宜宾市2022届数学高二第二学期期末联考试题含解析

宜宾市2022届数学高二第二学期期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．5
4212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210
C ．120
D ．252
【答案】D 【解析】 【分析】
先化简3255
2
4
2(1)[12]x x x x x ⎛⎫++ ⎪+=⎝⎭
，再由二项式通项1k n k k n n T C a b -+=，可得5x 项的系数． 【详解】
Q 510422112x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()102203110101C C r
r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，当=5r 时，555610C 252T x x ==.故选D. 【点睛】
本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数． 2．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为
，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的
方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则
（ ）
A ．990
B ．1320
C ．1430
D ．1560
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为
，于此可求出的值。

【详解】 依题意可得
，解得
，故选：B 。

【点睛】
本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。

3．若对于任意实数0x ≥，函数()x
f x e ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是( )
A ．(),e -∞
B ．(],e -∞-
C ．[),e +∞
D ．()e,-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数a 的取值范围 【详解】
Q 当0x ≥时，()0x f x e ax =+>恒成立
∴若0x =，a 为任意实数，()0x f x e ax =+>恒成立
若0x >时，()0x
f x e ax =+>恒成立
即当0x >时，x
e a x
>-恒成立，
设()x e g x x =-，则()()22
1x
x x x e
e x e g x x x --=-=
' 当()01x ∈，时，()0g x '>，则()g x 在()01，上单调递增 当()1
x ∈+∞，时，()0g x '<，则()g x 在()1+∞，上单调递减 ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -
则要使0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e -+∞，
故选D 【点睛】
本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。

