【初三英语试题精选】中考总复习题型专项(五)四边形中的简单证明与计算(贵港市带答案)
中考数学复习专项训练五三角形、四边形中的证明与计算类型二四边形中的证明与计算课件
(1)证明：连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD， OB＝OD，
Байду номын сангаас
在△BOE和△DOE中，OE＝OE， BE＝DE，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠EOB＝∠EOD＝90°，
∴AC⊥BD，∴▱ ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA，BD＝2OB， 在Rt△AOB中，tan∠BAO＝tan∠BAC＝OOBA＝2，∴OB＝2OA， ∵OB2＋OA2＝AB2，∴4OA2＋OA2＝102，
∠AED＝∠CEF，∴△CEF≌△AED(SAS)． AE＝CE， (2)由(1)证得△CEF≌△AED， ∴∠A＝∠FCE，∴BD∥CF， ∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
2．(2023·北京)如图，在▱ ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF， AC＝EF. (1)求证：四边形AECF是矩形；
∴当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．
5．(2023·南充)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，E是AM的中点， 连接ED，EC. (1)求证：ED＝EC；
证明：∵E为AM的中点， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠EAD＝∠EBC， ∴△EAD≌△EBC(SAS)， ∴ED＝EC.
1 (2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝2，求BC的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF，∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．
(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)
九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。
中考四边形证明与计算(含答案)
中考四边形证明与计算一．解答题（共16小题）1．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．2．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF ∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．3．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）7．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．8．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．10．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．11．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．12．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．13．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？14．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．15．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H 分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．16．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）（1）求证：EO平分∠AEB．（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．。
中考总复习：四边形的有关计算与证明分类汇编
滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明1．(·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴DF ∥BE.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形．∴BD ∥EF.(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG.∴DG CG ＝DF CE. ∴CE ＝DF·CG DG ＝4×32＝6.2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD.∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°.又∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB.∴DE ∥AC.∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，AD ＝CD ＝5.又∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8.∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18.3．(2016·台州)如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H.(1)求证：△PHC ≌△CFP ；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.又∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC.∴∠CPF ＝∠HCP ，∠CPH ＝∠PCF.∵PC ＝PC ，∴△PHC ≌△CFP(ASA)．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°.∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．S 矩形PEDH ＝S 矩形PFBG .4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)．∴CP ＝AQ.(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°， ∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形．∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE.∴PE ＝2BP ＝ 2.∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝3 2. ∴AQ ＝AE ＝3.∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ＝3，∴BC ＝BP ＋CP ＝1＋3＝4.∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝2×4＝8.5．(2016·毕节)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△AEC ≌△ADB ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE.∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB.在△AEC 和△ADB 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS)．(2)∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°.由(1)得，AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝2AB ＝2 2.∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2.∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．准备一张矩形纸片ABCD ，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD.由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝FB.∴四边形BFDE 是平行四边形．(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S △ABE ＝12AB·AE ＝233， S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3.∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝OC ，△ABC 是等腰直角三角形．在△ACF 中，AC ＝CF ，CF 平分∠ACF ，∴AE ＝EF.∴EO 为△AFC 的中位线．∴CF ＝2EO ＝2 2.∴AC ＝2 2.∴AB ＝AC 2＝2. (2)EM ＝12CN. 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF.∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°.∵∠ANE ＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN.在△ABF 和△CBN 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BCN ，AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，∴△ABF ≌△CBN(ASA)．∴AF ＝CN.∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∴∠ABF ＝∠COM ＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.。
沪科版九年级数学中考复习 四边形相关证明与计算强化训练(含答案)
沪科版九年级数学中考复习四边形相关证明与计算强化训练（含答案）1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.(1) 求证：△AOM≌△CON；(2) 若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为________．2.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：(1) △BDE≌△FAE；(2) 四边形ADCF为矩形．4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，AB的中点．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF ⊥AB，OG∥EF.(1) 求证：四边形OEFG是矩形；(2) 若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．6.如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.(1) 求证：△PBE≌△QDE；(2) 顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．7.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E，F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，，求EF的长；F，连接AF，CE. (1) 若OE＝32(2) 判断四边形AECF的形状，并说明理由．9.如图，四边形ABCD是菱形，H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F.(1) 若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；(2) 若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．点M，N.(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．11.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.(1) 试判定四边形AECF的形状，并说明理由；(2) 求证：AE⊥DE.12.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC 交于M，N两点，连接CM，AN.(1) 求证：四边形ANCM为平行四边形；(2) 若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE.(1) 判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；(2) 连接DF，若BC＝√3，求DF的长．14.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.