【全国百强校】河北省石家庄市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

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2018—2019 学年度第一学期期中考试高一年级期中试题
命题人：胡娜
审核人：左广兰 胡雪莎
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1．设集合 M = {x | ( x + 3)( x - 2) < 0, x ∈ R }, N = {x | 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R } ，则 M N =
A ．[1, 2)
B ．[1, 2]
C ． (2, 3]
D ．[2, 3]
2．已知元素 ( x ，y ) 在映射 f 下的原象是 ( x + 2 y ，2 x - y ) ，则元素 (4，3) 在 f 下的象是
A ． (10,5)
B ． (2,1)
C ． (2，- 1)
D ． (
11 2
5 5
3．函数 y = a
x + 2
( a > 0, 且a ≠ 1) 的图象经过定点
A ． (0,1)
B ． (2,1)
C ． (-2,1)
D ． (-2, 0)
4．若 f (10x )
= x ，则 f (3) =
3
10
A ． log 3 10
B ． lg 3
C ．10
D ． 3
5．设 a = log 3 2, b = log 5 2, c = log 2 3 ，则
A ． a > c > b
B ． b > c > a
C ． c > b > a
D ． c > a > b
6．函数 y = a x - 1 (a > 0, a ≠ 1) 的图象可能是
a
( ) 2 2 2 2 ⎨ ⎨ x
⎧⎪2x -1 - 1, x ≥ 1,
7．已知函数 f ( x ) = ⎨
⎪⎩- log 2 若 f (a ) = 1 ，则 f (1- a ) = (3 - x )
, x < 1, A ． 2 B ． - 2 C ．1 D ． - 1
8．已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (-∞,0) 上单调递增，若实数 a 满足
f (2|a -1| ) > f (- 2 ) ，则 a 的取值范围是
A ． (-∞, 1
B ． (-∞, 1 U ( 3 , +∞)
C ． ( 1 , 3
D ． ( 3
,+∞)
2
2 2
2 2
2
⎛ 1 ⎫ 9．已知函数 f x = ⎪ ⎝ 2 ⎭
- 1 - log 2 x ，若 x 0 是方程 f ( x ) = 0 的根，则 x 0 ∈
⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ A ． 0, ⎪
⎝ ⎭
B ． ,1⎪
⎝ ⎭ C ． 1, ⎪
⎝ ⎭
4 x - b
D ． , 2 ⎪
⎝ ⎭
10．函数 f ( x ) = lg(10 x
+ 1) + ax 是偶函数， g ( x ) = 是奇函数，则 a + b = 2 x
A ．1
B ． - 1
C ． - 1
D ． 1 2 2
11．偶函数 f ( x ) = log a x - b 在 (-∞, 0) 上单调递增，则 f (a + 1) 与 f (b + 2) 的大小关系
是
A ． f (a + 1) ≥
C ． f (a + 1) ≤
f (b + 2)
f (b + 2)
B ． f (a + 1) <
D ． f (a + 1) >
f (b + 2)
f (b + 2)
12．集合 A 如果满足：① A 为非空数集;②
0 ∉ A ；③若对任意 x ∈ A 有 1 ∈ A ，则称 x
A 是“互倒集”．给出以下数集： ①{
x ∈ R | x 2
+ ax + 1 = 0, a ∈ R }
;
② {
x
3 - 1 < x <
3 + 1
}
⎧ ⎧
2 x + 2 , x ∈ [0,1)⎫
⎪ y | y = ⎪ ③ ⎪ ⎪ x + 5 1 , x ∈ [1, 2] ⎪ ⎬ ．其中一定是“互倒集”的个数是 ⎪
⎩⎪ ⎪⎩ x ⎪⎭
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第II 卷（非选择题，共90 分）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,答案填在答题纸相应的位置．
13．已知幂函数y =f (x) 的图象过点，则它的解析式为．
2
14．计算 3 +log2 (log2 16) + (5-log 1
5 3 )2= ．
15. 若函数f (x) =log2 (1-ax) 在(-∞,1) 上单调递减，则实数a 的取值范围是．
⎧⎪-2-x +1, x ≤ 0
16．已知函数f (x )=⎨ ，若方程f (x)= log (x+ 2)(0 <a <1) 有且仅
⎪⎩f (x -1),x > 0 a
有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10 分）
已知A ={x | a ≤x ≤ 2a + 3} ，B ={x | x >1, 或x <-6}
（Ⅰ）若A B =
{x1<x ≤3}，求a 的值；
（Ⅱ）若A U B =B ，求a 的取值范围．
18．（本题满分12 分）
1+x 已知函数f (x) =log
a (a > 0 , a ≠1) ．
1-x
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若a =(lg 2)2 +lg 2⋅lg50 +lg 25 ，求使的f (x) > 0 的x 的取值范围．19．（本题满分12 分）
