吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三下学期最后一次模拟考试数学(文)试题 含答案

“时不我待,只争朝夕” 高三模拟考试数学（文科)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．设集合{}1,1M =-,{}2
40
N x x =-<，则下列结论正确的是（ ）
A ．N M ⊆
B ．N
M =∅ C ．M N ⊆ D ．M
N =R
2. 已知i 为虚数单位，则复数21i
-所对应的点在（ )
A 。

第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D 。

第四象限
3．已知函数()12log 030
x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ）
A ．9
1- B ．9- C ．91 D ．9
4．已知向量a ，b 满足()1,3a b +=-，()3,7a b -=，则a b ⋅=( ） A ．12- B ．20- C ．12 D ．20
5．下列函数中,最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=
x
对称的是
A ．s i n (2)3
π=-y x B ．s i n (2)6
π=-y x
C ．s i n (2)6π=+y x
D ．s i n ()
23π=+x y 6．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为
A. 9
9
21
2
- B. 9
9
21
2
+ C. 10
10
21
2
-D。

10
10
2
21
+
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．96 B．8042π
+C．964(21)π
+D．964(221)π
+
8．已知直线l的方程为230
ax y
+-=，且[5,4]
a∈-，则直线l的斜率不小于1的概率为（）
A．2
9
B．7
9
C．1
3
D．2
3
9. 已知x，y满足约束条件
1,
1,
49,
3,
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥-
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪+≤
⎩
，若目标函数()0
z y mx m
=->的最大值为1,则m的值是（)
是
否
开始
1,0
k S
==
10
k<
2k
S S-
=+
1
k k
=+
输出S
结束
A B ．1 C ．2 D ．5
10。

已知半径为1的圆1
O 是半径为R 的球O 的一个截面，若球面上任一点到圆面1
O 的距离的最大值为54
R ,则球O 的表面积为( ）
A ．1615
π B ．6415
π C ．154
π D ．152
π
11．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，
O
为坐标原点,若1
2
12
OP F F =,且
212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为
（ ）
A ．34
B ．2
C ．
2 D ．12
12。

已知函数
()()2
ln x x b f x x
+-=
（R b ∈）．若存在1,22
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得)(x f ＞－
)(x f x '⋅，则实数b 的取值范围是( ）
A ．(
-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．9,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ D ．(),3-∞ 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题－24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分,共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 已知0θπ<<，1tan()4
7
πθ+=,那么sin cos θθ+= ．
14．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0,过点M （3,0）的最短
弦所在的直线方程是 ．
15。

已知函数
e ,0()()31,0
x a x f x a x x ⎧+≤=∈⎨->⎩R ，若函数()f x 在
R 上有两个零点，
则a 的取值范围是 ．
16．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时,()(1)x
f x e x =+，给出下
列命题:
①当0>x 时，()(1)x
f x e x =-
②函数)(x f 有2个零点
③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ④R x
x ∈∀2
1
,,都有2)()(21<-x f x f ，
其中正确的命题是_________．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17。

（本小题满分12分)
已知等差数列}{n
a 中公差0≠d ，有144
1
=+a a ,且7
21,,a a a 成等比数列。

（1) 求}{n a 的通项公式与前n 项和公式n
S ;
(2) 令12
n
n
S b n =-，求数列}1{1
+n n b b 的前n 项和n
T 。

18.（本小题满分12分）
2015年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下： 甲电商:
乙电商：
消费金
额（单
位:千
元）
)1,0[)2,1[)3,2[)4,3[[4,5]
频数250300150100200
(Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图,并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人,求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率。

19。

（本小题满分12分)如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯
形,AB//CD, 60,
DAB
∠=FC ABCD
⊥平面,AE BD
⊥，若CB CD CF a
===
(1）求证：BDE AED ⊥平面平面 （2）求三棱锥-A CDF 的体积．
20。

（本大题满分12
分)已知椭圆2
2:14
x y γ+=的左顶点为R
，点
(2,1),(2,1)A B -，O 为坐标原点．
(1）设Q 是椭圆γ上任意一点，()6,0S ，求QS QR ⋅的取值范围； (2)设1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点,满足OM
ON OA OB k
k k k ⋅=⋅,试探究
OMN
∆的面积是否为定值，说明理由．
21。

（本大题满分12分）已知函数2
1()ln (R)2
f x x
a x
b a =-+∈．
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ,b 的值； （2)若20a -≤<,对任意1
2,(0,2]x x
∈,不等式1212
11
|()()||
|f x f x m x x -≤-,求m 的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲
如图，
ABC ∆内接于O ,AB 为其直径,CH AB ⊥于H
延长后交O 于D ,连接DB
并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠．
（I)求证：PC 是
O 的切线；
（II ）若4,3AC BC ==，求PC PB
的值．
23. (本题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标
系中,直线l 的极坐标方程为4
πθ=，曲线C 的参数方程为2sin x y θ
θ
⎧
=
⎪⎨
=⎪⎩.（θ
为
参数）
(I ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程;
（II)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于
,A B
两点，若
8
||||3
MA MB ⋅=
，求点M 轨迹的直角坐标方程。

