固体物理学§1.7 晶格的对称性

轴—m—i
Ci
C3i
S4
正四面体
T Th Td
正八面体
O Oh
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固体物理学
四、晶系和空间点阵形式：
1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把 32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。
划分的法: 首先规定每个晶系的特征对称元素, 不是该晶系 的晶体的全部对称元素，而是一些有代表性的对称元素(该晶 系所有点群共有的对称元素).
C3 ,C3i ,C3V ,D3 ,D3d
a b c, 900 a b c, 900
1200 a b c, 900
a b c, 900
C2V ,D2 ,D2h
a b c, 900
C2 ,CS ,C2h a b c, 900 , 900
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布拉维点阵中为什么没有底心四方和面心四方？
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六方
单斜
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立方
正方 正交
三角
三斜
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原子分数坐标：顶点（0，0，0）
体心（1/2，1/2，1/2）
面心（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2）
底心（1/2，1/2，0）
晶胞参数： a,b,c; , , ; 原子分数坐标
五、空间群：七个微观对称元素（i, m, n, n，点阵，nm ， ）
结合十四种空间点阵形式（立方P I F，六方H，四方P I，
三方R，正交P I F C，单斜P C，三斜P）进行合理组合，得
到且只能得到230种空间群。 由俄 федаров 完成 230个空间群分布：三斜 2个，单斜 13个，正交 59个，四方 68个
形，具有微观对称性——微观对称元素。
点阵
平移
螺旋轴 nm
螺旋旋转 ( t )L( )
滑移面
反映平移 M(t)
由于微观对称操作中的平移量是极其微小的, 宏观 观察时根本不可能分辨出来. 所以，螺旋轴和滑移面 在宏观对称性中也会分别”退化”为旋转轴和镜面。
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考虑平移，有两种对称操作，即螺旋轴和滑移反映面。
六方平面点阵平移矢量为：t= 2a/3 + b/3 + c/3, 得到的 空间点阵只有三次轴，为三方晶系的空间点阵。
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三角点阵的三角格子可以 取成一个六角定向的双体 心复杂格子，该格子的c轴 平行于三次轴，a，b轴在 垂直于三次轴的点阵面上， 它是一个三角三重复格子。 同样，六角点阵的六角格 子可以取成一个三方定向 的双体心复杂格子，它是 一个六角三重复格子。
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晶系 立方晶系 六方晶系
特征对称元素
三个 4 或四个 3 一个 6 或 6
四方晶系
三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
一个 4 或 4
一个 3 或 3
三个 2 一个 2
无（仅有i ）
所属点群
晶胞参数
O,Oh ,T ,Th ,Td
C6 ,C6h ,C3h ,C6v D6 , D6h , D3h C4 ,S4 ,C4h ,C4V D4 , D4h , D2d
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立方为什么没有底心呢？ 因为假如有底心，将破坏立方 如图 的3×C4的对称性，只有1×C4 立方晶系单独在某一面上加心会破坏四 个三次轴对称性。 四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少” 的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。 三角 单独在某个面加心会破坏三次轴对称性。 在这些型式中，其对称性由强到弱的排列顺序为： 立方﹥六方﹥三角﹥四方﹥正交﹥单斜﹥三斜
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积应为最 小。
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1.三斜晶系:
固体物理学
a b c, 简单三斜(1)
abc
2.单斜晶系: 900
简单单斜(2) 底心单斜(3)
3.三角晶系: a b c
900 < 1200
三角(4)
4.正交晶系:
5.四角系: (正方晶系)
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与点阵、螺旋轴、滑移面相应的对称动作进行时，空间 的每一点都动了，动作后整个空间仿佛没有动，称之为空间 对称动作，其对称类型称为空间群。
与空间动作相应的对称元素分布于整个空间，它只能存在 于无限周期重复图形，如晶体微观结构中，而不能存在于有 限对称图形，如晶体的宏观对称性中。
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面心正交(8)
5.四角系：(正方晶系)
abc
900
简单四角(9) 体心四角(10)
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6.六角晶系：
固体物理学 abc
900 1200
7.立方晶系：
六角(11)
abc
900
简立方(12)
体心立方(13)
面心立方(14)
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六角格子和三角格子
三方 25个，六方 27个，立方 36个。
