教育最新K122018年高考数学考点通关练第六章立体几何单元质量测试文

单元质量测试(六)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，则a ∥α的一个充分条件是( ) A ．α∥β，a ∥β B ．α⊥β，a ⊥β C ．a ∥b ，b ∥α D ．α∩β＝b ，a ⊄α，a ∥b
答案 D
解析 对于A 选项直线a 有可能在平面α内，B 选项可以推出a ∥α，或者a 在平面α内，对于C 选项直线a 有可能在平面α内，D 选项是正确的，故选D.
2．[2017·新疆乌鲁木齐模拟]已知一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，(1,1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
答案 A
解析 由直观图可得A 中的图正确，故选A.
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 S 表＝4πR 2
＝6π，∴R ＝
62
，设正四棱柱底面边长为x ，则x 2＋x 2＋22＝(2R )2
，∴x ＝1.
∴V 正四棱柱＝2.故选B.
4．[2016·深圳二调]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是( )
A．4 2 B．2 5
C．6 D．4 3
答案 D
解析该几何体为边长为4的正方体的一部分，如图，最长的边为PC＝4 3.
5．[2017·贵阳期末]设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
上述命题中，所有真命题的序号是( )
A．①④B．②③
C．①③D．②④
答案 A
解析对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以①正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以②错误；对于③，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③错误；对于④，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以④正确．故选A.
6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
答案 C
解析 ∵S △OAB 是定值，且V O －ABC ＝V C －OAB ，
∴当OC ⊥平面OAB 时，V C －OAB 最大，即V O －ABC 最大．设球O 的半径为R ，则(V O －ABC )max ＝13×
1
2
R 2×R ＝16
R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π.
7．已知甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示．记甲的体积为V 甲，乙的体积为V 乙，则( )
A ．V 甲<V 乙
B ．V 甲＝V 乙
C ．V 甲>V 乙
D ．V 甲，V 乙的大小不能确定
答案 C
解析 如图，在正方体中，甲几何体的直观图是四棱锥D －A 1B 1C 1D 1，乙几何体的直观图是三棱锥D －A 1B 1C 1，显然有V 甲>V 乙，故选C.
8．[2016·唐山一模]已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A ．17π2
B ．8π
C ．15π2
D ．9π
答案 B
解析 由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V ＝π×12
×(5＋3)＝8π，故选B.
9．[2017·海南月考]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈
275
L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A ．227
B ．258
C ．15750
D ．355113
答案 B
解析 设圆锥底面半径为r ，则2πr ＝L ，r ＝L 2π.圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝π3⎝ ⎛⎭
⎪⎫L 2π2
h ＝
L 2h
12π，则12π≈752，即π≈7524＝25
8
，故选B. 10．[2016·陕西一检]在正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，A ′A ＝2，则AC ′与
BC 所成角的余弦值为( )
A ．5
5 B ．5
6 C ．
66
D ．
306
答案 C
解析 由题意知，∠AC ′B ′即为AC ′与BC 所成的角，连接AB ′，在Rt △AB ′C ′中，
AC ′＝6，B ′C ′＝1，故cos ∠AC ′B ′＝
6
6
，故选C. 11．[2017·兰州诊断]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝BC ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )
A ．
34
B ．
32
C ．334
D ． 3
答案 B
解析 解法一：如图，设D 为BC 的中点，连接AD 、A 1D 、A 1C 、A 1B ，过A 作A 1D 的垂线，垂足为E ，则BC ⊥A 1D ，BC ⊥AD ，所以BC ⊥平面A 1AD ，则BC ⊥AE .又AE ⊥A 1D ，所以AE ⊥平面
A 1BC ，由条件可得AD ＝
32
AB ＝3，A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2，由面积相等得AE ·A 1D ＝AA 1·AD ，即AE ＝AA 1·AD A 1D ＝32
，故选B.
