八年级数学人教版下册18.2.3.1正方形的性质与判定课件

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ×）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ×） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ×）
随堂练习：
3、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为
CD、CB延长线上的点，且DE＝BF． F
求证：∠AFE＝∠AEF．
B
A
CD
E
随堂练习 ：
4．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F． 求证：四边形CFDE是正方形．
课堂小结：
这节课我们学习了哪些内容?
布置作业：
完成课后练习
A①C对平角分线∠B相AD等，的B菱D平形分是∠正AB方C形；
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
证明：
∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
又 ∠3+∠2=90°，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∴ ∠1=∠3．
∵ PQ∥NM，
∴ △ABM≌△DAN．
∴ 四边形PQMN是矩形． ∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
已∠A知BC：=9四0°边,A形B=ABBCCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：四边形PQMN是正方形． ∴求证△A：B△MA≌B△OD、AN△．BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
③AC对平角分线∠B垂AD直，且B相D平等分的∠四AB边C形是正方形； 相又等且∠3互+∠相2垂=9直0°平，分，每条对角线平分一组对角
∴AO=△COAB=BOO、=△DBOC（O正、方△C形DO的、两△条DA对O都角是线等相腰等直，角并三且角互形相，垂并直且平分△A）BO．≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
∴∠AB∠CE=A9O0=°,∠AFBD=OBC．
②例对2 已角知线：互如相图垂，直正的方矩形形A是BC正D方中形，；对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
已②知有： 一四个边是形直A角B的CD菱是形正叫方做形正，方对形角线AC、BD相交于点O（如图）．
⑤∴ 四∠个EA角O=相∠等FD的O．四边形是正方形．（ ）
4A．B=已BC知,矩：形如A图BC，D △ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
∴ A∠M1++A∠N2==D9N0+°．DP
对角线：AC=BD,AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
AC平分∠BAD，BD平分∠ABC
正方形的判定方法：
∴ △AEO ≌△DFO．
AB=BC,矩形ABCD ∴ ∠BAD=∠ADC=90°，
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____． AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=AD ∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
AOB==BCCO,=矩B形O=ADBOC（D 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∠又ABC∠=∠3+B∠CD2=9∠0C°D，A=∠BAD=90°
作l ∥l ，作BM⊥l 是边矩形形是．正方形．（ ）
1 2 ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∠ABC=90°,AB=BC 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ①对角线相等的菱形是正方形； ∴ AM=DN． 同理 AN=DP． AC平分∠BAD，BD平分∠ABC
ABCD
正方形ABCD
例习题分析:
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是 等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是 OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形 的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF．
∠ABC=90°,菱形ABCD AB=AD=DC
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． ∴ ∠EAO=∠FDO． 1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____． 3、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
∠∴AB∠CE=A9O0=°,∠菱FD形OA．BCD
∠求A证BC：=∠∠BACFDE＝=∠∠CADEAF=．∠BAD=90°
1∴．正△A方BO形、的△四BC条O、边△_C__D_O、__△，D四AO个都角是_等__腰_直__角_，三两角条形对，角并线且__△_A_BO_≌_△_B_C．O≌△CDO≌△DAO．
∴正方PN形∥与QM平，行∠四P边NM形=、90矩°．形、菱形的关系图：
1
1
2
∴3、已四知边：形如PQ图M，N四是边正形方A形BC（D有为一正组方邻形边，相E、等F的分矩别形为是CD正、方CB形延）长．线上的点，且DE＝BF．
于Q、P点． ∴②有△一AB个O是、直△B角CO的、菱△形CD叫O、做△正D方AO形都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
正方形与平行四边形、矩形、 菱形的关系图：
四边形
两组对
边分别 平行
有一个是 直角
矩形
有一组邻 边相等
平行四边形
有一组邻边相等并 且有一个角是直角
正方形
有一组邻 边相等
菱形
有一个是 直角
正方形的性质：
如图， 正方形 ABCD
边：AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=AD
角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AM+AN=DN+DP
∴ ∠BAD=∠ADC=90°， 即 MN=PN．
AB=AD=DC
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相
∴ ∠1+∠2=90°．
等的矩形是正方形）．
随堂练习：
1．正方形的四条边__相__等__，四个角_都__是_直___角， 两条对角线_相__等_且互__相__垂．直平分，每条对角线平分一组对角 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ √） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ √）
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全 等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O （如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等， 并且互相垂直平分）．
∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
A求O证=C：O=△BAOB=OD、O△（B正CO方、形△C的D两O、条△对DA角O线是相全等等，的并等且腰互直相角垂三直角平形分．）．
A求C证平：分四∠B边AD形，CBFDE平是分正∠方AB形C．
例3 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点 4A．B=已BC知,矩：形如A图BC，D △ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
人教版八年级数学下册第十八章
课题：正方形
复习与回顾：
四边形
两组对
边分别 平行
有一个是 直角
矩形
平行四边形
有一组邻 边相等
菱形
做一做 ：
•用一张长方形的纸片（如图所示）折出一
个正方形．
正方形的定义：
①有一邻边相等的矩形叫做正方形 ②有一个是直角的菱形叫做正方形
③有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形