(1) 求证：△ADE≌△CBF.(2) 连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.(1) 求证：△BAE≌△CDE；(2) 求∠AEB的度数．17.如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是菱形．18.如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与点B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.(1) 求证：AF－BF＝EF.(2) 四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE 的面积为S.，求S的值；(1) 若DE＝√33(2) 设DE＝x，求S关于x的函数解析式．20.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.(1) 求证：EF＝DE；(2) 当AF＝2时，求GE的长．答案1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.(1) 求证：△AOM≌△CON；(2) 若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为________．证明：(1) ∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠M＝∠N.在△AOM和△CON中，{∠M=∠N，∠AOM=∠CON，AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)2.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.∵E 为BC的中点，∴EB＝EC.∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝FC.∵AB∥CF，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF.∴四边形ABFC是矩形3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：(1) △BDE≌△FAE；(2) 四边形ADCF为矩形．证明：(1) ∵AF∥BC，∴∠DBE＝∠AFE.∵E是线段AD的中点，∴DE＝AE.∵∠DEB＝∠AEF，∴△BDE≌△FAE(AAS)(2) ∵△BDE≌△FAE，∴DB＝AF.∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCF为矩形4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，AB的中点．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积证明：(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE.在△ABE和△ADF中，{AB=AD，∠A=∠A，AE=AF，∴△ABE≌△ADF(SAS)(2) 连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.∴△ABD是等边三角形.∵E是边AD的中点，∴BE⊥AD.∴∠ABE＝30°.∴AB＝2AE.∵在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，BE＝√3，∴AE2＋(√3)2＝(2AE)2.∴AE＝1(负值舍去)．∴AB ＝2AE＝2.∴AD＝AB＝2.∴S菱形ABCD＝AD·BE＝2×√3＝2√35.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF ⊥AB，OG∥EF.(1) 求证：四边形OEFG是矩形；(2) 若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．证明：(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD.∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝DE＝12AD.∴∠EAO＝∠AOE.∴∠BAO＝∠AOE.∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°.∴四边形OEFG是矩形(2) ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10.∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝12AD＝5.由(1)，知四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝√AE2−EF2＝3.∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝26.如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.(1) 求证：△PBE≌△QDE；(2) 顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD.∴∠EBP＝∠EDQ.在△PBE和△QDE中，{∠EBP=∠EDQ，EB=ED，∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE(ASA)(2) ∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.同理，可证△BME≌△DNE(ASA)，∴EM＝EN.∴四边形PMQN是平行四边形．∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形7.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E，F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，CD＝CB＝DA＝BA，∠DCA＝∠BCA.∴∠DCF ＝∠BCF.∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF(SAS)．∴DF＝BF.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠DAE＝∠BCF.∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF(SAS)．∴DE＝BF.同理，可证△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE.∴四边形BEDF是平行四边形．∵DF＝BF，∴▱BEDF是菱形8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F ，连接AF ，CE. (1) 若OE ＝32，求EF 的长；(2) 判断四边形AECF 的形状，并说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AO ＝CO.∴ ∠EAO ＝∠FCO.又∵ ∠AOE ＝∠COF ，∴ △AOE ≌△COF(ASA)．∴ OE ＝OF ＝32.∴ EF ＝2OE ＝3(2) 四边形AECF 是菱形理由：∵ △AOE ≌△COF ，∴ AE ＝CF.又∵ 在▱ABCD 中，AE ∥CF ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．又∵ EF ⊥AC ，∴ ▱AECF 是菱形．9.如图，四边形ABCD 是菱形，H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE ⊥AB ，垂足为E ，点F 在AD 的延长线上，CF ⊥AD ，垂足为F. (1) 若∠BAD ＝60°，求证：四边形CEHF 是菱形；(2) 若CE ＝4，△ACE 的面积为16，求菱形ABCD 的面积．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴ ∠EAC ＝∠FAC ＝30°.又∵ CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴ CE ＝CF ＝12AC.∵ H 为对角线AC 的中点，∴ EH ＝FH ＝12AC.∴ CE ＝CF ＝EH ＝FH.∴ 四边形CEHF 是菱形(2) ∵ CE ⊥AB ，CE ＝4，△ACE 的面积为16，∴ 12AE ×4＝16.∴ AE ＝8.设AB ＝x ，则BE ＝8－x.∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ＝BC ＝x.在Rt △BEC 中，由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，即AB ＝5.∴ S 菱形ABCD ＝AB ·CE ＝5×4＝2010.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点M ，N.(1) 求证：四边形BNDM 是菱形；(2) 若BD ＝24，MN ＝10，求菱形BNDM 的周长．证明：(1) ∵ AD ∥BC ，∴ ∠DMO ＝∠BNO.∵ MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴ OB ＝OD ，MN ⊥BD.在△MOD 和△NOB 中，{∠DMO =∠BNO ，∠MOD =∠NOB ，OD =OB ，∴ △MOD ≌△NOB(AAS)．∴ OM ＝ON.∵ OB ＝OD ，∴ 四边形BNDM 是平行四边形．∵ MN ⊥BD ，∴ 四边形BNDM 是菱形 (2) ∵ 四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10，∴ BM ＝BN ＝DM ＝DN ，OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5.在Rt △BOM 中，由勾股定理，得BM ＝√OM 2+OB 2＝√52+122＝13，∴ 菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝5211.如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC ，AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF ，AE ，CF ，DE.(1) 试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； (2) 求证：AE ⊥DE.证明：(1) 四边形AECF 是菱形理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC.∴ ∠OAF ＝∠OCE.∵ 点E 与点F 关于AC 对称，∴ AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF.在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCE ，∠AOF =∠COE ，OF =OE ，∴ △AOF≌△COE(AAS).∴ AF ＝CE.∴ AE ＝AF ＝CE ＝CF.∴ 四边形AECF 是菱形．(2) ∵ BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，∴ ∠ACB ＝30°.∴ ∠B ＝60°.∵ AE ＝CE ，∴ ∠EAC ＝∠ACB ＝30°.∴ ∠BAE ＝90°－30°＝60°＝∠B.∴ △ABE 是等边三角形．∴ AE ＝AB ＝BE ，∠AEB ＝60°.∴ ∠AEC ＝120°.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB ＝CD.∴ ∠DCE ＝180°－∠B ＝120°.又∵ CE ＝AE ，∴ CE ＝BE ＝12BC ＝AB ＝CD.∴ ∠CED ＝∠CDE ＝30°.∴ ∠AED ＝120°－30°＝90°.∴ AE ⊥DE12.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC交于M ，N 两点，连接CM ，AN.(1) 求证：四边形ANCM 为平行四边形；(2) 若AD ＝4，AB ＝2，且MN ⊥AC ，求DM 的长．证明：(1) ∵ 在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，∴ AD ∥BC ，AO ＝CO.∴ ∠OAM ＝∠OCN ，∠OMA ＝∠ONC.在△AOM和△CON 中，{∠OAM =∠OCN ，∠OMA =∠ONC ，AO =CO ，∴ △AOM ≌△CON(AAS)．∴ AM ＝CN.∵ AM ∥CN ，∴ 四边形ANCM 为平行四边形(2) ∵ 在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，由(1)，知AM ＝CN ，∴ DM ＝BN. ∵ 四边形ANCM 为平行四边形，MN ⊥AC ，∴ ▱ANCM 为菱形．∴ AM ＝AN ＝NC ＝AD －DM.∴ 在Rt △ABN 中，根据勾股定理，得AN 2＝AB 2 ＋BN 2.∴ (4－DM)2＝22＋DM 2.∴ DM ＝3213.如图，四边形ABCD 为矩形，G 是对角线BD 的中点，连接GC 并延长至点F ，使CF ＝GC ，以DC ，CF 为邻边作菱形DCFE ，连接CE.(1) 判断四边形CEDG 的形状，并证明你的结论； (2) 连接DF ，若BC ＝√3，求DF 的长．证明：(1) 四边形CEDG 是菱形∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ ∠BCD ＝90°.∵ 在Rt △BCD 中，G 是BD 的中点，∴ GC ＝12BD＝GD ＝BG.