2019-2020学年江西省新余市分宜中学高一上学期第二次段考数学试题(解析版)

2019-2020学年江西省新余市分宜中学高一上学期第二次段
考数学试题
一、单选题
1．已知集合A ＝｛1，2，3，4｝，B ＝｛1，3，5｝，则A∩B ＝ A ．｛1，2，3，4，5｝ B ．｛1，3，5｝ C ．｛1，4｝
D ．｛1，3｝
【答案】D
【解析】由集合A 和B ，再根据集合交集的基本关系，即可求出A ∩B 的结果. 【详解】
因为集合1234135A B ＝｛，，，｝，＝｛，，｝，所以13A B ⋂＝｛，｝，故选D . 【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{}|1B x x =>，则A
B =（ ）
A ．(1
2]， B ．(]1,3 C ．(]1,23[),⋃+∞
D ．R
【答案】B
【解析】先由260x x --≤得出{|23}A x x =-≤≤，再确定A B 即可．
【详解】
对于集合A ，由260x x --≤得()()230x x +-≤，解得[23]x ∈-，
， 即{|23}A x x =-≤≤，而{|1}B x x =>，所以{|13}A B x x ⋂=<≤， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题． 3．已知集合A ＝{a ，b ，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{0,1} D ．{0,1,2}
【答案】B
【解析】由题意可得关于集合A 中的元素的方程组，从而解得,,a b c 的值，再写出集合
{}0,1,2A =，最后根据集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是：1,2，即可得
出答案. 【详解】
由题意知：123a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得102a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以集合{}0,1,2A =，
则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是：1,2， 故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{}1,2， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关集合的求解问题，涉及到的知识点问根据题的条件，先求出对应集合中的元素，之后找出任意两个不同元素的差的绝对值，最后确定出集合的元素，求得结果，属于中档题目.
4．设{}02A x x =≤≤，{}
12B y y =≤≤,下列图形能表示从集合A 到集合B 的函数图像的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】从集合A 到集合B 的函数，即定义域是A ，值域为B ，逐项判断即可得出结果. 【详解】
因为从集合A 到集合B 的函数，定义域是A ，值域为B ；所以排除A,C 选项，又B 中出现一对多的情况，因此B 不是函数，排除B. 故选D 【点睛】
本题主要考查函数的图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型. 5．已知函数2()2f x x x =-在区间[1,]t -上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,3] B ．[1,3] C ．[0,3] D ．(1,3]-
【答案】D
【解析】画出二次函数的图像,根据图像即可判断t 的取值范围. 【详解】
函数2
()2f x x x =-的图像如下图所示:
因为()()13,33f f -==
所以当在区间[1,]t -上的最大值为3时 t 的取值范围为13t -<≤,即(]1,3t ∈-
故选:D 【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质的简单应用,由二次函数的最值求参数的取值范围,属于基础题.
6．已知函数53()3f x ax bx cx =-+-，(3)7f -=，则(3)f 的值（ ） A ．-1 B ．7 C ．-13 D ．13
【答案】C
【解析】根据函数解析式及(3)7f -=,代入即可求得整式的值,再由(3)f 的代数式,代入即可求解. 【详解】
函数53
()3f x ax bx cx =-+-,且(3)7f -=代入可得
()()()53
(3)33337f a b c -=---+--=
化简可得5333310a b c -+-=
则53
(3)3333f a b c =-+-
()533333a b c =--+--
10313=--=-
故选:C 【点睛】
本题考查了函数的化简求值,函数的整体性的应用,属于基础题. 7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1
,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩
，设函数
2()(2)(1)f x x x =-⊗-
x ∈R ，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
（ ）
A ．(][)1,12,-⋃+∞
B ．(](]2,11,2--
C ．(](,2)1,2-∞-⋃
D ．[]
2,1-- 【答案】B
【解析】根据新定义的运算法则，列出函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-1），的解析式，函数y=f （x ）-c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f （x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围 【详解】
由,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，得 ()()()2
21f x x x =-⊗-=2212112
x x x x x ⎧--≤≤⎨
--⎩，，＜或＞
已知函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，故y=f （x ），y=c 图象的有两个交点， 如图：
∴c 的取值范围是 （-2，-1]∪（1，2]，故选B 【点睛】
本题综合考查了分段函数，二次函数的图象特征、及函数与方程的综合运用；考查了已知函数零点，求参数,常见方法有：直接法，分离参数法，数形结合法.
