2019届高考数学一轮复习 题组层级快练8 含解析

题组层级快练(八)
1．若函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)
D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C
解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为5
2
，∴f (2)＝f (3)．
2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2
－x －1 B ．f (x )＝－x 2
＋x －1 C ．f (x )＝x 2
－x －1 D ．f (x )＝x 2
－x ＋1
答案 D
解析 设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，a x ＋
2
＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .
故⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－1，
c ＝1，
则f (x )＝x 2
－x ＋1.故选D.
3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )
A.c
a
B ．－c a
C ．±c a
D ．无法确定
答案 B
解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a
(∵a <0，c >0)．
4．(2015·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2
＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,2]
C ．[－1,2]
D ．[2,5)
答案 C
解析 二次函数f (x )＝－x 2
＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．
5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )
答案 C
6．(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤
，
2 x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．3
答案 D
解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.
f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.
∴f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋4x ＋2 x ，
2
x 又f (x )＝x ，
则当x ≤0时，x 2
＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．
7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2
)<f (1＋2x －x 2
)，则实数x 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－2,0)
D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2
<2,1＋2x －x 2
＝2－(x －1)2
≤2，所以由f (1－2x 2
)<f (1＋2x －x 2
)，得1－2x 2
>1＋2x －x 2
，解得－2<x <0.
8．已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )
A ．－1<b <0
B ．b >0
C ．b <－1或b >2
D ．不能确定
答案 C
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a
2.
∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．
只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2
－b －2>0，∴b >2或b <－1.
9．(2015·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2
＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4
解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.
10．设函数f (x )＝mx 2
－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－4,0]
11．设函数y ＝x 2
＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 6
12．已知函数f (x )＝x 2
－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．
答案 a ≥5
解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．
答案 0≤a ≤1
解析 由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ≤0，
－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.
14．若函数f (x )＝x 2
－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________．
答案 [1,2]
解析 ∵f (x )＝(x －1)2
＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.① ∵f (0)＝3，而3是最大值．
∴f (m )≤3⇒m 2
－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．
15．在函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．
答案 大 －3
解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2
＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 2
4a
＝－
3.
16．函数f (x )＝x 2
＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．
答案 a <15 a <3
解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2
＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2
＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3，故a 的取值范围为a <3.
17．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4
(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]
解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －2)2
－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．
∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.
(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.
(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2
＋2x ＋3，
∴f (|x |)＝x 2
＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，
且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋3，x ∈，6]，x 2
－2x ＋3，x ∈[－6，0].
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．
18．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；
(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝
2－1
2
(2)略 解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2
＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2
＋2x ＋1＝x . 即ax 2
＋x ＋1＝0.
由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2
＝4. ∴(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝4.
(2)由f (x )＝x ，得ax 2
＋bx ＋1＝x . 即ax 2
＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2
＋(b －1)x ＋1，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
g ，
g ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b －1<0，
16a ＋4b －3>0.
画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.
从而2a >b ，∴x 0＝－b
2a
>－1.
1．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0
答案 A
解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b
2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，
∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.
2．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( ) A ．y ＝x 2
B ．y ＝x 2
＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2
＋1
答案 B
解析 由题意可知f (x )≥1.
3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2
＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)
答案 B
解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2
＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2
＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.
4．对一切实数x ，若不等式x 4
＋(a －1)x 2
＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥－1
B ．a ≥0
C ．a ≤3
D ．a ≤1
答案 A
解析 令t ＝x 2
≥0，则原不等式转化为t 2
＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立． 令f (t )＝t 2
＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －1
2≤0即a ≥1时，恒成立． (2)当－
a －1
2
>0即a <1时，
由Δ＝(a －1)2
－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.
5．若二次函数y ＝8x 2
－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8(x －
m －1
16
)2
＋m －7－8·(
m －1
16)2
，
∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(
m －1
16
)2
＝0，∴m ＝9或25.
6．已知t 为常数，函数y ＝|x 2
－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1
解析 ∵y ＝|(x －1)2
－t －1|，∴对称轴为x ＝1.
若－t －1<0，即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.
7．(2015·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝
a ＋c
2
，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤
a ＋c
2
，则f (a )≤f (c )；④f (a )
＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)
答案 ①②③
解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以
f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min
＝f (
a ＋
b ＋c
3
)．当b ＝
a ＋c
2
时，
a ＋
b ＋c
3
＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －
c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋5(a >1)．
(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
解析 (1)∵f (x )＝(x －a )2
＋5－a 2
(a >1)，
∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f ＝1－2a ＋5＝a ，
f a ＝a 2－2a 2＋5＝1.
解得a ＝2.
(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2
.
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，
即(6－2a )－(5－a 2
)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.。