∵ 四边形DCFE 是菱形，∴ CF ＝DE ，DE ∥CF ，即DE ∥GC.∵ CF ＝GC ，∴ DE ＝GC.∴ 四边形CEDG 是平行四边形．又∵ GC ＝GD ，∴ ▱CEDG 是菱形(2) 设DF 交CE 于点N.∵ 四边形DCFE 是菱形，∴ DF ⊥CE ，DF ＝2DN ，DC ＝CF ＝DE.∵ CF ＝GC ，∴ DC ＝BG ＝GD.∵ 在Rt △BCD 中，DC 2＋(√3)2＝(2DC)2.∴ DC ＝1.∵ 四边形CEDG 是菱形，∴ DE ＝CE.∴ DE ＝CE ＝DC.∴ △DCE 是等边三角形．∴ ∠DCE ＝60°.∴ 在Rt △DNC 中，∠CDN ＝30°.∴ CN ＝12DC ＝12.∴ DN ＝√DC 2−CN 2＝√32.∴ DF ＝2×√32＝√314.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.(1) 求证：△ADE≌△CBF.(2) 连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ADE＝∠CBF.在△ADE和△CBF中，{AD=CB，∠ADE=∠CBF，DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)(2) 当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∴▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD，即AC⊥EF.∵DE＝BF，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，∠COD＝90°.∴∠DOF＋∠COF＝90°.∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF.∴△COE ≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF16.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1) 求证：△BAE≌△CDE；(2) 求∠AEB的度数．证明：(1) ∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°.∴∠EAB＝∠EDC＝150°.在△BAE和△CDE中，{AB=DC，∠EAB=∠EDC，AE=DE，∴△BAE≌△CDE(SAS)(2) ∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB.∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝12×(180°－150°)＝15°17.如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°.在△ABE和△ADE中，{AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE.同理，可证△BFC≌△DFC，∴BF＝DF.在△ABF和△CBE中，{AB=CB，∠BAF=∠BCE，AF=CE，∴△ABF≌△CBE(SAS)．∴BF＝BE.∴BE＝BF＝DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形18.如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与点B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.(1) 求证：AF－BF＝EF.(2) 四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝DA ，∠BAF ＋∠DAE ＝90°.∵ DE ⊥AG ，∴ ∠AED ＝∠GED ＝90°.∴ ∠DAE ＋∠ADE ＝90°.∴ ∠BAF ＝∠ADE.∵ BF ∥DE ，∴ ∠BFA ＝∠GED ＝∠AED.∴ △ABF ≌△DAE(AAS).∴ BF ＝AE.∴ AF －BF ＝AF －AE ＝EF (2) 四边形BFDE 不可能是平行四边形 理由：如图，连接AC ，BE ，DF.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD.∴ ∠DAC ＝45°.假设四边形BFDE 是平行四边形，∴ BF ＝DE.由(1)，得∠AED ＝90°，AE ＝BF ，∴ AE ＝DE.∴ ∠EAD ＝∠EDA ＝45°.此时点G 与点C 重合，这与“G 是BC 边上任意一点(不与点B ，C 重合)”矛盾，∴ 假设不成立，即四边形BFDE 不可能是平行四边形．19.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为边CD 上的一点(不与点C ，D 重合)，四边形 ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，延长ME 交AB 于点P ，记四边形PADE 的面积为S.(1) 若DE ＝√33，求S 的值；(2) 设DE ＝x ，求S 关于x 的函数解析式．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠D ＝90°，AB ∥CD.∵ 在Rt △ADE 中，AD ＝1，DE ＝√33，∴ AE ＝√AD 2+DE 2＝2√33.∴ AE ＝2DE.∴ ∠EAD ＝30°.∴ ∠AED ＝90°－∠EAD ＝60°.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAE ＝∠AED ＝60°.∵ 四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，∴ ∠AEC ＝∠AEM.∵ ∠PEC ＝∠DEM ，∴ ∠AEP ＝∠AED ＝60°.∴ ∠AEP ＝∠BAE.∴ PE ＝PA.∴ △APE 为等边三角形．∴ PA ＝AE ＝2√33.∴ S ＝12 (DE ＋PA)×AD ＝12×(√33+2√33)×1＝√32(2) 过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F.由(1)，可知∠AEP ＝∠AED ＝∠PAE ，∴ AP ＝PE.设AP ＝PE ＝a ，AF ＝DE ＝x ，则PF ＝|a －x|，EF ＝AD ＝1. ∴ 在Rt △PEF 中，|a －x|2＋1＝a 2，解得a ＝x 2+12x.∴ S ＝S △ADE ＋S △APE ＝12x ×1＋12×x 2+12x×1＝3x 2+14x20.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，连接DE ，作EF ⊥DE 交射线BA 于点F ，过点E 作MN ∥BC 分别交CD ，AB 于点M ，N ，作射线DF 交射线CA 于点G. (1) 求证：EF ＝DE ；(2) 当AF ＝2时，求GE 的长．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴ AB ∥CD ，AB ＝DC ＝BC ，∠DCB ＝∠B ＝90°，∠ECM ＝12∠DCB ＝45°.∵ MN ∥BC ，∠BCM ＝90°，∴ ∠NMC ＋∠BCM ＝180°，∠MNB ＋∠B ＝180°.∴ ∠NMC ＝90°，∠MNB ＝90°.∴ ∠MEC ＝∠MCE ＝45°，∠DME ＝∠ENF ＝90°.∴ MC ＝ME.∵ AB ∥CD ，MN ∥BC ，∴ 四边形MNBC 为平行四边形．∴ MN ＝BC.∴ DC ＝MN.∴ DC －MC ＝MN －ME ，即DM ＝EN.∵ DE ⊥EF ，∴ ∠DEF ＝90°.∴ ∠DEM ＋∠FEN ＝90°.∵ ∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴ ∠EDM ＝∠FEN.在△DME 和△ENF 中，{∠EDM =∠FEN ，DM =EN ，∠DME =∠ENF ，∴ △DME ≌△ENF(ASA).∴ EF＝DE(2) 当点F 在线段AN 上时，由(1)，知△DME ≌△ENF ，∴ ME ＝NF.∵ 四边形MNBC 是平行四边形，∴ MC ＝BN.又∵ ME ＝MC ，AB ＝4，AF ＝2，∴ BN ＝MC ＝NF ＝1.∵ ∠EMC ＝90°，∴ CE ＝√2.∵ AF ∥CD ，∴ △DGC ∽△FGA.∴ CDAF ＝CGAG .∴ 42＝CGAG .∵ AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，∴ AC ＝4√2.∵ AC ＝AG ＋GC ，∴ AG ＝4√23，CG ＝8√23.∴ GE ＝CG －CE ＝8√23−√2＝5√23；当点F 在线段NA 的延长线上时，如图，同理，可得FN ＝BN.∵ AF ＝2，AB ＝4，∴ AN ＝1.∵ AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，∴ AC ＝4√2.∵ AF ∥CD ，∴ △GAF ∽△GCD.∴ AFCD ＝GAGC .∴ 24＝AG+4√2.∴ AG ＝4√2.∵ AN ＝NE ＝1，∠ENA ＝90°，∴ AE ＝√2.∴ GE ＝AG ＋AE ＝4√2+√2＝5√2.综上所述，GE 的长为5√23或5√2。
广西贵港市中考数学总复习第五单元四边形单元测试(五)四边形试题
单元测试(五）四边形(时间:45分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分,共24分）1．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( B )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2．下列四个命题中，正确的是( D ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．平行四边形的每条对角线平分一组对角D．正方形的对角线互相平分3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2,则BD的长为( A ）A．4 B．3 C．2 D．14．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( B )A．∠A＝∠C,∠B＝∠DB．AB∥CD,AD＝BCC．AB∥CD,∠A＝∠CD．AB∥CD,AB＝CD5．（2016·河北）关于▱ABCD的叙述,正确的是（ C ）A．若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD,则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD,则▱ABCD是正方形6．（2015·本溪）如图，▱ABCD的周长为20 cm，AE平分∠BAD,若CE＝2 cm,则AB的长度是( D )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E,F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( A )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF＝1，CE，DF交于点O。
下列结论:①∠DOC＝90°;②OC＝OE；③tan∠OCD＝43；④S△ODC＝S四边形BEOF中，正确的有( C ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题4分，共16分）9．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a－5）2＋错误!＝0，那么菱形的面积等于10．10．（2016·巴中)如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是1<a<7．11．(2015·本溪)如图，在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝错误!．12．(2016·岑溪一模)如图，正方形ABCD的边长为8，O是BC的中点，点P是对角线AC上一动点,则PO＋PB的最小值为4错误!．三、解答题（共60分)13．（10分)在▱ABCD中,对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD，BC于点E，F.（1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母;(2)求证:DE＝BF。
2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(五)
