高中数学 质量检测2课后练习同步导学 新人教A版选修2-3

模块综合质量检测(二)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
(考试时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )
A ．25
B ．10
C ．9
D ．5
解析： 由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8，5＋5＝10，5个不同的和；若两次取球为不同号码，则只有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．
答案： C
2．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标
准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧
＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为( )
A.3.5 C ．2.5 D ．2
解析： x ＝
3＋4＋5＋6
4
＝4.5， y ＝
2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋10
4
.
又(x ，y )在线性回归方程上， ∴
m ＋11
4
＝0.7×4.5＋0.35，
∴m ＝3. 答案： B
3．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和
D (η)的值分别是( )
A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
解析： ∵ξ～B (10,0.6)
∴E (ξ)＝10×0.6＝6，
D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.
∵ξ＋η＝8， ∴η＝－ξ＋8，
∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝－6＋8＝2.
D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4
答案： B
4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：
( ) A ．200 B ．720 C ．100
D ．180
解析： A 和B 没有任何关系，也就是说，对应的比例a
a ＋
b 和
c
c ＋d
基本相等，根据列联表
可得2001 000和180180＋a
基本相等，检验可知，B 满足条件．
答案： B
5．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则P (B |A )，P (A |B )分别为( )
A.12，12
B.13，115
C.115，13
D.13，12
解析： P (A )＝3
36
P (AB )＝136，P (B )＝1536
P (B |A )＝P AB
P A ＝136336
＝13
P (A |B )＝P AB
P B ＝1361536＝115
答案： B
6．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1
2k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )
A.316
B.14
C.116
D.516
解析： P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝3
16.
答案： A
7．若(1－5x )9
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值是( ) A ．1 B ．49
C ．59
D ．69
解析： 设(1＋5x )9
＝a 0－a 1x ＋a 2x 2
＋…－a 9x 9
∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝69
. 答案： D
8．6名同学安排到3个社区，A ，B ，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为( )
A ．12
B ．9
C ．6
D ．5
解析： 从甲、乙、丙以外的3人中选2人到C 社区，共C 32
种，剩余的4人中除去甲后任选一人到A 社区共C 31
种，剩余2人到B 社区，共有C 32
·C 31
＝9种．
答案： B
9．如果⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－12x n
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系
数和是( )
A ．0
B ．256
C ．64
D.1
64
解析： 因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中
所有项的系数和是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1
64
.
答案： D
10．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
解析： 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33
种排法．故总的排法有2×2×A 33
＝24种．
答案： B
11．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是1
2，且是相互独立的，
则灯亮的概率是( )
A.18
B.38
C.14
D.78
解析： 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪
A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以
P (E )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )
＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )
＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12
＝3
8. 答案： B
12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立检验法抽取3 000人，计算发现K
2
＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )
C ．97.5%
D ．99.5%
解析： ∵K 2
＝6.023>5.024，∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为
97.5%.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．
解析：分两类：第1类，含0，有C21C32C31A33＝108个数；
第2类，不含0，有C32A44＝72个数．
共有108＋72＝180(个)．
答案：180
14．某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X位于区间(53,68]的人数大约是________．
解析：由题图知X～N(μ，σ2)，
其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝0.682 6.
∴人数为0.682 6×1 000≈682.
答案：682
15．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________．
解析：设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.
依题意，X的分布列为
E(X)＝－20×0.1
＝37(元)
答案：37元
16．某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第 3 次击中目标的概率是 0.9； ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93
×0.1； ③他至少击中目标 1 次的概率是 1－0.14.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
解析： ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第 3 次击中目标的概率是 0.9，正确；
②恰好击中目标 3 次的概率应为 C 43
×0.93
×0.1；
③ 4 次射击都未击中的概率为 0.14
， 所以至少击中目标1次的概率为1－0.14
. 答案： ①③
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．
问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？
解析： 由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数．由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能会不同，因此这是一个排列问题．
第1步，放入甲类物质，共有A 32
种方案； 第2步，放入乙类物质，共有A 53种方案． 根据分步乘法计算原理，共有A 32
A 53＝360种方案． 因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果．
18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解析： (1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得 P (X ＝0)＝C 43
C 63＝15，P (X ＝1)＝C 42
C 21C 63＝3
5.
