追及问题应用题

追及问题是行程问题中的另一种典型应用题，是同向运动问题。

一般的追及问题：甲、乙两个人同时行走，甲的速度快，乙的速度慢，当乙在甲前面时，甲经过一段时间后就可以追上乙。

这就产生了“追及问题”。

要计算走得快的人在某一段时间内比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差即追及路程。

追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
=（甲的速度-乙的速度）×追及时间
=速度差×追及时间
重点·难点
追及问题中也涉及到三个量之间关系的转化：
路程差=速度差×追及时间
速度差=路程差÷追及时间
追及时间=路程差÷速度差
这里的追及时间是指共同使用的同一段时间。

在追及问题中还会涉及到环形跑道和列车问题。

都可以根据具体条件转化成普通的追及问题。

学法指导
把握基本公式：路程差=速度差×追及时间。

路程差是指在相同时间内速度快的比速度慢的多行的距离，速度差是单位时间内速度快的与速度慢的路程差，追及时间是从出发到追上所经历的时间。

在理解以上概念时要从具体的追及问题入手，掌握好公式中的数量关系，不被表面现象所迷惑，才能正确解题。

经典例题
[例1]甲、乙二人进行短跑训练，如果甲让乙先跑40米，则甲需要跑20秒追上乙；如果甲让乙先跑6秒，则甲仅用9秒就能追上乙。

求：甲、乙二人的速度各是多少？
思路剖析
如果甲让乙先跑40米，然后甲出发追乙，这40米就是二人间的路程差；甲用20秒追上乙是追及时间，根据速度差=路程差÷追及时间，可求甲、乙二人的速度差，即40÷20=2（米／秒）。

如果甲让乙先跑6秒，则甲需要9秒追上乙，这一过程中追及时间是9秒，由上一过程的结论可求路程差：2×9=18（米），这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以可求出乙的速度是18÷6=3（米／秒），那么甲速可求。

解答
（1）甲、乙两人的速度差：40÷20=2（米／秒）
（2）乙速：2×9÷6=3（米／秒）
甲速：3+2=5（米／秒）
答：甲、乙二人的速度分别为5米／秒和3米／秒。

[例2]学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米。

求走完全程学生队伍步行需多长时间？
思路剖析
此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离。

这段距离即路程差。

由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟。

可求路程差=80×36=2880（米）。

由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（260-80）=16（分钟）追上学生队伍。

那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知。

解答
班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米）
追上学生队伍所用的时间：2880÷（260-80）=16（分钟）
从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米）
学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟）
答：学生走完全程需53.5分钟。

[例3]甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A 地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发。

晚上8点，甲、丙同时到达B地。

求：丙在几点钟追上了乙？
思路剖析
此题看起来很复杂，实际上只含有一个丙追乙这一个追及关系。

我们先将这个追及关系放在一边。

首先看由甲和丙同时到达这个条件可以求出哪些关于这个追及问题可以利用的结论。

甲在早8点出发，晚8点到达，而且甲速已知，那A、B 间距离可知：6×12=72（千米），而丙走这段路所用时间比甲少3小时，那么可知丙速为：72÷（12-3）=8（千米/小时）。

在丙从A地出发时，乙已经先走了3小时，可知路程差：4×3=12（千米），那么追及问题中速度差、路程差可知，追及时间易求。

解答
A、B两地间距离：6×12=72（千米）
丙的速度：726（12－3）=8（千米／小时）
丙追上乙的追及时间：4×（11-8）÷（8-4）=3（小时）
11+3=14（点）即下午2点
答：丙在下午2点钟追上乙。

当题的表述很复杂，一时找不到解题关键时，可先由题中已有的条件求出可以得到的结论，然后再寻找解题的出路。

[例4]甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇。

假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？
思路剖析
题目中包含有两个追及问题。

第一个追及问题发生在从出发到甲追上乙，即两人第一次相遇，在这个过程中追及时间为8分钟，其他两个量都没有给出。

在第二个追及问题中应注意到环形跑道的特殊性，即当两人同时出发到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差为400米，追及时间为（24-8）分钟。

则速度差可求，再把这个速度差代回到第一个问题中，则可求出第一个追及问题中的路程差。

解答
甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分钟）
甲、乙开始时相距：25×8=200（米）
答：出发时乙在甲前200米。

在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长的倍数相关的，同一地点出发后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，第二次相遇则为2倍的跑道周长。

