝a 1＋a 2所以a 1q 2＝a 1＋a 1q ，所以q 2
＝1＋q ，解得q ＝1±5
2，由于等比数列各项为正数，故q ＝1＋52，因此a 4＋a 5a 3＋a 4
＝q ＝1＋52.故选B.
5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 26＋2a 10＝0，首项为1
8的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 6＝a 6，则S 6＝( )
A ．16 B.31
8 C.63
8
D.6316
解析：选C 由2a 2－a 26＋2a 10＝0，∴4a 6＝a 2
6.
∵a 6≠0，∴a 6＝4.∴b 6＝4.
又∵{b n }的首项b 1＝18，∴q 5
＝b 6b 1＝32.∴q ＝2.
∴S 6＝1
8－4×21－2
＝638.故选C.
6．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )
A ．211－47
B ．212－57
C ．213－68
D ．214－80
解析：选B 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝
4×2n －1
，b n ＝n ，则上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4(1－210
)1－2
－
10×(1＋10)2
＝212
－57. 故选B.
7．(2014·襄阳五中月考)已知等差数列{a n }中，a 7＝π
4，则 tan(a 6＋a 7＋a 8)等于________．
解析：－1 由等差中项性质得a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π
4，故
tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π
4＝－1.
8．(2014·广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数成等比数列，则这四个数的和为________．
解析：14或21 依题意，设这四个数依次为a －2、a 、a ＋2、(a ＋2)2a
(其中a ≥2，a ∈N *)．由a ≥2，a ∈N *
，且(a ＋2)2
a ＝a ＋4a ＋4∈N ，得
a 是4的不小于2的正约数，因此a ＝2或a ＝4.当a ＝2时，这四个数依次为0、2、4、8，此时这四个数的和等于14；当a ＝4时，这四个数依次为2、4、6、9，此时这四个数的和等于21.
9．(2014·衡水中学月考)定义运算：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b c d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
3 3a n a n ＋
1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
解析：10,4n －2 由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12，即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4.
∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10.
10．(2014·苏州中学调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.
解析：9 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n
＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1
a n
＝4.
∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列．
当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴当n ≥2时，a n ＝3×4n －2， S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48 ＝1＋3(1＋4＋…＋48) ＝1＋3×1－49
1－4＝1＋49－1＝49.
∴log 4S 10＝log 449＝9.
11．(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2
，a 1q (1＋q ＋q 2
)＝－18，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，q ＝－2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.
当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，解得n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．
12．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2
－x 2
＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－1
2x ＋1上，其中T n
是数列{b n }的前n 项和．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .
(1)解：由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.
(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－1
2x ＋1上， ∴T n ＝－1
2b n ＋1，①
∴T n －1＝－1
2b n －1＋1(n ≥2)，② ①－②得b n ＝－12b n ＋1
2b n －1(n ≥2)，
∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－1
2b 1＋1，
∴b 1＝23，∴数列{b n }是一个以23为首项，以1
3为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1＝2
3
n .
∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·2
3n ，
∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·2
3n ＋1－(n ＋1)·23n ＝2
3
n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝
2
3n ＋1
(－2n －1)<0，
∴c n ＋1<c n .
13．(2014·南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等．已知a 1,1＝1，a 2,3＝6，a 3,2＝8.
(1)求数列{a n,2}的通项公式；
(2)设b n ＝a 1，n a n ，2
＋(－1)n a 1，n ，n ＝1,2,3，…，求数列{b n }的前n 项
和S n .
解：(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d ，第一列依次组成的等比数列的公比是q (q >0)，
则a 2,3＝qa 1,3＝q (1＋2d )⇒q (1＋2d )＝6， a 3,2＝q 2a 1,2＝q 2(1＋d )⇒q 2(1＋d )＝8，
解得d ＝1，q ＝2，所以a 1,2＝2⇒a n,2＝2×2n －1＝2n . (2)由(1)知a 1，n ＝n ，所以b n ＝n
2n ＋(－1)n n ，
S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2
22＋323＋…＋n 2n ＋[－1＋2－3＋… ＋(－1)n n ]，
记T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 则12T n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1， ②
①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，
所以T n ＝2－n ＋2
2n ，
所以当n 为偶数时，S n ＝n
2＋2－n ＋22n ； 当n 为奇数时，S n ＝－n ＋12＋2－n ＋2
2n .
14．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.
(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；
(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
解：(1)由题知，当1≤n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，
故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.
当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2
＝16，公比为1＋25%＝5
4的等比数列，
则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7
，
故a n ＝⎩⎨⎧
2n ＋2，1≤n ≤7，
16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －
7
，n ≥8.
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，
当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)
2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×5
4×
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫54n －71－54
＝80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7
－10，
故该生产线前n 年每年的平均维护费用为
S n n ＝⎩
⎨⎧
n ＋3，1≤n ≤7
80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7－10n
，n ≥8
当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 为递增数列，
当n ≥8时，因为S n ＋1n ＋1－S n
n
＝
80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －6
－10
n ＋1
－
80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7
－10
n
＝
80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
n 4－1＋10n (n ＋1)
>0，
所以S n ＋1n ＋1
>S n n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．
又S7
7＝10<12，
S8
8＝
80×
5
4－10
8＝11.25<12.
S9 9＝80×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
4
2－10
9≈12.78>12，
故第9年年初需更新生产线．。