2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（五）1．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．2．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC ＝，AB＝2，求GE的长．3．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．4．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为．5．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．8．我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形ABCD中，G是射线DB上的一个动点（点G不与点D重合），以CG为边向下作正方形CGEF．（1）当点G在线段BD上时，求证：∠DCG＝∠BCF；（2）连接BF，试探索：BF，BG与AB的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝a（a是常数），如图2，过点F作FT∥BC，交射线DB于点T，问在点G 的运动过程中，GT的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出GT的长度；若变化，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，点F从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形的边于点G，连接FG．设点F运动的路程为x，△EFG的面积为S．（1）当点F与点A重合时，点G恰好到达点D，此时x＝，当EF⊥BC时，x ＝；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当S＝15时，求此时x的值．10．把一副三角板按如图1所示放置，其中点E在BC边上，∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝CD＝6，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．（1）在图1中，设AB与DE的交点为F，则线段AF的长为；（2）当α＝15°时，三角板DCE旋转到△D1CE1的位置（如图2所示），连接D1A，D1B，请判断四边形ACBD1的形状，并证明你的结论；（3）当三角板DCE旋转到△D2CE2的位置（如图3所示）时，此时点D2恰好在AB延长线上．①求旋转角α的度数；②求线段AD2的长．参考答案1．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．2．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣1＝13，∴．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．4．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．5．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形7．（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论仍然成立．理由：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD．8．解：（1）∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴CD＝CB，CG＝CF，∠BCD＝∠FCG＝90°，∵∠DCG＝90°﹣∠BCG，∠BCF＝90°﹣∠BCG，∴∠DCG＝∠BCF；（2）BF+BG＝AB，理由：在Rt△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，在Rt△ABD中，AD＝AB，∴BD＝AB，∵BD＝DG+BG＝BF+BG，∴BF+BG＝AB；（3）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，由（2）知，△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，∠CDG＝∠CBF＝45°，∴∠DBF＝∠CBD+∠CBF＝90°，∴∠FBT＝90°，∵FT∥CB，∴∠BTF＝∠CBD＝45°，∴∠BFT＝45°＝∠BTF，∴BF＝BT，∴DG＝BT，∴GT＝BG+BT＝BG+DG＝BD＝AB＝a．9．解：（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：①当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴＝，即＝＝，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴＝，即＝，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102 即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±2（负值舍去），∴x＝﹣6+2；当x2﹣21x+102＝15时，解得：x＝14±4（不合题意舍去）；∴当S＝15时，此时x的值为﹣6+2．10．（1）解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，在Rt△CDE中，∠D＝30°，CD＝6，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝﹣3，在Rt△BEF中，∠B＝90°﹣∠A＝45°，∴BF＝BE＝6﹣3，∴AF＝AB﹣BF＝3，故答案为：3；（2）四边形ACBD1是正方形，理由：∵∠BCE1＝α＝15°，∴∠D1CB＝45°＝∠BAC，由旋转知，CD1＝CD，∵CD＝AB，∴CD1＝AB，∵BC＝AC，∴△D1CB≌△BAC（SAS），∴D1B＝BC，同理可证：D1A＝AC，又∴AC＝BC，∴D1A＝AC＝BC＝BD1，∴四边形ACBD1是菱形，又∠ACB＝90°，∴菱形ACBD1是正方形．（3）①取AB边的中点H，连接CH，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB＝6，∴CH⊥AB，且AH＝CH＝AB＝3，∵△D2CE2是直角三角形，且斜边CD2＝6，∠CD2E2＝30°，∴CE2＝3，又∵∠CHD2＝∠E2＝90°，∴Rt△D2CH≌Rt△D2CE2（HL），∴∠HD2C＝∠E2D2C＝30°，又∵∠ABC＝45°，∴∠BCD2＝15°，又∵∠E2CD2＝60°，则旋转角α＝∠BCE2＝75°；②在Rt△D2CE2中，D2E2＝CE2＝3，∵Rt△D2CH≌Rt△D2CE2，∵D2H＝D2E2＝，AH＝3，∴AD 2＝AH+D2H＝3+．。
四边形几何证明题精选含解析
四边形几何证明精选一、解答题1.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.当∠MAB绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．2.如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：△DEF是等腰三角形．3.【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】(1)如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．(2)如图2，若点E是BC边上的任意一点(B、C除外)，∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，若点E是BC延长线(C除外)上的任意一点，求证：AE=EF．4.如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，连接CE．(1)求证：△PCE是等腰直角三角形；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，判断△PCE的形状，并说明理由．5.如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．6.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．(1)猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．7.如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证：(1)BF=DF；(2)BF⊥FE．8.如图所示，E、F分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点，AG//DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE//BF；(2)若∠G=90°，判断四边形DEBF的形状，并说明理由．9.如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：(1)△ADA′≌△CDE；(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．10.如图，在▱ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．11.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．12.已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF//BC交CD于点O．(1)求证：OE=OF；(2)若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．(1)证明：AF=CE；(2)当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．14.如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF//DE且交AG于点F．(1)求证：AE=BF；(2)如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．(1)证明：四边形BDFG是菱形；(2)若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．16.已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17.如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．18.如图，EF是平行四边ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD,BC分别交于点E,F.(1)求证：四边形BFDE是菱形；(2)若ED=5，BD=8，求菱形BFDE的面积．19.如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于F，连接AF、CE．(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)当四边形AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．20.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH//BC分别交AF，CD于G，H两点．(1)求证：DE=DC；(2)求证：AF⊥BF；答案和解析1.【答案】解：(1)BM +DN =MN 成立．证明：如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，则可证得E 、B 、M 三点共线(图形画正确)．∴∠EAM =90°−∠NAM =90°−45°=45°，又∵∠NAM =45°，∴在△AEM 与△ANM 中，{AE =AN ∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴ME =MN ，∵ME =BE +BM =DN +BM ，∴DN +BM =MN ；(2)DN −BM =MN ．在线段DN 上截取DQ =BM ，在△ADQ 与△ABM 中，∵{AD =AB∠ADQ =∠ABM DQ =MB，∴△ADQ≌△ABM(SAS)，∴∠DAQ =∠BAM ，∴∠QAN =∠MAN ．在△AMN 和△AQN 中，{AQ =AM ∠QAN =∠MAN AN =AN，∴△AMN≌△AQN(SAS)，∴MN =QN ，∴DN −BM =MN ．【解析】(1)结论：BM +DN =MN 成立，证得B 、E 、M 三点共线即可得到△AEM≌△ANM ，从而证得ME =MN ．(2)结论：DN −BM =MN.首先证明△ADQ≌△ABM ，得DQ =BM ，再证明△AMN≌△AQN(SAS)，得MN =QN ，本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =CD ．由折叠的性质可得：BC =CE ，AB =AE ，∴AD =CE ，AE =CD ．在△ADE 和△CED 中，{AD =CEAE =CD DE =ED，∴△ADE≌△CED(SSS)．(2)由(1)得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【解析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD= CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED(SSS)；(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：(1)根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；(2)利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．3.【答案】(1)证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：∵M是AB的中点，E是BC的中点，∴在正方形ABCD中，AM=EC，∵CF是∠DCG的平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°，∵BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠BEA+∠CEF=90°，∠MAE+∠BEA=90°，∴∠MAE=∠CEF，在△AME与△ECF中，{∠MAE=∠CEF AM=EC∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；(2)证明：取AB上的任意一点M，使得AM=EC，连结EM，如图2：∵AE⊥EF，AB⊥BC，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，∴∠MAE=∠CEF，∵AM=EC，∴在正方形ABCD中，BM=BE，∴∠AME=∠ECF=135°，在△AME与△ECF中，{∠MAE=∠CEF AM=EC∠AME=∠ECF，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；(3)证明：取BA延长线上的一点N使得AN=CE，如图3：∵AN=CE，AB⊥BC，∴∠ANE=45°，∴∠ECF=∠ANE=45°，∵AD//BE，∴∠DAE=∠BEA，∵NA⊥AD，AE⊥EF，∴∠NAE=∠CEF，在△ANE与△ECF中，{∠NAE=∠CEFAN=CE∠ANE=∠ECF，∴△ANE≌△ECF(ASA)，∴AE=EF．