解法二：设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，因为V A －A 1BC ＝V A 1－ABC ，所以13·h ·S △A 1BC ＝13
·AA 1·S
△ABC
，又S △A 1BC ＝1
2
×
5
2
－1×2＝2，AA 1＝1，S △ABC ＝
34×22
＝3，所以h ＝32
，故选B.
12．在三棱锥C －ABD 中(如图)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A －BD －C 的大小为60°，给出下列结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝
3
4
；⑤四面体ABCD 外接球的表面积为32π.
其中所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①④⑤ D ．①③⑤
答案 D
解析 由题意知BC ＝CD ＝AD ＝AB ，且BC ⊥CD ，BA ⊥AD .因为O 是斜边BD 的中点，所以
OC ⊥BD ，OA ⊥BD ，且OC ＝OA ＝12
BD ，所以∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角，所以∠AOC ＝60°，
所以△AOC 是正三角形，即③正确．而OC ∩OA ＝O ，所以BD ⊥平面AOC ，所以BD ⊥AC ，即①正确．若AD ⊥CO ，则由CO ⊥BD ，可得CO ⊥平面ABD ，所以CO ⊥OA ，这与∠AOC ＝60°矛盾，所以②不正确．因为AB ＝CD ＝AD ＝4，AC ＝22，所以cos ∠ADC ＝
42
＋42
－22
2×4×4
＝3
4
，所以④不正确．因为OB ＝OC ＝OA ＝OD ，所以O 是四面体ABCD 外接球的球心，所以外接球的表面积为4π×(22)2
＝32π，即⑤正确．综上所述，所有正确结论的序号是①③⑤.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r
＝________.
答案
23
3
解析 由水面高度升高r ，得圆柱体积增加πR 2
r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2
r .故R r ＝233
.
14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，
AA 1＝22，则球O 的表面积为________．
答案 16π
解析 由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22
＋22
＋
2
2
＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2
＝16π.
15．已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB ＝BC ＝CA ＝3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1
3
，则球O 的表面积为________．
答案
272
π
解析 设球O 的半径为R .∵AB ＝BC ＝CA ＝3，∴△ABC 的外接圆半径r ＝3×
32×2
3
＝3，则R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 32＋r 2，即89R 2＝3，解得R 2＝278，则球O 的表面积为S 表＝4πR 2
＝27π2.
16．[2017·唐山模拟]已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O 上，则球O 的表面积为________．
答案 8π
解析 依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为22，故球的半径为2，该球的表面积为4π(2)2
＝8π.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)四棱锥S －ABCD 的三视图和直观图如图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M 、N 、P 分别为AB 、SA 、AD 的中点．
(1)求四棱锥S －ABCD 的体积； (2)求证：直线MC ⊥平面BPN .
解 (1)由三视图知SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AB ＝1，SD ＝2，∴S 正方形ABCD ＝1×1＝1，
∴V S －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ×SD ＝13×1×2＝2
3.
(2)证明：连接PN 、PB ，设PB ∩CM ＝O . ∵P 、N 分别为AD 、SA 的中点，∴PN ∥SD . ∴PN ⊥平面ABCD .
又MC ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥MC .
∵在正方形ABCD 中，P 、M 分别是AD 、AB 的中点， ∴△PAB ≌△MBC ，∴∠PBA ＝∠MCB .
又∠MCB ＋∠BMC ＝90°，∴∠PBA ＋∠BMC ＝90°. ∴PB ⊥MC .
又PN ∩PB ＝P ，且PN 、PB ⊂平面BPN ， ∴MC ⊥平面BPN .
18．[2016·江西南昌模拟](本小题满分12分)已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD ＝120°，PA ＝b
.