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晶胞类型：晶系（七个） 带心
特 征 对 称 元 素
同形性
对称类型：点群（32个）
空间点阵形式（十四种）
与 微 观 对 称 元 素 组 合
空间群（230个）
宏观划分
微观划分
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按晶胞分 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
固体物理学
1.三斜晶系：
a b c,
2.单斜晶系：
a b c,
900
3.三角晶系：
简单三斜(1) 简单单斜(2)
abc
900 1200
三角(4)
底心单斜(3)
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4.正交晶系：
固体物理学
a b c,
900
简单正交(5) 底心正交(6)
体性分
立方体 六方体
按功能分 导体 半导体 绝缘体 磁介质 电介质 超导体
按结合方式分 分子晶体 离子晶体 共价晶体 金属晶体 氢键晶体
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与旋转轴、反映面、对称中心、反轴相应的对称动作进行 时至少有一点不动，称其为点动作。这样的对称元素在有限对 称图形如晶体宏观对称性中有，在无限周期重复对称图形中也 有，如晶体的点阵结构中。
综上所述使得对称图形复原的对称动作一共有7种，镜面、 反演、旋转、旋转反演、平移、螺旋旋转、滑移。
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三、晶体的宏观对称类型：
八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。
由此，推出晶体所属的32个点群。
轴
C1
C2
C3
C4
C6
轴—面 mh mv
CS
C2h C3h
C4h
C6h
C2V C3V
C4V
C6V
无面
D2
D3
D4
D6
轴—21—面
mh
D2h D3h D4h
D6h
mv
D2d D3d
abc
900
abc 900
简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8)
简单四角(9)，体心四角(10)
6.六角晶系: 7.立方晶系:
abc
六角(11)
900 1200
abc
900
简立方(12)，体心立方(13)
面心立方(14)
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n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，
晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是轴方向的 周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。
滑移反映面：若经过某面进行镜象 操作后，再沿平行于该面的某个方 向平移T/n后，晶体能自身重合，则 称此面为滑移反映面。 T是平行方 向的周期， n可取2或4。
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二、晶体对称元素的基本原理:
对称性要与晶体内部点阵结构的周期性相适应。 原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组 直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与 一组直线点阵垂直。
2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6， 而不存在5及6以上的轴次。
例如, 立方晶系的特征对称元素是4条沿正方体体对角线3; 六方晶系特征对称元素是六重对称轴(包括旋转轴、 螺旋轴或反轴)
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然后, 将晶体归入对称性尽可能高的晶系. 对称性最高的晶系是 立方晶系, 依次往下是六方、四方、三方、正交、单斜、三斜.
每个晶系的晶胞都是具有特定边角关系的平行六面体. 每种晶系 都有自己的特征对称元素, 相应地就有一定的晶胞类型
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§1.7 晶格的对称性
一、晶体的宏观对称元素和微观对称元素：
1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形，
具有点对称性——宏观对称元素。
对称中心 i
反演
I
反映面 m
反映
M
旋转轴 n 反轴 n
旋转
L( )
旋转反演 L( )I
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2、微观对称元素：由于晶体的周期性结构，是无限的几何图
C1 ,Ci
a b c,
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十四种空间点阵形式：
七个晶系的划分是从对称性（形状规则）来考虑的；
如从含点规则考虑，则又可以把七个晶系划分成十四种空 间点阵形式（Bravias空间格子）。
1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固有对 称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位的棱 间直角数尽量多。
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空间群,晶体内部结构的对称要素（操作）的组合。空 间群共有230种。
一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体 结构中所有平移轴的集合，称为平移群；另一部分就是点 群, 即晶体宏观对称要素的集合。
晶体中可能的平移群有14种, 与14种布拉维格子类型对 应。
空间群是从对称型（点群）中推导出来的，每一对称型 （点群）可产生多个空间群，所以32个对称型（点群）可 产生230种空间群。