§3MMs排队模型

word
§3 M/M/s排队模型
一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1;
系统容量: 无限;
排队长度(客源): 无限;
服务规如此: FCFS.
1. 队长的分布
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设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 如此由 (1) 12011
......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率) (2) 011(1)n
n p C ∞
==+∑ (无客的概率) (3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)
word
与n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记
λρμ
=
(服务强度, 一般1ρ<) 可得
word
n n n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭
, 1,2,...n = 故有 0n n p p ρ=, 1,2,...n =
其中 011(1)n
n p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞
==+∑
word
1
10111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
∑. 因此 (1)n n p ρρ=-,0,1,2,...n =.
无客的概率: 01p ρ=-,
至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率
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如单位时间,2λ=, 5μ=,如此
,即40%
在忙.
2. 几个主要指标
(1) 系统中平均顾客数=平均队长
word
word
(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长
.
可以证明(见第二版P328的注释)
在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的
word
负指数分布, 即
密度分布函数:()()(),0.t f t e t μλμλ--=-≥ 分布函数:()()()1,0.t F t P T t e t μλ--=≤=-≥ 于是得
(3) 在系统中顾客平均逗留时间
1[]W E T μλ
==-;
word
(4) 在队列中顾客平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即
q T T V =+ 故1
()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得
1
q W W W ρ
ρμμλ=-==-
word
另外还可得到(时间与空间关系):
L W λ=和q q L W λ=
这两个常称为Little 公式.
各公式可记忆如下:
由λ和μ 服务效率λρμ
=,
word
从逗留时间1W μλ
=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=
还可导出关系
1
q W W μ=+和1q L L λμ=+
word
3. 服务机构的忙期B和闲期I分析
(1) 因为
忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ
-
→忙期时间长度/闲期时间长度=
1ρρ-
(2) 因为
忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期
word
时间长度=
1ρ
ρ
-
→
1
B
I
ρ
ρ
=
-
.
(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布
→平均闲期=下一客到达间隔1
λ
→
1
I
λ
=
→平均忙期=
11
1
B W
ρ
ρλμλ
=⋅==
--
word
即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.
例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求
word
(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;
(2) 每一列车的平均停留时间;
(3) 等待编组的列车的平均数.
如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.
解 这里 2λ=,3μ=,213
λρμ==<
word
(1) 列车的平均数
21L ρ
ρ
==-(小时) (2) 列车的平均逗留时间 212
L W λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数
word
24233
q L L ρ=-=-
=(列) (4) 等待编组时间 23
q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,如此
0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---
word
3
320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).
例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从
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负指数分布, 平均需要6 min. 试求:
(1) 修理店空闲的概率;
(2) 店内恰有3个顾客的概率;
(3) 店内至少有1个顾客的概率;
(4) 在店内的平均顾客数;
(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;
(6) 等待服务的平均顾客数;
(7) 每位顾客平均等待服务时间;
word
(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215
λρμ==< (1) 修理店空闲的概率
0112/50.6p ρ=-=-=
(2) 店内恰有3个顾客的概率
word
3
3
332(1)10.03855p ρρ⎛⎫
⎛⎫
=-=-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
(3) 店内至少有1个顾客的概率
0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===
(4) 在店内的平均顾客数
2/5
0.67112/5
L ρ
ρ
=
=
=--(人)
word
(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间
0.67
10(min)4
L
W λ
=
=
≈ (6) 等待服务的平均顾客数
0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)
(7) 每位顾客平均等待服务时间
0.268
4(min)4
q
q L W λ
=
=
≈
word
(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.
11101615{10}0.3679P T e
e ⎛⎫-- ⎪
-⎝⎭
>===.
二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;
单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ==
==
word
系统容量: 无限;
排队长度(客源): 无限; 服务规如此: FCFS.
数据分析
设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长
N 的概率分布, 如此
服务台
队列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
μ1
μ2s
μs 个
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,0,1,2,...n n λλ==
和系统的服务率
,1,2,3,...,,,1,...n n n s
s n s s μμμ=⎧=⎨
=+⎩
记s s
s ρ
λ
ρμ
==
, 如此当1s ρ<时, 不至越排越长,
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称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得
(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!n
n s n s n
n s n s n C n s
s s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
故
word
00
,1,2,3,...,!
,!n
n n
n s
p n s n p p n s
s s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中
1
100
!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.
当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为
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0(,)!(1)
s
n n s
s c s p p s ρρρ∞
===
-∑
称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长
01
1
()()!s
n s
q n s
n s n s p L n s p n s s ρρ
∞
∞
-=+=+=-=
-∑∑
002
1d !d !(1)s s n s s s n s s
p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑
word
或(,)1s
q s
c s L ρρρ=
-.
(2) 正在承受服务的顾客的平均数
1
s n n n n s
s np s p -∞
===+∑∑
1
000!
!(1)n s
s n s n p s p n s ρρρ-==+-∑
word
11
101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦
∑
s 与s 无关. 奇!
(3) 平均队长L =平均排队长+平均承受服务的顾客数q L ρ=+.
对多台服务系统, 仍有Little 公式:
word L W λ=, 1
q q L W W λμ
==-
例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急
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诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.
解 这是一个M/M/s/∞模型, 有
2λ=,3μ=,2
3
λρμ=
=, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下
指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 0
05
word 有1个病人的概率p1
有2个病人的概率p2
平均病人数L
平均等待病人数L q
2
病人平均逗留时间W
病人平均等待时间W q
1
病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1
p0) 0.167(=1p0
p1)
等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5}
等待时间超过1小时的概率P{T q>1}
如果是一个医生值班, 如此病人等待时间明显长.
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结论是两个医生较适宜.
例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过
λ=人/min. 服务(售票)程,平均到达率每分钟0.9
μ=人/min. 时间服从负指数分布, 平均服务率0.4
现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中
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2.2533,
2.25,134
s s s λλρμμ=====< 由公式可得:
(1) 整个售票处空闲概率1
100!!(1)n s s n s P n s ρρρ--=⎡⎤
=+⎢⎥-⎣
⎦∑ 00
1
231
0.07482.25 2.25 2.25 2.251
0!1!2!3!1 2.25/3
p =
=+++-
word
(2) 平均排队长02
!(1)s s
q s p L s ρρρ=-
32
0.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)
平均队长:
/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)
(3) 平均等待时间
word 1.70 1.890.9
q q L W λ===(min)
平均逗留时间
1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)
(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率
30 2.250.0748
(3,2.25)0.57!(1)3!1/4
s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.
word
在上例中, 假如顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 如此M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如如下图所示(b).
10.4
μ=窗口0.3λ=(b)
0.4
μ=窗口20.4
μ=窗口310.4
μ=窗口0.9
λ=0.4
μ=窗口20.4
μ=窗口3(a)
0.9
λ=0.3λ=0.3
λ=
word 每个队的平均到达率为
1230.9/30.3
λλλ
====(人/分钟)
结果比拟如下
指标模型M/M/3 M/M/1
服务台空闲的概率P00.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥
平均排队长Lq 2.25(每个子系统) 平均队长 L 9.00(整个系统) 平均逗留时间 W 4.39(分钟) 10(分钟)
平均等待时间 Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)
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单队比三队优越.
百度知道
编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比拟完善的调车作业的车站。