【解析】(1)取AB的中点M，连结EM，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；(2)在AB上取一点M，使AM=EC，连接EM，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，利用全等三角形的性质证明即可．(3)在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，利用全等三角形的性质证明即可．此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法．4.【答案】(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA和△PDC中，{PD=PD∠PDA=∠PDC DA=DC，∴△PDA≌△PDC，∴PA=PC，∠3=∠1，∵PA=PE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，∴∠FPC=∠EDF=90°，∴△PEC是等腰直角三角形．(2)解：如图2中，结论：△PCE是等边三角形．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，在△PDA和△PDC中，{PD=PD∠PDA=∠PDC DA=DC，∴△PDA≌△PDC，∴PA=PC，∠3=∠1，∵PA=PE，∴∠2=∠3，PA=PE=PC，∴∠1=∠2，∵∠DFE=∠PFC，∴∠EPC=∠EDC，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴∠EPC=60°，∵PE=PC，∴△PEC是等边三角形．【解析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=∠EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；(2)由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA=PE= PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形．5.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC−∠CBF=∠EBF−∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有{AB=CB∠ABF=∠CBE BF=BE，∴△ABF≌△CBE(SAS)．(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°−∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB−∠FEB=135°−45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【解析】(1)由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；(2)根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB= 135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：(1)根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；(2)通过角的计算得出∠CEF=90°.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．6.【答案】解：(1)延长BG交DE于点H，在△BCG与△DCE中，{BC=DC∠BCG=∠DCECG=CE,∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，∵∠BGC=∠DGH，∴∠DHB=∠BCG=90°，∴BG⊥DE；(2)BG=DE，BG⊥DE仍然成立如图2，∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，在△BCG与△DCE中，{BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE,∴△BCG≌△DCE(SAS)，∵∠BHC=∠DHG，∴∠BCD=∠DOB=90°，即BG⊥DE【解析】(1)延长BG交DE于点H，易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠DHB=90°；(2)易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠BCD=90°．本题主要考查正方形，涉及正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，综合程度较高，需要学生根据所学知识灵活解答．7.【答案】证明：如图所示：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，{AB=AD ∠BAF=∠DAF AF=AF ，∴△BAF≌△DAF(SAS)，∴BF=DF；(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．【解析】(1)由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF≌△DAF，得出对应边相等即可；(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE= 90°即可．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=12AB，DF=12CD．∴BE=DF，BE//DF，∴四边形DFBE是平行四边形，(2)解：四边形DEBF 是菱形；理由如下：∵∠G =90°，AG//BD ，AD//BG ，∴四边形AGBD 是矩形，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中∵E 为AB 的中点，∴AE =BE =DE ，∵四边形DFBE 是平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形．【解析】(1)根据已知条件证明BE =DF ，BE//DF ，从而得出四边形DFBE 是平行四边形，即可证明DE//BF ，(2)先证明DE =BE ，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．9.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADC =90°，∴∠A′DE =90°，根据旋转的方法可得：∠EA′D =45°，∴∠A′ED =45°，∴A′D =ED ，在△AA′D 和△CED 中{AD =CD∠ADA′=∠CDE A′D =ED，∴△ADA′≌△CDE(SAS)；(2)由正方形的性质及旋转，得CD =CB′，∠CB′E =∠CDE =90°，又CE =CE ，∴Rt △CEB′≌Rt △CED∴∠B′CE =∠DCE ，∵AC =A′C∴直线CE 是线段AA′的垂直平分线．【解析】(1)根据正方形的性质可得AD =CD ，∠ADC =90°，∠EA′D =45°，则∠A′DE =90°，再计算出∠A′ED =45°，根据等角对等边可得A′D =ED ，即可利用SAS 证明△ADA′≌△CDE ；(2)首先由AC =A′C ，可得点C 在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED ，可得AE =A′E ，进而得到点E 也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE 是线段AA′的垂直平分线．此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．10.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//DF ，∴∠BAF =∠CFA ．∵E 为BC 的中点，在△AEB和△FEC中，{∠BAE=∠CFA ∠AEB=∠FEC BE=EC，∴△AEB≌△FEC(AAS)∴AB=CF；(2)解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，理由：∵AB=CF，AB‖CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC=AF，∴四边形ABFC是矩形．【解析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出△AEB≌△FEC(AAS)是解题关键．(1)利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC(AAS)，求出答案；(2)首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．11.【答案】(1)证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；(2)当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【解析】(1)利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．12.【答案】证明：(1)∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，∵EF//BC，∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；(2)∵点O为CD的中点，∴OD=OC，又OE=OF，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE=12∠BCD,∠DCF=12∠DCG，，即∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．【解析】本题利用了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、等量代换、平行四边形的判定、矩形的判定．(1)由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF//BC，于是∠FEC=∠BCE，等量代换∠FEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；(2)由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．13.【答案】(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE//AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF//AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；(2)解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=12AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．【解析】(1)由三角形中位线定理得出DE//AC，AC=2DE，求出EF//AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；(2)由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=12AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．14.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中，{∠BAF=∠ADE∠AFB=∠DEA=90°DA=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，(2)AF+EF=BF；∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中，{∠BAF=∠ADE∠AFB=∠DEA=90°DA=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，AF=DE，∴AF+EF=BF．【解析】(1)根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，AF=DE，然后根据图形列式整理即可得证；(2)根据题意作出图形，然后根据(1)的结论可得BF=AE，AF=DE，然后结合图形写出结论即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键．15.【答案】(1)证明：∵AG//BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=12AC，∴四边形BDFG是菱形；(2)解：∵四边形BDFG是菱形，∠ABC=90°，点D为AC的中点，∴GF=DF=12AC=5，∵CF⊥AG，∴AF=√AC2−CF2=√102−62=8，∴AG=AF+GF=8+5=13．【解析】(1)首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BDFG是菱形；(2)由菱形的性质求得GF=DF=12AC=5，由勾股定理得AF的长，继而求得AG的长．