8．设函数21
()x f x x
-=，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）
A ．1,12(,0)
-∞⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,(1,)3⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎝⎭
C ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．1(,0)0,(1,)3⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】画出函数图像,根据图像可知函数在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数.根据定义域及函数的单调性,讨论x 的不同取值情况,即可解不等式得解集. 【详解】
因为函数21
()x f x x
-=,则函数图像如下图所示:
由函数图像可知, 21
()x f x x -=.定义域为(,0)(0,)-∞+∞.且函数在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数
当0x <时,若()(21)f x f x >-.根据定义域及函数单调性可得021021x x x x <⎧⎪
-<⎨⎪>-⎩
,
解得0121
x x x <⎧⎪⎪
<⎨⎪<⎪⎩,则0x <
当0x >时, 若()(21)f x f x >-.根据定义域及函数单调性可得0
21021x x x x >⎧⎪
->⎨⎪>-⎩
解得0121
x x x >⎧⎪⎪
>⎨⎪<⎪⎩,则112x <<
综上可知, 使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为1,12(,0)x ∈-∞⎛⎫
⎪⎝⎭
故选:A 【点睛】
本题考查了函数图像的画法,根据函数单调性解不等式的方法,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.
9．函数()()(
)10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的值域是{}0,1 C ．方程()()()f
f x f x =的解只有1x = D ．方程()()f
f x x =的解只有1x =
【答案】C
【解析】根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论． 【详解】
对于A ，当x 为有理数时，有()()1f x f x -==；当x 为无理数时，有
()()0f x f x -==，所以函数为偶函数，所以A 正确．
对于B ，由题意得函数的值域为{}0,1，所以B 正确．
对于C ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1=f (x )恒成立；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1≠f (x )，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=f (x )的解为任意有理数，所以C 不正确．
对于D ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1，此时x =1；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=x 的解为x =1，所以D 正确． 故选C ． 【点睛】
解得本题的关键是正确理解函数()f x 的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查理解和运用的能力，属于基础题．
10．定义在R 上的函数()f x 满足:对任意12,x x R ∈有
()()()12121f x x f x f x +=+-，则
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 是奇函数
C ．()1f x -是偶函数
D ．()1f x -是奇函数
【答案】D
【解析】设()()1F x f x =-，由()()()12121f x x f x f x +=+-，
()()()1212F x x F x F x +=+，由特值法求得()00F =，令12,x x x x ==-，可得结果.
【详解】
设()()1F x f x =-，
由()()()12121f x x f x f x +=+-， 可得()()()1212111f x x f x f x +-=-+- 则()()()1212F x x F x F x +=+， 令120x x ==，得()00F =， 令12,x x x x ==-，
()()()00F F x F x =+-=， ()()1F x f x ∴=-是奇函数，故选D.
【点睛】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()()0f x f x +-= (奇函数)或()()0f x f x --= (偶函数)是否成立．
11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，对任意的x ∈[t ，t +2]不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，那么实数t 的取值范围是（ ） A ．[
，+∞）
B ．[2，+∞）
C ．（0，
]
D ．[0，
]
【答案】A
【解析】首先求得函数的解析式，然后结合函数的单调性确定实数t 的取值范围即可. 【详解】
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2 ， ∴当x ＜0，有-x ＞0，f （-x ）=（-x ）2， ∴-f （x ）=x 2，即f （x ）=-x 2， ∴
，
∴f （x ）在R 上是单调递增函数，且满足2f （x ）=f （x ），
∵不等式f （x +t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t +2]恒成立，
∴x +t ≥
x 在[t ，t +2]恒成立，
解得x ≤（1+）t 在[t ，t +2]恒成立， ∴t +2≤（1+）t ，
解得：t ≥
，则实数t 的取值范围是：[
，+∞）.
本题选择A 选项. 【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
12．已知函数，若方程
有4个不同实根，则的取
值范围是 A ．
B ．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意分类讨论和两种情况求解实数a的取值范围即可.
【详解】
由题意可知一元二次方程，
即在上有两个不相等的实数根，
据此有：，据此可得：，
一元二次方程，
即在上有两个不相等的实数根，
据此有：，据此可得：，
综上可得，的取值范围是.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的分布，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________.