P (X ＝0)＝C 41
C 22C 63＝1
5.
∴X 的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝4C 63＝5；
∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝4
5.
(3)P (B )＝C 52
C 6＝1020＝1
2；
P (B |A )＝P AB
P A ＝C 41
C 63
C 52C 6
3＝410＝25
.
19．(本小题满分12分)(1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－
2x
x ＋2
，证明：当x >0时，f (x )>0； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ，证明：p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1
e
2.
证明： (1)f ′(x )＝
x 2
x ＋
x ＋
2
.
当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数． 又f (0)＝0，因此当x >0时，f (x )>0. (2)p ＝100×99×98×…×81100
20
， 又99×81＝(90＋9)(90－9)＝902
－81<902
， 同理得98×82<902
，…，91×89<902，
所以p <⎝ ⎛⎭
⎪⎫91019
.
由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>
2x x ＋2
， 因此⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋2x ln(1＋x )>2.
在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫10919>e 2
.
所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1
e
.
20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N *
.
(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值；
(2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项． 解析： (1)由已知，得C n
n －2
(2i)2＝－180，即4C n 2
＝180，
所以n 2
－n －90＝0，又n ∈N *
，得n ＝10.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为T k ＋1＝C 10k (2x i)10－k ·x －2k ＝C 10k (2i)10－k
·x 5－52k ，因为系
数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，所以k ＝10,6,2.所以所求的项为T 11＝x
－20
，T 7＝3 360x
－10
，T 3＝11 520.
21．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生
产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的有缺点的零件个数随机器运转的速度而变化，如下表为抽样试验的结果：
(1)对变量y 与(2)如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
解析： (1)x ＝12.5，y ＝8.25，
∑i ＝1
4
x i y i ＝438，∑i ＝1
4
x i 2
＝660，∑i ＝1
4
y i 2＝291，
所以
r ＝
∑i ＝1
n
x i －x
y i －y
∑i ＝1n
x i －x
2
∑i ＝1
n y i －y
2
＝
∑i ＝1
4
x i y i －4x y
∑i ＝1
4
x i 2
－4x
2
∑i ＝1
4
y i 2－4y
2
＝
438－4×12.5×8.25－4×12.5
2
－4×8.25
2
≈0.995>0.75.
所以y 与x 有很强的线性相关关系．
(2)由(1)中数据得b ∧≈0.728 6，a ∧
≈－0.857 5，
所以回归直线方程为y ∧
＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， 所以x ≤14.901 9.
所以机器的转速应控制在14.901 9转/秒以下．
22．(本小题满分14分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
(1)求q 2的值；
(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ；
(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
解析： (1)设“该同学在A 处投中”为事件A ，“在B 处投中”为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A )＝0.75，P (B )＝q 2(0<q 2<1)，P (B )＝1－q 2.
根据分布列知：P (ξ＝0)＝P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＝0.75(1－q 2)2
＝0.03，解得q 2＝0.8.
(2)当ξ＝2时，p 1＝P (A B B )＋P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝1.5q 2(1－q 2)
＝0.24；
当ξ＝3时，p 2＝P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＝0.25(1－q 2)2
＝0.01； 当ξ＝4时，p 3＝P (A BB )＝P (A )P (B )P (B )＝0.75q 22
＝0.48；
当ξ＝5时，p 4＝P (A B B ＋AB )＝P (A B B )＋P (AB )＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24.
所以随机变量ξ的分布列为
数学期望Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
P(B BB＋B B B＋BB)＝P(B BB)＋P(B B B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896；该同学选择题干中所述方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．。