2020年浙江省衢州市中考数学试卷

2020年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“”所示区域内的概率
是
A. B.
2. 过直线外一点作直线的平行线，下列尺规作图中错误的是
A. B.
C. D.
3. 比小的数是
A. C. D.
4. 计算，正确结果是
A. B. C. D.
5. 要使二次根式有意义，则的值可以为
A. B. C. D.
6. 下列几何体中，俯视图是圆的几何体是
A. B.
C. D.
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
8. 某厂家年月份的口罩产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家口罩产量的
平均月增长率为，根据题意可得方程
A. B.
C. D.
9. 二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是
A. 向左平移个单位，向下平移个单位
B. 向左平移个单位，向上平移个单位
C. 向右平移个单位，向下平移个单位
D. 向右平移个单位，向上平移个单位
10. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若
，则的长度为
A. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一元一次方程的解是．
12. 定义，例如．则的结果
为．
13. 某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，．已知这组数据的平均数是，则这组数据的
中位数是．
14. 小慧用图中的一副七巧板拼出如图所示的“行礼图”，已知正方形的边长为，
则图中的值为．
15. 如图，将一把矩形直尺和一块含角的三角板摆放在平面直角坐标系中，
在轴上，点与点重合，点在上，三角板的直角边交于点，反比例函数的图象恰好经过点，．若直尺的宽，三角板的斜边，则．
16. 图是由七根连杆链接而成的机械装置，图是其示意图．已知，两点固定，连杆
，，，，两点间距与长度相等．当绕点转动时，点，，的位置随之改变，点恰好在线段上来回运动．当点运动至点或时，点，重合，点，，，在同一直线上（如图）．
（）点到的距离为；
（）当点，，在同一直线上时，点到的距离为．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）在图中画出一个以为边的平行四边形，使顶点，在格点上；
（2）在图中画出一条恰好平分周长的直线（至少经过两个格点）．
20. 某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据
检测结果，制成下面不完整的统计图表．
被抽样的学生视力情况频数表
被抽样的学生视力情况扇形统计图
（1）求组别的频数的值．
（2）求组别的圆心角度数．
（3）如果视力值及以上属于“视力良好”，请估计该市名九年级学生达到“视力良好”
的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议?
21. 如图，内接于，为的直径，，，连接，弦分
别交，于点，，其中点是的中点．
（1）求证：．
（2）求的长．
22. 年月日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图
所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图中点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长；
（2）若货轮比游轮早分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮?
②游轮与货轮何时相距?
23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别是直线与坐标轴的交
点，点的坐标为，点是边上的一点，于点，点在边上，
且，两点关于轴上的某点成中心对称，连接，．设点的横坐标为，
为，
请探究：①线段长度是否有最小值．
②能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到随变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图）．请你在图中连线，观察图象特征并猜想与可能满足的函数类别．
（2）小明结合图，发现应用三角形和函数知识能验证（）中的猜想，请你求出关于的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现能成为直角三角形，请你求出当为直角三角形时的值．
24. 解答下列问题．
（1）【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点．作于点，分别交，于点，．
（）判断的形状并说明理由；
（）求证：．
（2）【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值．（3）【拓展延伸】
若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连接，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
答案
第一部分
1. A
【解析】由扇形统计图可得，指针落在数字“”所示区域内的概率是：．
2. D
【解析】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，故选：D．
3. B
【解析】，即比小的数是．
4. B
【解析】由幂的乘方与积的乘方法则可知，．
5. D
【解析】由题意得：，
解得：．
6. A 【解析】A、俯视图是圆，故此选项正确；
B、俯视图是正方形，故此选项错误；
C、俯视图是长方形，故此选项错误；
D、俯视图是长方形，故此选项错误．
故选：A．
7. C
【解析】
由得；
由得；
故不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
8. B
【解析】从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，
根据题意可得方程：．
9. C
【解析】A．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
B．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
C．平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合
题意．
D．平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
10. A
【解析】由折叠补全图形如图所示．
四边形是矩形，
，，．
由第一次折叠得：，．
．
．
在中，根据勾股定理得，．
由第二次折叠知，．
．
第二部分
11.
【解析】将方程移项得，，
系数化为得，．
12.
【解析】根据题意得：．
13.
【解析】某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，
这组数据的中位数是．
14.
【解析】正方形的边长为，
②的斜边上的高是，④的高是，⑥的斜边上的高是，⑦的斜边上的高是，
图中的值为．
15.
【解析】过点作，垂足为，
则，
在中，，
所以，
所以，
设，则，
所以，，
所以，
解得，，
所以，
所以．
故答案为：．
16.
【解析】（）如图中，延长交于，过点作于．
由题意：，，
，，
，
，
，
，
，
点到的距离为；
（）如图中，当，，共线时，
过作于．设．
由题意，
，，，，
，
，解得，
，
点到的距离为．
第三部分
17.
18.
当时，
19. （1）如图平行四边形即为所求（点的位置还有种情形可取）．
（2）如图，直线即为所求．
20. （1）本次抽查的人数为：，
，
即的值是；
（2）组别的圆心角度数是：，
即组别的圆心角度数是；
（3）（人），
答：该市名九年级学生达到“视力良好”的有人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．
21. （1），是半径，
，
．
（2）是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22. （1）点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了．
游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）①，
点，点，
，，
点，
设的解析式为，把代入，可得，
，
同理由，可得的解析式为，由题意：，解得，
，
货轮出发后小时追上游轮．
②相遇之前相距时，，解得；
相遇之后相距时，，解得．
或时游轮与货轮何时相距．
23. （1）用描点法画出图形如图，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）如图，
过点，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，则，
记交轴于点，
因为点与点关于轴上的点成中心对称，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为直线的解析式为，
所以时，，
所以，
又因为，
设直线的解析式为，
所以
解得
所以直线的解析式为，
过点作轴于点，
所以点的橫坐标为，
所以，
所以，，
因为，
所以，
令，得，
所以．
当时，的最小值为，
所以的最小值为．
（3）①为定角，不可能为直角．
②时，点与点重合，点与点，点重合，此时．
③如图，
时，有．
由（）得，
又因为，，
所以，又因为，
所以，
化简得，，
解得，（不合题意，舍去），
所以．
综合以上可得，当为直角三角形时，或．
24. （1）（）如图中，是等腰三角形．
理由：
平分，
．
，
．
，
．
，
是等腰三角形．
（）如图中，过点作交于，则．
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
（2）如图中，过点作于，则．
，
，
，
，，
又，，
，设，，则．
．
（3）或．
【解析】设，．
①如图中，连接，当点在线段上时，点在上．
，，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
由题意：，
，即，
，
，
，，
．
②如图中，当点在的延长线上时，点在线段上，连接．
，，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
由题意：，
，即，
，
，
，，
，
综上所述，的值为或．。