江苏省宿迁市马陵中学2020届高考数学 2.3 函数的奇偶性复习测试

2.3 函数的奇偶性
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)， 则f(－1)＝________.
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4(x≥0)，则{x|f(x －2)>0}＝____________.
3．已知f(x) (x ∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)＝________.
4．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0 的x 的取值范围是__________．
5．f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的 个数至少是________．
6．函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数且f(x)＋g(x)＝1x ＋1 (x≠±1)，则f(－3)＝________. 7．设函数f(x)＝x(ex ＋ae －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．
8．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋5)＝－f(x)＋2，且当x ∈(0,5)时，f(x)＝x ，则f(2 011) ＝________.
9．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于 f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)关于直线x ＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x )在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正确的序号是________．
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若a 、b ∈[－1,1]，a ＋b≠0时，有f(a)＋f(b)a ＋b
>0.判断函数f(x)在[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．
11．(16分)已知函数f(x)对一切x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a ，用a 表示f(12)．
12．(16分)已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x ＋2)＝－f(x)．
若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x ，求使f(x)＝－12
在[0,2 009]上的所有x 的个数． 答案 1.－3 2.{x|x<0或x>4} 3.32 4.(－2,2) 5.4 6.－38
7.－1 8.1 9.①②⑤
10.解 f(x)在[－1,1]上是增函数．证明如下：
任取x1、x2∈[－1,1]，且x1<x2，
则－x2∈[－1,1]．又f(x)是奇函数，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)
·(x1－x2)． 据已知f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)>0，x 1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上是增函数．
11.(1)证明 显然f(x)的定义域是R ，它关于原点对称．
在f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y ＝－x ，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x ＝y ＝0，
得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)解 由f(－3)＝a ，f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
12.解 当0≤x≤1时，f(x)＝12x ，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1， ∴f(－x)＝12(－x)＝－12
x. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－12x ，即f(x)＝12
x. 故f(x)＝12
x (－1≤x≤1)． 又设1<x<3，则－1<x －2<1，∴f(x －2)＝12
(x －2)． 又∵f(x －2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2)＝－[－f(－x)]＝－f(x)，
∴－f(x)＝12
(x －2)， ∴f(x)＝－12
(x －2) (1<x<3)． ∴f(x)＝⎩⎨⎧ 12x (－1≤x≤1)
－12(x －2) (1<x<3).
由f(x)＝－12，解得x ＝－1. 又∵f(x ＋2)＝－f(x)，
∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(x)＝－12
的所有x ＝4n －1 (n ∈Z)． 令0≤4n －1≤2 009，则14≤n≤1 0052
， 又∵n ∈Z ，∴1≤n≤502 (n ∈Z)，
∴在[0,2 009]上共有502个x 使f(x)＝－21
.。