【答案】Q
【解析】由元素和集合的关系可设a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z，从而可得到a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1，而k1+k2﹣k3﹣1∈Z，这样即可写出a+b﹣c所在集合．
【详解】
根据已知可设：a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z；
∴a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3）+2=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1；
k1+k2﹣k3﹣1∈Z；
可设k1+k2﹣k3﹣1=k，k∈Z；
∴a+b﹣c=3k﹣1，k∈Z；
∴a+b ﹣c 所在集合为{x|x=3k ﹣1，k ∈Z}=Q ． 故答案为Q. 【点睛】
考查描述法表示集合，元素和集合关系，以及整数的和或差仍是一个整数． 14．已知2()1
x a
f x x +=
-，若()f x 在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_________；
【答案】2a <-
【解析】将函数解析式变形,分离常数后结合反比例函数解析式特征即可求解. 【详解】 因为2()1
x a
f x x +=
-,将解析式变形后可得 ()21222()2111
x a x a a
f x x x x -++++===+
--- 将2()a
g x x
+=
的图像向右平移1个单位,向上平移2个单位,即可得()f x 的图像 因为()f x 在(1,)+∞上单调递增,结合2()a
g x x
+=的单调情况可知 只需20a +< 即2a <- 故答案为: 2a <- 【点睛】
本题考查了分离常数法在函数解析式变形中的应用,函数图像平移变换,根据函数单调性求参数的取值范围,属于基础题.
15．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时f(x)=2x -2x ，则f(x)在R 上的解析式为____
【答案】()222,00,0
2,0x x x f x x x x x ⎧--<⎪
==⎨⎪->⎩
【解析】由奇函数的性质可得()f 00=，设x 0<，有x 0->，由函数的解析式可得
()f x -的解析式，结合函数的奇偶性可得()()2f x f x x 2x =--=--，综合即可得结
果． 【详解】
根据题意，函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =，
设0x <，有0x ->，则()()22
()22f x x x x x -=---=+， 又由函数()f x 为奇函数，则()()2
2f x f x x x =--=--， 则()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪->⎩
；
故答案为()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪->⎩
．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．
16．函数|3|y x x =-的单调增区间为__________. 【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
和[3,)+∞ 【解析】画出函数的图像,根据函数图像即可得函数的单调递增区间.
【详解】
函数|3|y x x =-的图像如下图所示
:
由函数的图像可知, |3|y x x =-的单调增区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
和[3,)+∞ 故答案为: 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
和[3,)+∞ 【点睛】
本题考查了函数图像的画法,根据函数图像判断函数的单调区间,属于基础题.
三、解答题
17．化简求值：
（1）013
263290.125(2)8-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭；
（2）0.5101354164π-⎛⎫⎛⎫+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】（1）81（2）134
【解析】（1）根据指数幂与根式的运算,化简即可得解.
（2）由分数指数幂及根式的运算,化简即可求解.
【详解】
（1）根据指数幂与根式的运算,化简可得
013
263290.125(2)8-
⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()61
0113323322
922238--⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-++⨯ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 66113222183⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2188981=-++⨯=
（2）由分数指数幂及根式的运算,化简可得
0.51
01354164π-⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0.541
3633103424⎡⎤⎛⎫=+--⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 9
1034
=+- 913106344=+--= 【点睛】
本题考查了分数指数幂的化简运算与求值,对各公式的应用要求熟练与准确,属于基础题.
18．设全集U =R ，集合302x A x
x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x =≥，{}23C x a x a =≤≤+. （1）求U C A 和A B ；
（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) {}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< (2) >3a 或10a -<< 【解析】（1）先解出A ，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据题意可得C ⊆A 可讨论C 是否为空集，从而可求出实数a 的取值范围．
【详解】
（1）{}23A x x =-<<，{}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< （2）由A C A ⋃=知C A ⊆
当23a a >+时，即>3a 时，=C ∅，满足条件；
当23a a ≤+时，即3a ≤时，22a >-且33a +<，10a ∴-<<
综上，>3a 或10a -<<
【点睛】
本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.