(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 的中点，若点M 到平面POD 的距离为1
4
b ，求a ∶b 的值．
解 (1)证明：
⎭
⎬⎫
⎭⎪⎬⎪
⎫PA ⊥平面ABCD BD ⊂平面ABCD ⇒PA ⊥BD
在菱形ABCD 中，有AC ⊥BD
⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫BD ⊥平面PAC BD ⊂平面PBD ⇒平面PBD ⊥平面PAC .
(2)因为V M －POD ＝V P －OMD ，在Rt △OMD 中， 有S △OMD ＝12×14a ×32a ＝316a 2
.
在Rt △POD 中，有OD ＝
3
2a ，PO ＝b 2＋14
a 2⇒
S △POD ＝12×
32
a ×
b 2＋14
a 2.
所以13
×
a 2⎝
⎛⎭⎪
⎫3b 2
＋3
4a 24
×14b ＝13×316
a 2×
b ⇒3a 2＝4b 2
，即a ∶b ＝2∶ 3. 19．[2016·广东统考](本小题满分12分) 如图，P 为正方形ABCD 外一点，PB ⊥平面ABCD ，
PB ＝AB ＝2，E 为PD 的中点．
(1)求证：PA ⊥CE ；
(2)求四棱锥P －ABCD 的表面积．
解 (1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，
则EF ∥AD ∥BC ，即EF ，BC 共面． ∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥BC . 又∵BC ⊥AB ，且PB ∩AB ＝B ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA . ∵PB ＝AB ，∴BF ⊥PA . 又∵BC ∩BF ＝B ，
∴PA ⊥平面EFBC ，∴PA ⊥CE . (2)设四棱锥P －ABCD 的表面积为S . ∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥CD . 又∵CD ⊥BC ，PB ∩BC ＝B ，
∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC ，即△PCD 为直角三角形． 由(1)知BC ⊥平面PAB ， ∵AD ∥BC ，∴AD ⊥平面PAB ， ∴AD ⊥PA ，即△PAD 为直角三角形．
∴S ＝12PC ·CD ＋12PB ·CB ＋12PA ·AD ＋1
2
AB ·PB ＋AB ·BC ＝8＋4 2.
20．[2016·江西联考](本小题满分12分)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BE ⊥CD ，DE ＝
BE ＝CE ＝2AB ，将ABED 沿BE 边翻折，使平面ABED ⊥平面BCE ，M 是BC 的中点，点N 在线段
DE 上且满足DN ＝14
DE .
(1)求证：MN ∥平面ACD ；
(2)若AB ＝2，求点A 到平面BMN 的距离．
解 (1)证明：取AC 的中点G ，连接MG ，DG . ∵AG ＝GC ，BM ＝MC ，∴GM ∥AB ，且GM ＝1
2AB .
∵AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，DN ＝1
4DE ，
∴DN ∥AB ，且DN ＝1
2AB ，∴GM ∥DN ，GM ＝DN .
∴四边形DGMN 是平行四边形，∴DG ∥MN . ∵GD ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .
(2)设点A 到平面BMN 的距离为h ，连接CN ，ME ，AN . ∵平面ABED ⊥平面BCE ，且CE ⊥BE ， ∴CE ⊥平面ABED .
又M 是BC 的中点，∴点M 到平面ABED 的距离等于点C 到平面ABED 的距离的一半，即1
2EC
＝2.
在△BMN 中，由平面ABED ⊥平面BCE ，且DE ⊥BE ，得DE ⊥平面BCE ，∴NB ＝NE 2＋BE 2＝32＋42＝5，NC ＝NE 2＋CE 2＝32＋42＝5，∴NB ＝NC ，
故NM ⊥BM .
