2021-2022年高中数学 第1章 常用逻辑用语 3.2含有一个量词的命题的否定 苏教版选修2-1

2021年高中数学第1章常用逻辑用语 3.2含有一个量词的命题的否
定苏教版选修2-1
课时目标能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
含有一个量词的命题的否定
1．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：________________.
2．存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：__________________.
一、填空题
1．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；
②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．其中正确的答案是
________．(写出所有正确答案的序号)
2．写出下列命题的否定：
(1)有的平行四边形是菱
形．_________________________________________________.
(2)存在质数是偶数．____________________________________________________.
3．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p：__________________.
4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2011”的否定是___________________________．5．命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.
6．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除的”否定形式是____________；否命题是_____________________________________________________________．
7．已知命题p：“至少存在一个实数x，使x3＝2x”，则命题非p是______________________．
8．已知命题p：直线x＝π是函数y＝|sin x|图象的对称轴，q：2π是函数y＝|sin x|的最小正周期．求此构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式命题中，假命题的个数是________．
二、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)∃x0∈Q，x20＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
10.已知向量a＝(2,1＋sinθ)，b＝(1，cosθ)，命题p：“存在θ∈R，使a⊥b”．试证明命题p是假命题．
能力提升
11．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
12．已知綈p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，求实数m的取值范围．
1．全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外；而存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
2．全称命题和存在性命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.
3．实际应用中，若从正面证明全称命题“∀x∈M，p(x)”不容易，可证其反面“∃x0∈M，綈p(x0)”是假命题，反之亦然．
1．3.2 含有一个量词的命题的否定
知识梳理
1．∃x0∈M，綈p(x0) 2.∀x∈M，綈p(x)
作业设计
1．①②
2．(1)所有的平行四边形都不是菱形．
(2)所有的质数都不是偶数．
3．∃x0∈R，sin x0>1
解析全称命题的否定是存在性命题，应含存在量词．
4．对任意整数m，n，使得m2≠n2＋xx
解析存在性命题的否定是全称命题，应含全称量词．
5．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
6．末位数字是0或5的整数，不都能被5整除
末位数字不是0且不是5的整数，不能被5整除
解析命题綈p是对命题p结论的否定，要和p的否命题区别开来．
7．对任意实数x，均有x3≠2x
解析命题p是存在性命题，故其否定是全称命题．
8．2
解析命题p为真，命题q为假，故命题“p且q”与“非p”为假，“p或q”为真．9．解(1)“有些质数是奇数”是存在性命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是存在性命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2
≠5”，真命题．
(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．
10．证明 a·b ＝2×1＋(1＋sin θ)×cos θ
＝2＋cos θ＋sin θcos θ＝2＋cos θ＋12
sin2θ. ∵对任意θ∈R ，都有cos θ≥－1且sin2θ≥－1，
∴2＋cos θ＋12sin2θ≥2－1－12＝12
>0， 即a·b >0.
这表明对任意θ∈R ，向量a 与b 均不垂直，即命题非p 为真命题，所以命题p 是假命题．
11．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3
解析 全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
12．解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题， 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]， 又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.
又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，即－2<m<2，故m的取值范围是－2≤m<2.。