本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边的中线的性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想是解答此题的关键．16.【答案】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，{∠BOE=∠AOF OB=OA ∠OBE=∠OAF ，∴△BOE≌△AOF(ASA)，∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，{∠BOE=∠AOF OB=OA ∠OBE=∠OAF ，∴△BOE≌△AOF(ASA)，∴OE=OF．【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质有关知识．①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．17.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC、AD//BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE//DF，又∵AD//BC，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°−∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【解析】(1)由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE//DF，根据AD//BC即可得证；(2)当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．18.【答案】(1)证明：∵EF垂直平分BD，∴OB=OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFCE为菱形；(2)解：∵BD=8，∴OD=4且ED=5，∴EO=3，∴S菱形BFDE =12BD×EF=EO·BD=3×8=24．【解析】本题主要考查平行四边形的性质、垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．(1)先证明△DOE≌△BOF，得出OE=OF，再根据EF垂直平分BD，可得出四边形BFDE 为菱形；(2)根据勾股定理可得出OE的长，根据菱形的面积求解即可．19.【答案】(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴BC//AD(平行四边形的对边相互平行)，∴∠ADE=∠CBD，AD=BC又∵AM丄BC(已知)，∴AM⊥AD；∵CN丄AD(已知)，∴AM//CN，∴AE//CF；在△ADE和△CBF中，{∠DAE=∠BCF AD=CB∠ADF=∠CBE∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)，∴四边形AECF为平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)；(2)如图，连接AC交BF于点0，当四边形AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，∵BO=OD(平行四边形的对角线相互平分)，∴AC与BD互相垂直平分，∴▱ABCD是菱形(对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形)，∴AB=BC(菱形的邻边相等)；∵M是BC的中点，AM丄BC(已知)，∴AB=AC(等腰三角形的性质)，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°．【解析】(1)根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE//CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(2)根据M是BC的中点，AM丄BC(已知)，可证明△ABC为等边三角形，然后根据三线合一定理即可求解．本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；(2)如图，连接DF，∵DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=12EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，{BF=CF∠ABF=∠DCF AB=DC，∴△ABF≌△DCF(SAS)，∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；(3)CE=4√7．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH//BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴GFEF =EFAF，即EF2=AF⋅GF，∵AF⋅GF=28，∴EF=2√7，∴CE=2EF=4√7．【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE=∠DEC，进而得出DE=DC；(2)连接DF，根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF=12EC，再根据SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，据此可得AF⊥BF；(3)根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根据公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，进而得出EF2=AF⋅GF=28，求得EF=2√7，即可得到CE=2EF= 4√7．本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。
2019年中考专项训练四边形的证明与计算
四边形的证明与计算1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，BD=2，求OE的长2.如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：△AFD△△BFE；（2）求证：四边形AEBD是菱形；（3）若DC＝，tan△DCB＝3，求菱形AEBD的面积．3.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EF△EC交边AB于点F，交CB 的延长线于点G，且EF=EC．（1）求证：CD=AE（2）若DE=6，矩形ABCD的周长为48，求CG的长4.如图，在矩形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ，AG=CG（1）求证：四边形ABCD 是正方形（2）求证：2CG GE GF =（3）若AE=EG ，求tan GAB ∠的值5.已知：如图,在Rt △ABC 中,△ACB ＝90°,点M 是斜边AB 的中点,MD△BC,且MD ＝CM,DE△AB 于点E,连接AD,CD.(1)求证：△MED△△BCA ；(2)求证：△AMD△△CMD ；(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2＝175S 1时,求cos △ABC 的值.6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，E 、F 分别是AC 、BC 上的点（点E 不与端点A 、C 重合），连接EF 并取EF 的中点O ，连接DO 并延长至点G ，使GO ＝OD ，连接DE 、GE 、GF ．（1）求证：四边形EDFG 是平行四边形；（2）若AE ＝CF ，探究四边形EDFG 的形状？（3）在（2）的条件下，当E 点在何处时，四边形EDFG 的面积最小，并求出最小值．7.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4），连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为α（0°＜α＜360°），得到矩形ADEF，点O，C，B的对应点分别为D，E，F．（△）如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；（△）在（△）的情况下，AB与DE交于点H．△求证△BDE△△DBA；△求点H的坐标．（△）α为何值时，FB＝F A．（直接写出结果即可）8.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究△EBF的度数是否为定值，并说明理由；（3）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长．9.如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG＝6,EG＝25,求BE的长.10.如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF ，交点为G ．若正方形的边长为4（1）求证：AE △BF ；（2）将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求AQ 的长；（3）将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，求四边形MNGH 的面积．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，把矩形COAB 绕点C 顺时针旋转α角，得到矩形CFED ．设FC 与AB 交于点H ，且A （0，4），C （8，0）．（1）当α＝60°时，△CBD 的形状是 ；（2）设AH ＝m△连接HD ，当△CHD 的面积等于10时，求m 的值；△当0°＜α＜90°旋转过程中，连接OH ，当△OHC 为等腰三角形时，请直接写出m 的值．12. 已知在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ≥AC,D,E 分别为AC,BC 边上的点(不包括端点), 且DC BE ＝AC BC＝m,连接AE,过点D 作DM ⊥AE,垂足为点M,延长DM 交AB 于点F. (1)如图1,过点E 作EH⊥AB 于点H,连接DH.①求证：四边形DHEC 是平行四边形；②若m ＝22,求证：AE ＝DF ； (2)如图2,若m ＝35,求DF AE的值.。
中考复习题型专项：四边形的有关证明与计算
题型专项：四边形的有关证明与计算四边形的有关证明与计算是历年中考的必考内容之一，通常与三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题．难度中等，复习时应予以重视．【例】 （2019·云南模拟）已知：如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于点G.（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形BEDF 是菱形，求四边形AGBD 的面积．【思路点拨】 （1）通过已知条件得出AD ＝CB ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝CF ，通过“SAS ”即可证明△ADE ≌△CBF ；（2）先证明四边形AGBD 是矩形，然后利用勾股定理求出BD ，进而求出四边形AGBD 的面积．【自主解答】 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DA ＝BC ，∠DAE ＝∠C ，CD ＝AB.∵E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，∴AE ＝12AB ，CF ＝12CD. ∴AE ＝CF.∴△ADE ≌△CBF （SAS ）．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BG.又∵BD ∥AG ，∴四边形AGBD 是平行四边形．∵四边形BEDF 是菱形，∴DE ＝BE.∵AE ＝EB ，∴DE ＝AE ＝EB.∴∠ADE ＝∠EAD ，∠EDB ＝∠EBD.∵∠EAD ＋∠EDA ＋∠EDB ＋∠EBD ＝180°，∴∠EDA ＋∠EDB ＝90°，即∠ADB ＝90°.∴四边形AGBD 是矩形．∵BD ＝AB 2－AD 2＝43，∴S 矩形AGBD ＝AD ·DB ＝16 3.1．（2018·玉溪红塔区模拟）如图，在△AEC 中，AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，四边形BECD 是平行四边形，BD 与AC 交于点O ，连接AD.（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB ＝1，tan ∠BCE ＝12，求AC 的长．解：（1）证明：∵AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，∴AB ＝BE ，CB ⊥AE.∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°.∵四边形BECD 是平行四边形，∴BE ＝DC 且BE ∥DC.∴AB ＝DC 且AB ∥DC.∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．（2）由（1）知AB ＝BE ＝1，∵tan ∠BCE ＝BE BC ＝12，∴BC ＝2. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝ 5.2．（2018·昆明盘龙区二模）如图，已知AB ＝AE ＝CD ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.