[例5]一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处遇见一个行人，l秒后大客车经过这个行人。

大客车到达B地休息了10分钟后返回A地，途中追上这个行人。

大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？
思路剖析
大客车在距B地4000米处遇见一个行人，l秒钟后大客车经过这个行人，是一个相遇问题。

由速度和=全程÷相遇时间，可知客车与行人速度和：12÷1=12（米／秒），则行人速度可知：12-8=4（米／秒），当客车到达B地10分钟后返回时，再追上行人是一个追及问题。

追及时间可求。

大客车从第一次遇到行人到第二次追上行人的时间可分为3段：一段是从距B地4000米处到B地，一段是休息10分钟，一段是追及时间。

解答
行人的速度：12÷1-8=4（米／秒）
大客车行驶4000米需时间：4000÷8=500（秒）
10分钟相当于60×10=600（秒）
大客车从B地出发，大客车与行人的路程差：
4000+4×（500+600）=8400（米）
大客车追上行人所需时间：8400÷（8-4）=2100（秒）
故大客车从遇到行人到追上行人共需：
500+600+2100=3200（秒）=53分钟20秒。

答：大客车从遇到行人到追上行人共用了53分钟20秒。

此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题，要注意不同的问题选用不同的公式。

此题目还要注意时间单位的换算。

[例6]甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时。

途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的
地，求两地间的距离？
此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达。

说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）。

因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地。

路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间。

则两地间的距离可求。

解答
追及路程：35×（5-1）=140（千米）
追及时间：140÷（42-35）=20（小时）
两地之间的距离：42×20=840千米）
答：两地间的距离是840千米。

此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑。

由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了。

发散思维训练
l．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛。

1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈。

当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？
2．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑。

这时从后面开来一列客车。

客车经过她的身边共用了10秒。

已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？
3．快车车速19米／秒，慢车车速15米／秒。

现有慢车、快车同方向齐头行进，20秒后快车超过慢车，首尾分离。

如两车车尾相齐行进，则15秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长。

4．甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟。

已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米。

求丙的速度？
5．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇。

如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？
6．有甲、乙两列火车，甲车车长115米，每秒钟行驶27米，乙车车长130米，每秒钟行驶32米。

从甲车追及乙车到两车离开，共需多长时间？
7．环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米。

问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？
8．一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米。

为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟。

问机场与目的地相距多远？
9．甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？
10．一架敌机侵犯我国领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机调转机头，以每分钟15千米的速度逃跑。

我机以每分钟23千米的速度追击，当追至距敌机2千米时，我机与敌机展开激战，仅用半分钟就将敌机击落。

敌机从逃跑到被我机歼灭这段时间共用几分钟？
1、追及问题中运用“速度差”
【例题1】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出15千米;当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米。

那么汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的?
A.60千米
B.50千米
C.40千米
D.30千米
【答案】C。

【解析】常规解法：汽车和拖拉机的速度比为100：(100-15-10)=4：3，设追上时经过了t小时，设，速度每份为x,那么汽车速度为4x,拖拉机速度则为3x，则3xt+15=4xt，即(4x-3x)t=15得出xt=15，既汽车是经过4xt=60千米追上拖拉机，这时汽车距乙地100-60=40千米。

利用“速度差”：追上拖拉机前追击距离为15千米，追上后追击距离为10千米，由于追击速度不变，故汽车前后所走路程比=前后所用时间比=追击时间比=追击距离比=15：10=3：2 ，故所求为，100×2/5=40千米。

2、在年龄问题中类似可以利用“年龄差”不变
【例题2】1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。

问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A.34岁，12岁
B.34岁，8岁
C.36岁，12岁
D. 34岁，10岁
【答案】D。

【解析】98年，甲、乙年龄差=4-1=乙98年的年龄的3倍;02年，甲、乙年龄差=3-1=乙02年的年龄的2倍。

由于“年龄差”不变，故可得出：乙98年的年龄的3倍=乙02年的年龄的2倍，即：乙的年龄98年:02年=2:3,乙的年龄增加了1份=2002-1998=4，故乙98年的年龄=2×4=8，那么2000年他的年龄自然
就是10，选D.
3、利用“年龄增长速度差”解题。

解题思路和追及问题一样。

【例题3】祖父年龄70岁，长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁，问多少年后，三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等?( )
A.10
B.12
C.15
D.20
【答案】C。

【解析】年龄差=年龄增长速度差×时间。

因为，3个孙子的年龄增长速度是祖父的3倍，所以，时间=[70-(20+13+7)]÷(3-1)=15。