已知定义域为R 的函数f (x)= -2x +b
x 1
是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；
2 ++a
（Ⅱ）证明：函数在R 上是减函数．
20．（本题满分12 分）
如图，已知底角为45︒的等腰梯形ABCD ，底边BC
长为12，腰长为，当一条垂直于底边BC （垂足为
F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）
时，直线l 把梯形分成两部分．
（Ⅰ）令BF =x (0 ≤x ≤12)，试写出直线右边部分的面积y 与x 的函数解析式；
⎧⎪f (x ),0<x < 4,（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令y =f (x)．构造函数g (x )=⎨
⎪⎩(6 -x) f ( x), 4 <x < 8.
①判断函数g (x)在(4, 8)上的单调性；
②判断函数g (x)在定义域内是否具有单调性，并说明理由．
21．（本题满分12 分）
已知函数f (x) =a x-a +1(a >0且a ≠1) ，恒过定点(2,2) ．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将函数f (x) 的图象向下平移1 个单位，再向左平移a 个单位后得到函数g(x) ，设函数g(x) 的反函数为h(x) ，直接写出h(x) 的解析式；
（Ⅲ）对于定义在(0, 4) 上的函数y =h(x) ，若在其定义域内，不等式[h(x) + 2]2 >h(x)m -1恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（本题满分12 分）
已知二次函数f ( x )=x 2 +bx +c 的图像经过点(1,13 )，且满足f ( -2) =
（Ⅰ）求f ( x )的解析式；
f (1) ，
（Ⅱ）已知t < 2, g (x)= [ f (x) -x2 - 13]⋅ | x |，求函数g ( x )在[t,2]的最大值和最小值；
（Ⅲ）函数y = f ( x )的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是
一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
石家庄市第一中学
2018—2019学年度第一学期期中考试高一年级期中试题
命题人： 胡娜 审核人：左广兰，胡雪莎
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：
ABCBD DBCBD DB
二、选择题：
13.2
1x y = 14.14 15.(]0,1 16.11,32
⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
三、解答题：
17. 0332)1(=⇒=+a a 令，经检验符合题意. …………5分
分
或分或分
当10.139;163232132,7;332,)2(⋅⋅⋅⋅⋅⋅>-<∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⇒⎩⎨⎧-<++≤⎩⎨⎧>+≤≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<⇒+>=a a a a a a a a a A a a a A φφ
18.（1）由
101x
x
+>-解得11x -<<，所以函数的定义域为{}|11x x -<<.……4分 （2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25a =+⋅+222(lg 2)lg 2lg(25)lg 5=+⨯+
22(lg 2)2lg 2lg 52lg 52=++=，……8分
()0f x >，即2
21log 0log 11x
x
+>=-， 111x
x
+>-，解这个不等式得0 1.x <<……12分
19.（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即
-102b
a
+=+，解得1b =，……2分 从而有()1212x
x f x a
+-+=+，又()()11f f =--知11
21
2
41a a -+-+=-++，解得2a =．……4分 当2a =，1=b 时，12221)(++-=x x
x f 1
2121++-=x ，
∴12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x
x 1
2121
+-=x )(x f -=， ∴()f x 是奇函数．从而2a =，1b =符合题意．……6分
（2）证明：由（1）知)(x f 1
21
21++-
=x ，设21x x <， 则-)(1x f 1211)(2x x f +=2211x +-)
12)(12(222
11
2++-=x x x x ，……9分 ∵21x x <，∴02212>-x
x
，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ． ∴函数()f x 在R 上为减函数．……12分
20.（1）过点,A D 分别作,AG BC DH BC ⊥⊥，垂足分别是,G H .因为等腰梯形
ABCD 的底角为45︒
，腰长为4BG AG DH HC ====,又12BC =，
所以4AD GH ==.