4．若x ，y 满足条件20
402x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，
平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．
由 2
20y x y =⎧⎨-+=⎩
解得A （0，2）．
此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 5．已知空间向量 向量且
,
则不可能是
A ．
B ．1
C ．
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】 由题求得的坐标，求得
，结合
可得答案.
【详解】
，
利用柯西不等式可得
.
故选A. 【点睛】
本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题. 6．函数()()ln 2f x x x =+-的单调增区间为（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2 C ．(),3-∞ D ．(),1-∞
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，x 的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间. 【详解】
函数的定义域为{}|2x x <，()()'
1ln 2()2x f x x x f x x
-=+-⇒=
-，当'
()0f x >时，函数单调递增，所以有
1022x
x x
->⇒>-或1x <，而函数的定义域为{}|2x x <，所以当1x <时，函数单调递增，故本题选D. 【点睛】
本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.
7．设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则(
)0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）
A ．7539
B ．7028
C ．6587
D ．6038
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S = 又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由(
)0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，
所以阴影部分的面积为10.6826
10.65872S =-
=， 由面积比的几何概型可得概率为10.6587S
P S
==，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 8．设直线0x y a +-=与圆22(2)4x y -+=交于A ，B 两点，圆心为C ，若ABC ∆为直角三角形，则a =（ ） A ．0 B ．2
C ．4
D ．0或4
【答案】D 【解析】 【分析】
ABC ∆是等腰三角形，若为直角三角形，则90ACB ∠=︒，求出圆心到直线的距离d ，则2
d r =
． 【详解】
圆心为(2,0)C ，半径为2r =，d =
，∵ABC ∆为直角三角形，∴90ACB ∠=︒，而CA CB r ==，
∴2d r =22=，0a =或4. 故选：D. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系．在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到． 9．执行如图所示的程序框图，则程序输出a 的结果为（ ）
A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
15
【答案】C 【解析】
依次运行如图给出的程序，可得12431,;2,;3,;4,5555
k a k a k a k a ==
======； 125,;6,;55k a k a ====L ，所以输出的a 的值构成周期为4的数列．因此当2018k =时，2
5
a =．故
程序输出a 的结果为2
5
．选C ．
10．已知函数()1
23,0,
21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩
若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,1- B ．[]2,4
C ．()2,1--
D ．(],4-∞
【答案】C 【解析】
分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．
详解：函数()1
23,0,
21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩
的图象如图：
关于f 2（x ）+（a ﹣1）f （x ）﹣a=0有7个不等的实数根，
即[f （x ）+a][f （x ）﹣1]=0有7个不等的实数根，f （x ）=1有3个不等的实数根， ∴f （x ）=﹣a 必须有4个不相等的实数根，由函数f （x ）图象 可知﹣a ∈（1，2），∴a ∈（﹣2，﹣1）． 故选：C ．
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题． 11．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为
'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成
立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0x
xf x e ->的解集是（ ）
A ．()1,+∞
B ．(),e +∞
C ．(),1-∞
D ．(),e -∞
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()
x
xf x g x e
=，利用导数和已知条件判断出()g x 在R 上递增，由此求解出不等式的解集. 【详解】
要求解的不等式等价于
()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，()()()()''
10x
x f x xf x g x e
-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于
()()1g x g >，所以解集为()1,+?，故选A.
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．已知函数4()f x x x =+，()2x
g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，2[2,3]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数
a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥
C ．1a <
D ．1a >
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可转化为1min 2min ()()f x g x ≥，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可. 【详解】
解：当11,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，由()4f x x x
=+得，
()f x '=224
x x
-，
当11,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()0f x '<，
()f x ∴在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减，
()15f ∴=是函数的最小值，
当[]22,3x ∈时，()2x
g x a =+为增函数，
()24g a ∴=+是函数的最小值，
又因为11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，都[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，可得()f x 在11,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在
[]22,3x ∈的最小值，
即54a ≥+，解得：1a ≤， 故选：A ． 【点睛】
本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知点M
在直线34x t
y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，
则MN 的最小值为________________.
【解析】 【分析】
先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】
由题得直线方程为430x y -+=， 由题意，点N
到直线的距离
d === ∴min
MN =
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥ 【解析】 【分析】
原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】
“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】
本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 15．已知直线
1x y
a b
+=（a ，b 是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标
均为整数，那么这样的直线共有______条（用数字作答）. 【答案】60 【解析】 【分析】
直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合组合知识分类解答. 【详解】
依题意直线,x y 截距均不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 圆2
2
100x y +=上的横坐标和纵坐标均为整数的点有12个， 分别为(6,8),(6,8),(8,6),(8,6),(10,0),(0,10)±-±±-±±±， 前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；
12个点过任意两点，构成2
1266C =条直线，有4条垂直x 轴， 有4条直线垂直y 轴，还有6条直线过原点（圆上点的对称性）， 满足条件的直线有52条.综上可知满足条件的直线共有52860+=条. 故答案为：60. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，利用组合知识是解题的关键，注意直线截距式方程的限制条件，属于中档题.
16．已知双曲线，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点为E 的两个
焦点，且，则E 的离心率为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】 可令
，代入双曲线的方程，求得
，再根据题意，设出A,B,C,D 的坐标，由
，
可得的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】 令
，代入双曲线的方程可得，
由题意可设，
由，可得， 由，可得，解得（负值舍去），