24. （本题满分10分）选修4－5:不等式选讲 设函数()121f x x x =--+的最大值为m 。

（I ）求m ;
（II)若()2
2
2,b,c 0,,a 2a b
c m ∈+∞++=,求ab bc +的最大值.
“时不我待，只争朝夕” 高三模拟考试数学(文科）答案
1-6CACABA 7-12CCBBCC
13。

15
-； 14.3y x =-+； 15。

[)-10， 16.③④
17。

【命题意图】本题考查等差数列通项及前n 项和的求法，裂项求和的方法,意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力． 【解析】(1）依题意得，41
=-+n n a a ，∴}{n a 是公差为4的等差数列，
∴1432141
=+=+d a a a
,即11=a
∴34)1(1-=-+=n d n a a
n
，n n S n -=22(6
分）
（2)由（1)知n b n
2=，则
)1
1
1(4111+-=+n n b b n n ∴)
1(4)11131212111(41+=+-++-+-=
n n n n T
n
（12分）
18. 【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数、方差、分层抽样和古典概型等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力． 【解析】（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，
消费金额
(单位:千元)
频率组距
54320.350.250.20.150.10.050.30.4O
1消费金额
(单位:千元)
频率组距
0.10.20.1554320.350.250.050.30.4
O
1
甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数大. ……6分
(Ⅱ）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金
额不小于4千元的人数为2人，记作,a b ；运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，记作1,2,3,4。

在这六人中任意抽取两人,所得基本事件空间为:
{,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34}ab a a a a b b b b Ω=，共计
15个元素。

把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作A ， 则{1,2,3,4,1,2,3,4}A a a a a b b b b =，共计8个元素。

∴8
()15P A =。

……12分
19.【命题意图】本题主要考查空间中线面位置关系的判断与证明及几何体体积的计算．意在考查逻辑推理能力及空间想象能力。

20.
【命题意图】本题以椭圆为载体考查圆锥曲线中的基础知识,意在运算能力及分析问题解决问题的能力，同时考查函数思想与方程思想的应用。

【解析】（1）R ()2,0-， 设(),Q x y ，则
()()6,2,QS QR x y x y ⋅=-----()()()()22
626214
x x x y x x =-++=-++-
2
34114
x x =
-- ∴ 当2x =-时，QS QR ⋅最大值为0；当2x =时,QS QR ⋅最小值为16-；
即QS QR ⋅的取值范围为[]16,0-(4分)
21。

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用,同时考查转化与化归思想的应用.
【解析】（1）∵21()ln 2f x x a x b =-+，∴'()a f x x x
=-， ∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，
∴13a -=,(1)0f =，∴2a =-，1
02b +=,∴2a =-,12
b =-．(3分） （2）因为20a -≤<,02x <≤ , 所以'()0a f x x x
=->，故函数()f x 在(0,2]上单调递增， 不妨设1202x x <≤≤，则1212
11|()()|||f x f x m x x -≤-,
可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 2m m h x f x x
a x
b x x =+=-++，则12()()h x h x ≥． ()h x (0,2]上的减函数，即'2()0a m h x x x x =--≤在(0,2]上恒成立, 等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，
又20a -≤<，所以2ax x ≥-,所以332x
ax x x -≤+， 而函数32y x
x =+在(0,2]上是增函数, 所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）．
所以12m ≥．即m 的最小值为12．(12分)
22。

【命题意图】本题考查圆的性质、相似三角形等基础知识,意在考查逻辑推理能力．
（II)4,3AC BC ==，则12245,,55
AC BC AB CH CD AB ====,3BD BC ==, 因为PC 是
O 的切线,所以PCB PDC ∠=∠， 所以PCD PBC ∆∆，
所以85
PC
PD CD PB PC BC ===，……10分 23。

【命题意图】本题考查直线极坐标方程和直角坐标方程的转化、椭圆的参数方程和普通方程的转化、直线参数方程的意义等基础知识，意在考查转化和化归、运算求解、数形结合思想的运用．
【解析】（I)直线:l y x =，曲线22:12x C y +=。

……5分
24。

【命题意图】本题考查零点分段法和基本不等式等基础知识,意在考查基本运算能力．
【解析】（I ）当1x ≤-时，()32f x x =+≤；
当11x -<<时，()132f x x =--<;
当1x ≥时，()34f x x =--≤-，
故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =。

……5分
（II ）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，
当且仅当2a b c ===
时取等号，此时，ab bc +取得最大值1。

(10)
分。