等比数列快速求和取模

等比数列快速求和取模
等比数列是指数之间的比例为定值的数列，它在数学中有很重要的应用。

在实际应用中，需要对等比数列进行求和并取模的操作，这个过程有时候会很繁琐。

本文将介绍一种快速求和取模等比数列的方法。

首先，我们需要知道等比数列的求和公式：
$$S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
其中，$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数，$S_n$为前$n$项和。

但是，当$n$很大时，这个公式的计算量会很大，不适合直接计算。

所以，我们需要使用快速幂的方法来优化计算过程。

假设我们要求的是$S%p$，其中$p$为一个较大的质数。

我们可以将求和公式写成下面的形式：
$$S_n=a_1frac{1-q^n}{1-q}$$
进一步化简为：
$$S_n=a_1frac{1}{1-q}-a_1frac{q^n}{1-q}$$
我们可以使用快速幂算法来快速计算$q^n$，然后再将结果带入到公式中进行求解。

这个方法的时间复杂度为$O(log_2n)$，适合处理大规模的等比数列求和问题。

总结一下，等比数列的快速求和取模方法如下：
1. 使用等比数列的求和公式将原问题转化为计算
$a_1frac{1}{1-q}-a_1frac{q^n}{1-q}$。

2. 使用快速幂算法计算$q^n$。

3. 将$q^n$带入到公式中进行求解，同时对结果取模得到最终答案。