1︒ 当点F 在BG 上时，即04x ≤≤时， 21
322
BEF ABCD y S S x ∆=-=-梯形； (1)
分
2︒ 当点F 在GH 上时，即48x <≤时， ()848404y x x =+-=-； ……2分
3︒ 当点F 在HC 上时，即812x <≤时， ()2
1122
y x =
-.……3分 所以，函数解析式为()22
132,04,2404,48,112,812.2
x x y x x x x ⎧-≤≤⎪⎪
=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎩ ……5分
（2）()()()2132,04, 2
6404,48.x x g x x x x ⎧
-<<⎪
=⎨⎪--<<⎩
……6分 ① 由二次函数的性质可知，函数()g x 在()4,8上是减函数. ……8分 ② 虽然()g x 在()0,4和()4,8单调递减，……10分
但是()()3.924.395, 4.144.84g g ==，∴()()3.9 4.1g g <.……11分 因此函数()g x 在定义域内不具有单调性.……12分
21.解：（1）由已知2122a a a -+=∴=． …………2分
（2）
2()21()2x x f x g x -=+∴=
2()log (0)h x x x ∴=> ……4分
（3）
222(log 2)log 1x m x +>-在(0,4)恒成立
∴设2log (04)t x x =<< 且2t <
2(2)1t tm ∴+>- 即：2(4)+50t m t +->，在2t <时恒成立. …6分
令2()(4)+5g t t m t =+-
24
22
(4)200m m -⎧≤⎪
∴⎨⎪∆=--<⎩
解得：48m -<≤ ……8分 或4
22(2)1720
m g m -⎧>⎪
∴⎨⎪=-≥⎩解得：1782m <≤ ……10分
综上：实数m
的取值范围为17
42
m -<≤
……12分
高一年级数学学科试卷 第
3页 （共4页)
22.解：（1）因为二次函数
所以二次函数c bx x x f ++=2)(的对称轴方程为
21-=x ，即212-=-b
所以1=b ......................1分 又因为二次函数c bx x x f ++=2)(的图像经过点)13,1(
所以131=++c b ，解得11=c ......................2分
高一年级数学学科试卷 第3页 （共
4页) 因此，函数)(x f 的解析式为11)(2++=x x x f ......................3分
（2）由（1）知，
⎪⎩⎪⎨⎧>--≤+--=⋅-=0,1)1(0,1)1(||)2()(22x x x x x x x g ......................4分 所以，当]2,[t x ∈时，0)(max =x g ......................5分
当21<≤t ，t t t g x g 2)()(2min -== 当121<≤-t ，1)(min -=x g 当21-<t ，t t t g x g 2)()(2min +-==......................8分
（3）如果函数)(x f y =的图像上存在点),(2n m P 符合要求其中N n N m ∈∈,*
则2211n m m =++，从而43)12(422=+-m n
即43)]12(2)][12(2[=+-++m n m n ......................10注意到43是质数，且)12(2)12(2+->++m n m n ，0)12(2>++m n
所以有⎩⎨⎧=+-=++1)12(243)12(2m n m n ，解得⎩⎨⎧==1110n m (11)
因此，函数)(x f y =的图像上存在符合要求的点，它的坐标为)121,10(........12分。