故答案是2. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线上的点的坐标的求法，根据双曲线对称性，得到四个点A,B,C,D 四个点的坐标，应用双曲线中系数的关系，以及双曲线的离心率的公式求得结果.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知曲线()()1x f x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.
（Ⅰ）求,a b 值.
（Ⅱ）若函数()()3x g x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】 (Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<<
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值；
（Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x m e x =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =
()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；
解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，
结合题意得出()100
g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围． 【详解】
（Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x f x e ax e a e ax a =++⋅=++，
()()()
()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==； （Ⅱ）解法1：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，
函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x u x e x =⋅-与直线y m =有两个交
点.()()()'21x x x u x e x e e x =⋅-+=-，
当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减，
当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，
1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，
又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；
解法2：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，
()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，
当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减，
当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，
1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，
又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨
->⎩0e m ∴-<<.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：
（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；
（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．
18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D －中，已知AB ＝2，15AA ＝ ， E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ＝＝.
(1)求证：BE⊥平面ACF ；
(2)求点E 到平面ACF 的距离．
【答案】（1）见解析（2）53 【解析】
分析：（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）BE u u u r 为平面ACF 的一个法向量，向量AE u u u r 在BE u u u r 上的射影长即为E 到平面ACF 的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.
详解：(1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D 1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴
＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．
∵·＝0，·＝0， ∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC∩AF ＝A.
∴BE ⊥平面ACF.
(2)由(1)知，为平面ACF 的一个法向量，
∴点E 到平面ACF 的距离d ＝
＝. 故点E 到平面ACF 的距离为.
点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19．如图，正方体1111ABCD A B C D 的所有棱长都为1，求点A 到平面1A BD 的距离.
【答案】3 【解析】 【分析】 由题意首先求得三棱锥1A A BD -的体积，然后利用等体积法即可求得点A 到平面1A BD 的距离. 【详解】 由题意可得，三棱锥1A A BD -的体积11111111326A A AB D D A B V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 且1A BD V 是边长为2的等边三角形，其面积1322sin 602S =⨯⨯⨯=o ， 设点A 到平面1A BD 的距离为h ，利用等体积法可得：1
31326h ⨯⨯=，则3
h =.
即点A 到平面1A BD 的距离为
33
. 【点睛】 本题主要考查点面距离的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．三棱柱111ABC A B C -中，M N 、
分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a =u u u r ，AC b =u u u r ，1AA c =u u u r .
（Ⅰ）试用,,a b c 表示向量MN u u u u r
；
（Ⅱ）若90BAC ∠=o ，1160BAA CAA ∠=∠=o ，11AB AC AA ===，求MN 的长.．
【答案】（1）111333a b c ++
（25【解析】 分析：（1）直接利用三角形加法和减法法则得到MN u u u u r
.(2)先求5a b c ++=MN 的长. 详解：（Ⅰ）1111MN MA A B B N =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 1111133
BA AB B C =++u u u r u u u r u u u u r
()()1111133333
=-++-=++c a a b a a b c （Ⅱ）()2222222++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b c a b b c c a
111110*********
=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
++=a b c
13MN =++=u u u u r a b c . 点睛：本题主要考查向量的运算法则和基底法，考查向量的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.
21．已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 是等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ．
【答案】 (I)32n a n =-；(Ⅱ)7254S =，或786S =-
【解析】
【分析】
（I ）由323a a -=，2414a a +=可计算出首项和公差，进而求得通项公式．
（Ⅱ）由22b a =，46b a =并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得7S .
【详解】
(I)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵32243,14a a a a -=+=．∴3d =，12414a d +=，
解得11a =，3d =， ∴()13132n a n n =+-=-．
(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q ，2214b a b q ===，346116b a b q ===，联立解得12b q ==，
12b q =-=，
∴()7
722125421S ⨯-==-，或()()772128612S ⎡⎤-⨯--⎣⎦==---． 【点睛】
本题考查数列的基本公式．等差数列的通项公式()11n a a n d +-= , 等比数列的前n 项和公式
()
()111,11,(1)
n
n a q S q q na q ⎧-⎪=≠⎨-⎪=⎩ .
22．已知命题p ：函数2()21f x x mx =-+在(,1)-∞上是减函数，命题0:q x R ∃∈，
2004(42)10x m x +-+≤.
(1)若q 为假命题，求实数m 的取值范围；
(2)若“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围.
【答案】 (1) 13(,)22-. （2）1(,1)2
-. 【解析】
分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q 是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“p 或q ”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p 为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m 的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.
详解：（1）因为命题 0R x ∃∈，()20044210x m x +-+≤
所以q ⌝： R x ∀∈，()244210x m x +-+>，
当q 为假命题时，等价于q ⌝为真命题，
即()2
44210x m x +-+>在R x ∈上恒成立， 故()242160m ∆=--<，解得1322
m -<< 所以q 为假命题时，实数m 的取值范围为13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭. （2）函数()221f x x mx =-+的对称轴方程为x m =，
当函数()2
21f x x mx =-+在(),1-∞上是减函数时，则有1m ≥ 即p 为真时，实数m 的取值范围为[
)1,+∞
“p 或q ”为假命题，故与同时为假， 则1132
2m m <⎧⎪⎨-<<⎪⎩ ，112m ∴-<< 综上可知，当 “p 或q ”为假命题时，实数m 的取值范围为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
点睛：该题考查的是有关利用命题的真假判断来求有关参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确复合命题的真值表，以及二次函数的图像和性质要非常熟悉.。