其主要任务是根据列车编组计划的要求，大量办理货物列车的解体和编组作业。

对货物列车中的车辆进展技术检修和货
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运检查整理工作，并且按照运行图规定的时刻，正点接发列车。

所以，人们往往称编组站为编组列车的工厂。

编组站的主要任务和作用可以归纳为：——解编各种类型的货物列车.
作业:
5.1 某店令有一个修理工人, 顾客到达过程为Poisson流, 平均3人/h, 修理时间服从负指数分布, 平均需10min. 求
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(1) 店内空闲的概率;
(2) 有4个顾客的概率;
(3) 至少有1个顾客的概率;
(4) 店内顾客的平均数;
(5) 等待服务的顾客的平均数;
(6) 平均等待修理时间;
(7) 一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率.
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5.2 设有一单人打字室, 顾客的到达为Poisson流, 平均到达时间间隔为20min, 打字时间服从负指数分布, 平均为15min. 求
(1) 顾客来打字不必等待的概率;
(2) 打字室内顾客的平均数;
(3) 顾客在打字室内的平均逗留时间;
(4) 假如顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h, 如此主人将考虑增加设备与打字员. 问顾
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客的平均到达率为多少时, 主人才会考虑这样做?
5.3* 汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡, 通过关卡的平均时间为38s. 由于驾驶人员反映等待时间太长, 主管部门打算采用新装置, 使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s. 但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过
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10%时才是合算的. 根据这一要求, 分析采用新装置是否合算?。