又MN ＝NE 2＋ME 2＝32＋22＝17，
BM ＝22，
∴S △BMN ＝12BM ·MN ＝12×22×17＝34. 而S △ABN ＝12AB ·BE ＝12
×4×2＝4， 由V A －BMN ＝V M －ABN ，得13S △BMN ·h ＝13S △ABN ×12CE ， 即13×34×h ＝13×4×2，解得h ＝43417
. ∴点A 到平面BMN 的距离为43417
. 21．[2016·沈阳质检](本小题满分12分) 如图所示，在三棱锥D －ABC 中，AC ，BC ，CD 两两垂直，AC ＝CD ＝1，BC ＝3，O 为AB 的中点．
(1)若过点O 的平面α与平面ACD 平行，且与棱DB ，CB 分别相交于M ，N ，在图中画出该截面多边形，并说明点M ，N 的位置(不要求证明)；
(2)求点C 到平面ABD 的距离．
解 (1)当M 为棱DB 的中点，N 为棱BC 的中点时，平面α∥平面ACD .
如图，因为平面α∥平面ACD ，平面ACD ∩平面ABD ＝AD ，平面α∩平面ABD ＝OM ，所以OM ∥AD ，又O 为AB 的中点，所以M 为BD 的中点，同理可证点N 为BC 的中点．
(2)因为CD ⊥AC ，CD ⊥BC ，AC ∩BC ＝C ，所以直线CD ⊥平面ABC .
又AC ＝CD ＝1，BC ＝3，
则AD ＝AC 2＋CD 2＝12＋12＝2， BD ＝BC 2＋CD 2＝3＋1＝2.
又AB ＝AC 2＋BC 2＝1＋3＝2，所以AB ＝BD ，
设E 是AD 的中点，连接BE ，则BE ⊥AD ，
所以BE ＝AB 2－AE 2＝22－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝142， S △ABD ＝1
2AD ·BE ＝12×2×142＝72
. 由等积法知V C －ABD ＝V D －ABC ， 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×1×3＝32
， 设点C 到平面ABD 的距离为h ，
则有13S △ABD ·h ＝13
S △ABC ·CD ， 即72·h ＝32×1，所以h ＝217
， 即点C 到平面ABD 的距离为
217. 22．[2016·深圳调研] (本小题满分12分)如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M 、N 分别是EF 、BC 的中点，AB ＝2AF ，∠CBA ＝60°.
(1)求证：DM ⊥平面MNA ；
(2)若三棱锥A －DMN 的体积为33
，求点A 到平面DMN 的距离． 解 (1)证明：连接AC ，在菱形ABCD 中，
∵∠CBA ＝60°且AB ＝BC ，
∴△ABC 为等边三角形．
∵N 是BC 的中点，∴AN ⊥BC ，∵BC ∥AD ，∴AN ⊥AD .
∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AN ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ， ∴AN ⊥平面ADEF .
∵DM ⊂平面ADEF ，∴AN ⊥DM .
∵矩形ADEF 中，AD ＝2AF ，M 是EF 的中点，
∴△AMF 为等腰直角三角形，∴∠AMF ＝45°，
同理可证∠DME ＝45°，∴∠DMA ＝90°，∴DM ⊥AM .
∵AM ∩AN ＝A ，AM ⊂平面MNA ，AN ⊂平面MNA ，
∴DM ⊥平面MNA .
(2)设AF ＝x ，则AB ＝2AF ＝2x ，
在Rt △ABN 中，AB ＝2x ，BN ＝x ，∠ABN ＝60°，
∴AN ＝3x .
∴S △ADN ＝12
·2x ·3x ＝3x 2. ∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，FA ⊥AD ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，∴FA ⊥平面ABCD . 设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h ＝FA ＝x .
∴V M －ADN ＝13S △ADN ·h ＝13·3x 2·x ＝33
x 3， ∵V M －ADN ＝V A －DMN ＝33
，∴x ＝1. 作AH ⊥MN 交MN 于点H .
∵DM ⊥平面MNA ，∴DM ⊥AH .
∴AH ⊥平面DMN ，即AH 为点A 到平面DMN 的距离．
∵在Rt △MNA 中，MA ＝2，AN ＝3，
∴AH ＝305
. ∴点A 到平面DMN 的距离为
305
.。