波函数及其物理意义

2
A
2 b
(2)求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为：
W ( x, t ) ( x, t ) 0
2
2
( x b / 2), x b / 2)
2 2 x W ( x, t ) ( x, t ) cos ( ) (b / 2 x b / 2) b b
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波 x 的表达式为：
( x, t ) A cos 2 (t
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理 量来代替描述波动性的物理量，有：
3

)
2 ( x, t ) 0 cos ( Et px ) h
P
单缝1使通过它的电 子处于1态；单缝2 使其处于2态。
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量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的 不确定性，出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒两象性所决定的。 态迭加原理还有下面的含义：当粒子处于态1和2的 线性迭加态时，粒子是既处于1 ，又处于态2 。
量子力学中态的迭加，虽然在数学上与经典波的迭 加原理相同，但在物理本质上却有根本的不同：量子 态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加，其干涉也是 自己与自己的干涉，决不是两个粒子互相干涉。而且 这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性。
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2.归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 2 应有： | | dV 1

V
V | 0 | dV 1
2
这称为波函数的归一化条件。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波 函数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是 粒子的同一状态。 原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数 在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。 如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不 为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值 为1，这个过程称为波函数的归一化过程。
2 波函数模的平方| (r , t ) | 代表时刻 t 、在r 处
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。
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附近找到粒子的几率除和波 函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
*
| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子 由此可见， 出现的几率，称为几率密度。即： | |2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。
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根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
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微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有： 实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模 （振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
注意：在空间某处r
W | | dV dV
2 *
是 的共轭复数。
如图所示，在 区间（b/2,b/2)以 外找不到粒子。在 x=0处找到粒子的 几率最大。
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2 ( x, t )
( x, t )
-b/2
o
b/2
x
例2： 已知一L为势阱宽度，n为量子数（n=1，2，）。 L n 1 求：（1）粒子在0 x 区间出现的几率；并对 4 和 n 的情况算出概率值。 L （2）在 n ? 的量子态上，粒子在 x 区 4 间出现的概率密度最大。 L 解： （1）粒子在 0 x 区间出现的几率： 4
2 ( x, t ) 0 cos ( Et px ) h
根据尤金公式，有：
0
( x, t ) 0e
i
2 ( Et Px) h
为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的 形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它 描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
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同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极 大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到 粒子的几率最小。 综合以上的波动和粒子观点，得到：在某时刻 t，在空间某处 ，波函数 的平方正比 r (r , t ) 于粒子在该时刻、该地点出现的几率。 玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
例1： 设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描 述为： ( x, t ) 0 ( x b / 2, x b / 2)
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) (b / 2 x b / 2) b
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数。 求：归一化的波函数；几率密度W？
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r
方向传播的自由粒子的
4
根据波动理论，波函数的强度正比于02。 利用复指数函数的运算法则，有：
0 | |
2
＊
2
＊
为的复共轭函数。
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。 下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系。
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i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
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3.波函数应满足的条件 1.标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的 几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单 值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会 发生突变，所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件， 称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
i Et
定态波函数所描写的状态称为“定态”。 如果粒子处于定态，则有：
i Et 2 2 2 | (r , t ) | | (r )e | | (r ) |
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粒子在空间某处出现的几率不随时间而改变 ——这是定态的一个重要性质。
在解决实际问题中，感兴趣的不是波函数本身， 而是它的模的平方。 如果粒子处于定态，求出波函数的空间部分 (x,y,z) 一般来说已完全够用了，而不必再去考虑时 间因子。因此，我们通常把 (x,y,z) 称为“振幅波函 数”，甚至干脆称为“定态波函数”。
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2.波函数的物理意义 为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较： 1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。 用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在 衍射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值， 在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。 2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
2 nx sin (0 x L) L l
Wn
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L 4 0
2 1 1 n 2 nx ( x) dx sin dx sin L L 4 2n 2
L 4 0
2
Wn
L 4 0
1 1 9% 当 n 1时 W1 4 2 1 当n 时 W 25% 4 L （2）粒子在 x 区间出现的概率密度为： 4 2
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
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i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
解：由归一化条件，有：
A
2
x 即：A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2

b / 2

| ( x, t ) | dx
2
b/2
b / 2
| ( x, t ) | dx | ( x, t ) | dx 1
2 2 b/ 2

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b A 1 2
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量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学 中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全 不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微 观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另 一个基本原理—态迭加原理表现出来。 3.态迭加原理
如果1，2，，n所描写的都是体系可能实现的状 n 态，那么它的线性迭加 ci i （c 为任意常数） 所描写的也是体系的一个可能的状态。 用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
2
，在三维空
1.自由粒子的波函数 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中 作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
h E 对应的德布罗意波具有频率和波长： , h P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
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4.定态波函数 如果波函数可以表示为一个空间坐标的函数 ( x, y, z ) 与一个时间函数的乘积，并且整个波函数随时间的改 i 变由因子 Et 决定，
e
这个波函数就称为“定态波函数”。它可表示为：
( x, y, z, t ) ( x, y, z )e
i Et
或
( r , t ) ( r )e
第二节
波函数及其 物理意义
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经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。 量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数
电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间 的变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化 来描述。 物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。