（1）求证：△DCA ≌△EAC ；（2）若AB ∥CD ，只需再添加一个条件，即________，可使四边形ABCD 为正方形，请加以证明．解：（1）证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AE ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC （SSS ）． （2）添加AB ＝AD （答案不唯一）．证明：∵AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°.由（1）得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°.∴四边形ABCD 为矩形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形．3．（2019·云南考试说明）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，BD 与AE ，AF 分别相交于G ，H 两点．（1）求证：△ABE ∽△ADF.（2）若AG ＝AH ，求证：四边形ABCD 是菱形．证明：（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF.∴△ABE ∽△ADF.（2）∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG ＝∠DAH.∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG.∴∠AGB ＝∠AHD.∴△ABG ≌△ADH （SAS ）．∴AB ＝AD.又∵四边形ABCD 是平行四边，∴四边形ABCD 是菱形．4．（2019·新疆）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连接OE.过点C 作CF ∥BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF.求证：（1）△ODE ≌△FCE ；（2）四边形OCFD 是矩形．证明：（1）∵CF ∥BD ，∴∠ODE ＝∠FCE.∵E 是CD 中点，∴CE ＝DE.在△ODE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODE ＝∠FCE ，DE ＝CE ，∠DEO ＝∠CEF ，∴△ODE ≌△FCE （ASA ）．（2）∵△ODE ≌△FCE ，∴OD ＝FC.∵CF ∥BD ，∴四边形OCFD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.∴∠COD ＝90°.∴四边形OCFD 是矩形．5．（2019·大理祥云县一模）如图，已知在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是AD ，AE ，DE 的中点．（1）求证：四边形AGHF 是平行四边形；（2）若BC ＝10 cm ，当四边形EHFG 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．解：（1）证明：∵点F ，G ，H 分别是AD ，AE ，DE 的中点，∴FH ∥AE ，GH ∥AD.∴四边形AGHF 是平行四边形．（2）当四边形EHFG 是正方形时，连接EF ，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH.∵在△AED 中，点G ，H 分别是AE ，DE 的中点，∴GH ＝12AD ＝12BC ＝5 cm ，且GH ∥AD. ∴EF ⊥AD.∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴AB ＝EF ＝GH ＝5 cm.∴S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝5×10＝50（cm 2）．6．（2019·昆明模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且2DE ＝AC ，连接AE 交OD 于点F ，连接CE ，OE.（1）求证：OE ＝AB ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，求AE 的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ，AD ＝AB. ∵DE ∥AC 且2DE ＝AC ，∴DE ＝OA ＝OC.∴四边形OADE 和四边形OCED 都是平行四边形．∴OE ＝AD.∴OE ＝AB.（2）∵AC ⊥BD ，∴四边形OCED 是矩形．∴∠OCE ＝90°.∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．∴AC ＝AB ＝2，AO ＝12AC ＝1.∴在矩形OCED 中，CE ＝OD ＝AD 2－AO 2＝ 3. ∴在Rt △ACE 中，AE ＝AC 2＋CE 2＝7.。
中考数学 中档题突破 专项训练五 三角形、四边形中的证明与计算 类型二：四边形中的证明与计算
(1)求证：四边形 EFGH 是矩形； (1)证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，∴EH∥FG， 由题意知 BF＝2t cm，EH＝t cm， ∵在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°，∴FG＝12BF＝t，∴EH＝FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形， ∵∠FGH＝90°，∴四边形 EFGH 是矩形．
(2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．
解：如图②，延长FE交CB的延长线于点M， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM， ∵E是边AB的中点，∴AE＝BE， ∴△AEF≌△BEM(AAS)， ∴EF＝EM，AF＝BM，
∠A＝∠MFN，
AB＝FM， ∴△ABE≌△FMN(ASA)． ∠ABE＝∠FMN，
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长． 解：连接ME，∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为点O，
∴BM＝EM，设BM＝ME＝x，∴AM＝8－x，
在Rt△AME中，x2＝(8－x)2＋62，
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(2)连接 FC，EC，点 F，E 在运动过程中，△BFC 与△DCE 是否能够全等？ 若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由． (2)解：△BFC 与△DCE 能够全等， ∵在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2 3 cm， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2 3 cm，AB∥CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
(1)求证：△ABE≌△FMN；
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，AB∥CD， 又∵MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形，∴AD＝MF， ∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为点O， ∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN＋∠BMO＝∠BMO＋∠MBO＝90°， ∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，
2019年中考数学总复习提分专练06与四边形有关的计算与证明练习湘教版
提分专练(六)与四边形有关的计算与证明|类型1| 平行四边形背景问题1.[2018·曲靖]如图T6-1,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上的两点,且EM=FN,连接AN,CM.(1)求证:△AFN≌△CEM.(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.图T6-12.[2018·贵阳]如图T6-2,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF 关于AG对称.(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求△AFD的面积.图T6-2|类型2| 特殊四边形背景问题3.[2018·德阳]如图T6-3,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)EF与CB的延长线相交于点H,连接AH,若ED=2,求AH的值.图T6-34.[2018·呼和浩特]如图T6-4,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.图T6-45.[2018·遵义]如图T6-5,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T6-56.[2018·江西]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图T6-6①,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是.(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图②,图③中的一种情况予以证明或说明理由).(3)如图④,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2,BE=219,求四边形ADPE的面积.图T6-6参考答案1.解:(1)证明:由于四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD ,所以∠CEM=∠AFN ,又AF=CE ,EM=FN ,所以△AFN ≌ △CEM.(2)因为∠CMF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM ,所以∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°= 5°.因为△AFN ≌△CEM ,所以∠NAF=∠ECM= 5°.因此∠NAF 的度数是 5°.2.解:(1)证明:在平行四边形ABCD 中,AE 是BC 边上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵点F 是DE 的中点, ∴在Rt △AED 中,FE=AF.∵AE 与AF 关于AG 对称, ∴AE=AF.∴AE=AF=EF.∴△AEF 是等边三角形.(2)∵△AEF 是等边三角形,∴∠EAF=∠AEF=60°,∴∠EAG=∠EDA= 0°.∵AB 与AG 关于AE 对称,∴∠BAE=∠EAG= 0°.在Rt △ABE 中,AB=2,∴BE=12AB=1,∴AE= 22-12= .∴DE=2 ,∴AD=3.S △AFD =12S △ADE =12×12×AE×AD=12×12× ×3=.3.解:(1)证明:∵EF ⊥EC , ∴∠CEF=90°, ∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=∠D=90°, ∴∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC. ∵AE=DC ,∴△AEF ≌△DCE ,∴ED=AF. ∵AE=DC=AB=2DE , ∴AB=2AF ,∴点F 是AB 的中点. (2)由(1)得AF=FB ,且AE ∥BH ,∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF , ∴△AEF ≌△BHF ,∴AE=HB. ∵ED=2,且AE=2ED , ∴AE=4,∴HB=AB=AE=4, ∴AH 2=AB 2+BH 2=16+16=32, ∴AH=4 2.4.解:(1)证明:∵AB ∥DE ,∴∠A=∠D. ∵AF=CD ,∴AC=DF.又∵AB=DE ,∴△ABC ≌△DEF.(2)由勾股定理得DF= 2 2= 2 2=5,作EP ⊥DF 于P ,则EP=· =125.∵四边形BCEF 是菱形,∴EF=CE ,由勾股定理得FP= 2- 2= 2- 125 2=95,则CP=FP=95,AF=DC=DF-CF=5-2×95=75.5.解:(1)证明:正方形ABCD 中,AC=BD ,OA=12AC ,OB=12BD ,所以OA=OB.因为AC ⊥BD ,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以 ∠OAD=∠OBA= 5°,所以∠OAM=∠OBN ,又因为∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON ,所以△AOM ≌△BON ,所以OM=ON.(2)过点O 作OP ⊥AB 于P ,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE ,因为E 为OM 的中点,所以OE=ME ,又因为∠AEM=∠PEO ,所以△AEM ≌△PEO ,所以AE=EP.因为OA=OB ,OP ⊥AB ,所以AP=BP=12AB=2,所以EP=1.Rt △OPB 中,∠OBP= 5°,所以OP=PB=2,Rt △OEP 中,OE= 2 2= 所以OM=2OE=2 △OMN 中,OM=ON ,所以MN= OM=2 .6.[解析] (1)结论:BP=CE,CE⊥AD.连接AC,证明△BAP≌△CAE即可解决问题;(2)结论仍然成立.