2017年高考数学微专题圆锥曲线常考题型与解题策略

2017年高考数学圆锥曲线常考题型与解题策略
一、高考考纲要求
①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

④理解数形结合的思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

二、知识点解析
1、圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.
2、圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.
3、圆锥曲线中的探索性问题
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题•
三、典型题目精讲
考点一圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题•
考点一：圆锥曲线中的定点问题
例一、已知抛物线C: y2= 2px(p>0)的焦点F(1, 0), O为坐标原点，A, B是抛物线C上异于O的两点.
(1) 求抛物线C的方程；
1
(2) 若直线OA, OB的斜率之积为—£求证：直线AB过x轴上一定点.
所以抛物线C 的方程为y 2= 4x.
2 2
(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，设 A4 , t , B 4, - t .因为直线OA ,
所以A(8, t), B(8,- t)，此时直线AB 的万程为x = 8.
②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y = kx + b , A(X A , y A ), B(X B , y B )，联立
y 2——4x 得 ' 化简得ky 2- 4y +4b ——0. y ——kx + b ,
根据根与系数的关系得y A y B ——华，因为直线OA ,OB 的斜率之积为—舟,所以出朋 k 2 x A X B i A B ——一2，即卩X A X B + 2y A y B ——0.即曽'卷+ 2y A y B ——0,
解得y A y B ——0(舍去)或y A y B ——一32.
所以y A y B —— 4b ——一32,即b ——一8k ,所以y ——kx — 8k ,
y ——k(x - 8).综上所述，直线 AB 过定点(8, 0).
考点二圆锥曲线中的定值问题
例二(满分12分)(2015全国U 卷)已知椭圆C : 9x 2+ y 2——m 2(m >0),直线I 不过 原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A , B ,线段AB 的中点为M.
(1)证明：直线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值；
⑵若I 过点殳，m ，延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四 边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.
(1)证明 设直线 I : y ——kx + b(k M 0, b ^0),
A (X 1, y) B(x 2, y 2), M(X M , y M ).
将y ——kx + b 代入9x 2 + y 2——m 2得
(k 2 + 9)x 2 + 2kbx + b 2- m 2——0, (2 分)
⑴解 因为抛物线/= 2px(p>0)的焦点坐标为(1, 0),所以
p_ 2 所以p = 2.
OB 的斜率之积为一
-- -t 一4 tpt 一
4 以 所-£化简得t 2二32. 故X M —— X 1+ X 2 2 —kb k 2 +
9, y M —— kx M + b ——
于是直线0M 的斜率加二£二—9即k0M • k =- 9.
所以直线0M 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(6分)
(2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.
因为直线I 过点m ，m ，所以I 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0, 心3.
9
由⑴得0M 的方程为尸—RX .(7分)
设点P 的横坐标为X P ,
将点 m ， m 的坐标代入I 的方程得 b = 号 —，因此X M = 3 ( k 2+ 9) .(9分) 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段0P 互相平分，即x p = 2X M . 土 km 小 k (k — 3) m
于是空k9T ，
解得 k 仟4— 7, k 2= 4+ 7.(11 分)
因为k i >0，k i M 3, i = 1, 2,所以当I 的斜率为4— .7或4+ .7时，四边形OAPB 为平行四边形.(12分)
2 2 V2
训练 如图，椭圆E ：X^+ *= 1(a>b>0)的离心率是三"
1)在短轴CD 上，且PC • PD )=— 1.
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于 使
得O A • OB + :PA • PB 为定值？若存在，求 入的值；若不存在，请说明理由 解(1)由已知，点C , D 的坐标分别为(0,— b), (0, b).
又点P 的坐标为(0, 1)，且PC • PD =— 1, 9 2 2
由9X 2+二m 2得XP =丹，即9' ± km。