19．已知集合A ＝{x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值集合． 【答案】3{|3}2m m -<<
【解析】由A ⊆B 讨论A 是否是空集，从而求实数m 的取值集合．
【详解】
∵A ⊆B ，
∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，
故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m<
32 . 当A≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负， 则121231020400260m m x x m x x m ⎧≥≤-⎪∆≥⎧⎪⎪+<⇒<⎨⎨⎪⎪>+>⎩⎪⎩或 ，则31203m m m m ⎧≥≤-⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩
或⇒⇒－3<m≤－1. 综上，实数m 的取值集合是3{|3}2
m m -<<．
【点睛】
本题考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
20．已知幂函数()()2243(1)m m f x m x m R -+=-∈在()0,+∞上单调递增．
()1求m 值及()f x 解析式；
()
2若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．
【答案】（1）()3f x x =；（2）2a =±
【解析】()1直接利用幂函数的定义建立方程组，求函数幂函数的关系式． ()2利用()1的函数的关系式，进一步利用二次函数的对称轴和区间的关系，利用分类讨论思想的应用求出a 的值．
【详解】
()1幂函数()()2
243(1)m m f x m x m R -+=-∈在()0,∞+上单调递增 故：1)22(1430
m m m -⎧=⎨-+>⎩ 解得：0m =
故：()3
f x x = ()2由于()3f x x =
所以：函数()21g x ax a =+-
221x ax a =-++-
函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为x a =
由于在[]0,2上的最大值为3，
①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，
故：()()2333max g x g a ==-=，
解得2a =．
②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，
故：()()013max g x g a ==-=，
解得：2a =-．
③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，
故：
()2()13max g x g a a a ==+-=，
解得：1a =-(舍去)，或2a =（舍去)，
综上所述：2a =±．
【点睛】
本题考查了幂函数的定义的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
21．已知函数2()421,f x x x a =-++3(2)x mx m g =+-
（1）若函数()y f x =在区间(0,)a 上存在最小值，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，若对任意14[]0,x ∈，总存在24[]0,x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2a >.（2）2m ≥或2m ≤-.
【解析】（1）根据二次函数解析式,可得对称轴方程.结合函数图像即可求得a 的取值范围.
（2）将1a =代入()f x 可得解析式,并求得当[0,4]x ∈时()f x 的值域.讨论当0m =,0m >与0m <时()g x 的值域.根据题意可知()f x 的值域.为()g x 值域的子集,即可根据集合关系求得m 的取值范围.
【详解】
（1）函数2()421,f x x x a =-++ 对称轴为422
x -=-= 因为函数()y f x =在区间(0,)a 上存在最小值,
需满足对称轴位于(0,)a 间
所以实数a 的取值范围为2a >
（2）当1a =时,22()43(2)1f x x x x =-+=--.
∴当[0,4]x ∈时,()[1,3]f x ∈-,记[1,3]A =-
由题意知
当0m =时()3g x =显然不适合题意.
当0m >时,3(2)x mx m g =+-在[0,4]上是增函数
()[32,23]g x m m ∴∈-+,记[32,23]B m m =-+,由题意,知A B ⊆
321m ∴-≤-且233m +≥解得2m ≥
当0m <时,3(2)x mx m g =+-在[0,4]上是减函数
()[23,32]g x m m ∴∈+-
记23,32[]C m m =+-
由题意,知A C ⊆
231m ∴+≤-且323m -≥解得2m ≤-.
综上所述：2m ≥或2m ≤-.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质的综合应用,存在性成立与恒成立问题的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.
22．函数()f x 的定义域为D ，满足对任意的,x y D ∈，都有()()()f x f y f xy +=. （1）若D R =，试判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；
（2）若(0,)D =+∞，且()f x 在定义域D 上是单调函数，满足(16)2f =，解不等式(2)(1)1f x f x ---<.
【答案】（1）偶函数,证明见解析 （2）6,25⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（1）利用赋值法先求得(1)f 与(1)f -,再令1y =-代入式子即可证明. （2）先根据所给式子及(16)2f =求得(4)1f =.将不等式变为(2)(1)(4)f x f x f -<-+.根据定义域及所给式子的特征,解不等式即可得解.
【详解】
（1）令1x y ==,则(1)(1)(1)f f f +=,故(1)0f =
令1x y ==-,则(1)(1)(1)f f f -+-=,故(1)0f -=
令1y =-,则()(1)()f x f f x +-=-即()()f x f x -=,
所以()f x 为偶函数
（2）令4x y ==,则(4)(4)(16)f f f +=
故(4)1f =
由(4)1f =,又(16)2f =,且()f x 在定义域D 上是单调函数
所以()f x 在定义域D 上是单调增函数(2)(1)1f x f x ---<
带入可得(2)(1)(4)f x f x f -<-+
根据条件变形为(2)[4(1)]f x f x -<-
可得2010
24(1)x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩
解得625
x << 即不等式的解集为6,25⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了抽象函数奇偶性的证明,利用赋值法求函数值,根据函数的定义域及单调性解不等式,综合性强,属于中档题.。