证明方法与(1)类似;(3)利用(2)的结论,然后通过解直角三角形求出AP,DP,OA即可解决问题.解:(1)BP=CE CE⊥AD连接AC交BD于O点,如图①,①∵BA=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠BAC=60°=∠PAE,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,,∠∠,,∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.∵△BAP≌△CAE,∴∠ACE=∠ABP=1∠ABC= 0°,2∵∠ACD=60°,∴∠ECD= 0°,∴CE为∠ACD的角平分线,∵CA=CD,由三线合一知CE⊥AD.(2)仍然成立,选择图②,理由如下:如图②,连接AC交BD于O点,设CE交AD于点H,②在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形,∴BA=CA.∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,,∠∠,∴△BAP≌△CAE(SAS),,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP= 0°.又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.选择图③,理由如下:如图③,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H.③同理得△BAP ≌△CAE ,∴BP=CE ,∠ACE=∠ABP= 0°,又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE ⊥AD. (3)如图④,连接AC 交BD 于点O ,连接CE 交AD 于点H.④由(2)可知,CE ⊥AD ,CE=BP , 在菱形ABCD 中,AD ∥BC , ∴EC ⊥BC.∵BC=AB=2 ,BE=2 19,∴在Rt △BCE 中,CE= 2 2- 2 2=8, ∴BP=CE=8.∵AC 与BD 是菱形的对角线, ∴∠ABD=12∠ABC= 0°,AC ⊥BD ,∴BD=2BO=2AB ·cos 0°=6,AO=12AB= ,DP=BP-BD=8-6=2,∴OP=OD+DP=5.在Rt △AOP 中,AP= 2 2=2 S 四边形ADPE =S △ADP +S △APE =12DP ·AO+·AP 2=12×2× +×(2 )2=8 .。
广西贵港市中考数学总复习题型专项(五)四边形中的简单证明与计算试题
题型专项（五) 四边形中的简单证明与计算1．（2015·桂林）如图，在▱ABCD中，E,F分别是AB，CD的中点．(1)求证：四边形EBFD为平行四边形;(2)对角线AC分别与DE,BF交于点M,N,求证：△ABN≌△CDM。
证明:(1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB＝CD.∵E，F分别是AB,CD的中点，∴BE＝错误!AB，DF＝错误!CD。
∴BE＝DF。
∵BE∥DF,∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形,∴DE∥BF。
∴∠CDM＝∠CFN。
由(1)知AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN.∴∠ABN＝∠CDM。
在△ABN与△CDM中，错误!∴△ABN≌△CDM（ASA）．2．（2016·遵义）如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．（1）求证：CP＝AQ;（2）若BP＝1,PQ＝2错误!，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．解：(1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°。
∵BE＝DF,∴A B＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF。
又∵∠AQE＝∠CPF,∴△AEQ≌△CFP(AAS）．∴AQ＝CP.（2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠PBE＝90°.∵∠AEF＝45°,∴EB＝BP＝1.∴PE＝ 2.同理DF＝DQ＝1,FQ＝错误!。
∴EQ＝32。
∴AQ＝AE＝3.∴AB＝2，AD＝4.∴矩形ABCD的面积为2×4＝8。
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D 作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F,连接BE，交AD于点G。
(1)求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD＝14，cos∠GBH＝错误!，求GH的长．解:（1)证明：∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD平分∠CAB,∴∠CAD＝∠BAD.∵AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB。
中考考试重点-关于平行四边形的证明题
1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD=21AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论.2、已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE=DF ，连接CE ，AF.求证：AF=CE.3、如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD=3MN. 4、如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数；(2)如果AD=5 cm，AP=8 cm，求△APB的周长.5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF. 6、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC 上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.7、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF. 8、如图3-34所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．⑴求证：△BAD≌△AEC；⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积.11、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF 分别与AC、AD交于点E、F.(2)当AB＝3，BC＝5时，求的值．12、已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN；(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．13、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF，14、已知：如图，在△ABC中，，D是BC 求证：AE=CF．的中点，，CE∥AD．如果AC=2，CE=4．Array（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求四边形ACEB的周长；（3）直接写出CE和AD之间的距离．15、如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF ⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．16、如图9，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA，则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？17、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD 的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ，且AF=BD，连结BF（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．18、如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，求证：△EBC≌△FDA．19、如图，在□ABCD中，为边上一点，且（1）求证：;（2）若平分，，求的度数．20、如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，（2）若平行四边形的周长为36cm，AE=4cm，AF=5cm，求平行四边形ABCD的面积．21、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD, CF⊥BD，求证：四边形AECF 是平行四边形．22、如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．23、已知,如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,FC 与BE 交于点G.求证:GF=GC.24、已知,如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.25、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE=CF ．求证：∠BAE=∠CDF ．26、如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB ，，且.(1) 求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.27、已知：如图，在□ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE＝CF．求证：（1）△ABE ≌△CDF；（2）BE∥DF．28、如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB、AD的延长线于点E、F.。
2022中考数学总复习 四边形的证明与计算
解:(1)由折叠可知,∠BEA=∠B′EA,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴BC∥AD,∴∠BEA=∠EAD,
∴∠B′EA=∠EAD,∴ED=AD=BC=10.
∵CD=AB=6,根据勾股定理,得 CE= - = -=8,
∴
=
即
=
,
+
,
解得 CD= .
∵四边形 AFCD 是平行四边形,
∴AF=CD= ,
∴AB=AF+BF= + =6.
矩形的相关证明及计算
1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使DE=CD,连接AE,OE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
由折叠,知 FP=FD,
∴PF+FC=FD+FC=CD,∴OP≥OC-CD= + -8=2,
即 OP 的最小值为 2.
当 OP 取最小值时,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q,则 PQ∥BC,
∴△OPQ∽△OCB,∴ = = ,
即
=
= ,∴OQ= ,PQ= .
角三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(3)存在.
如图③,①当 QB=QC,∠BQC=90°时,△BQC 是等腰三角形,点 Q 的坐标为( , );
②当 BC=CQ′,∠BCQ′=90°时,△BCQ′是等腰三角形,点 Q′的坐标为(4,1);
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中考总复习题型专项(五)四边形中的简单证明与计算（贵港
市带答案）
题型专项(五) 四边形中的简单证明与计算
1．(2018·桂林)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)求证四边形EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证△ABN≌△CDM
证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝12AB，DF＝12CD
∴BE＝DF
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
(2)∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF
∴∠CDM＝∠CFN
由(1)知AB∥CD，AB＝CD
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN
∴∠ABN＝∠CDM
在△ABN与△CDM中，
∠BAN＝∠DCM，AB＝CD，∠ABN＝∠CDM，
∴△ABN≌△CDM(ASA)．
2．(2018·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD 至点F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．
(1)求证CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AE F＝45°，求矩形ABCD的面积．
解(1)证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°
∵BE＝DF，。