深圳市育才教育团育才三中选修二第一单元《数列》检测(有答案解析)

一、选择题
1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +
B ．12n -
C ．132n -⨯
D ．123n -⨯
2．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）
3331373152,39,4,517
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪
⎩
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
3．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125
B ．1250
C ．2250
D ．2500
4．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，
(3)f ，(13)f 成等比数列，则（ ）
A ．275()n S f n -≤
B ．275()n S f n +≤
C ．275()n S f n -≥
D ．275()n S f n +≥
5．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2
()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
6．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36
B ．48
C ．56
D ．72
8．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}
n a 的最小项是（ ） A ．第6项
B ．第7项
C ．第12项
D ．第13项
9．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n
的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
10．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n
S S ≤，设
1
1
n n n b
a a +=
，则数列{}n b 的前项和n T 为（ ） A ．310(103)n
n -
B ．10(103)
n
n -
C ．103n n
-
D ．10(133)
n
n -
12．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
二、填空题
13．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形
IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是
___________2cm .
14．有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ………………………………………
则第40行从左至右第6个数字为______.
15．设数列{}n a 满足11a =，且()
*
11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前2020项的和为________．
16．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，29a =，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则数列
{}n a 的前10项和10S =________.
17．有一个数阵排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64……
则第9行从左至右第3个数字为________________. 18．已知等比数列{}n a 满足(
)143n
n n a a n N
*
++=⋅∈，的前n 项和为n
S
，若不等式
n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.
19．已知函数()31
x
f x x =
+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.
20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足4
43210q a a a ++++=，则首项1a 的
取值范围是________.
参考答案
三、解答题
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点
()1,n n P b b +直线20x y -+=上.
（1）求1a 值；
（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．若数列{}n a ，12,a =且132n n a a +=+. （1）证明{}1n a +是等比数列； （2）设()
1
31n n n a b n n +=
⋅+，n T 是其前n 项和，求n T .
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，162a a +=，40a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.
24．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2
n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：121
1
3
b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.
25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1
*12
n a n T n a -=-∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．
26．已知正项等比数列{}n a 满足2139n
n a +=⋅，3log n n b a =，且n b ，n c ，4n +成等差数
列.
（1）求数列{}n c 的通项公式；
（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭的前100项和100T .
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得
2
333221a a a q q
++=，解得2q =±或1
2
q =±
，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n n
a
【详解】
{}n a 为等比数列，设其公比为q ，
()
3
36231261
1364a a a a q a q
a ∴====，则34a =，
13521a a a ∴++=，
23
33221a a a q q
∴
++=， 即
224
4421q q
++=， 解得2q =±或12
q =±， 又
{}n a 各项为正且递增，
2q ∴=，
3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为
23
33221a a a q q
++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．B
解析：B 【分析】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m +++=
+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项． 【详解】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m ++
+=
+-个，
212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，
当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共4744
10342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共4643
9892
⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．
3．A
解析：A 【分析】
由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】
由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，
即9813980.5
21039979225022
x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.
4．D
解析：D 【分析】
根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出
n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.
【详解】
因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，
所以[]2
(3)(1)(13)f f f =⋅，即2
(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，
因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，
2(121)
2
n n n S n +-=
=， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，
当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，
当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；
22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒
成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.
5．D
解析：D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知
1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
6．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以
4为公差，以1为首项的等差数列， 所以
21
14(1)43n
n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
7．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()199998
3622
a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.
8．B
解析：B 【分析】
可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】
由题意12130,0S S ><及()()()121126713113713
66,132
S a a a a S a a a =+=+=
+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .
【点睛】
等差数列的前n 项和n S 具有以下性质
()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.
9．C
解析：C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >， 所以2
12021220201011...1a a a a a ====， 因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
10．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项.
【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122
n
n n b n --==，所以2+1212
+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()
+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】
依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n
S S ≤，
所以4151030040
a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨
<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得105
32d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.
所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，
()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭
， 所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
()()()
10310111133101031010310103n n
n n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.
12．B
【分析】
根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】
因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <， 因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列， 所以n S 的最大值为5S ， 故选：B. 【点睛】
本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.
二、填空题
13．【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方也为等比数列利用等比数列求和公式即可得解【详解】记第个正方形的边长为面积由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到可知第个正方形的边 解析：
25575
512
【分析】
根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】
记第n 个正方形的边长为2a ，面积()2
224n S a a ==，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第1n +
，面积)
2
212n S a +=
=，计
算可得2
12422n n S a S a
+==， 所以正方形面积构成的数列{}n S 是首项为125S =，公比为1
2
的等比数列， 故从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和
10112010125112557525011251212
S S S ⎛
⎫- ⎪
⎛
⎫⎝⎭++⋯+==⨯-=
⎪⎝⎭-， 故答案为：
25575
512
关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.
14．1030【分析】利用观察法和累加法得到进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；…
解析：1030 【分析】
利用观察法和累加法得到()17895n a a n -=+++++，进而求解即可
【详解】
第1行从左至右第6个数字：116a = 第2行从左至右第6个数字：223a =； 第3行从左至右第6个数字：331a =； 第4行从左至右第6个数字：440a =； 第5行从左至右第6个数字：550a =； ……………………………………；
第n 行从左至右第6个数字：n a ； 利用累加法得：
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-，
()17895n a a n -=+++
++，
()()175162
n n n a -++⎡⎤⎣⎦
=
+
得，403952
1639261610302
a ⨯=
+=⨯+= 故答案为：1030 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于观察得到，
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-
最后，使用累加法求出数列的通项n a ，属于中档题
15．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：
4040
2021
由(
)*
11n n a a n n N
+-=+∈得到
1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得
22
n n n
a +=
，从而得到2121
12
1
n a n n
n
n ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】
因为()*
11n n a a n n N
+-=+∈,
所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ， 左右分别相加得()()112234 (2)
-+=++++=
-n n n n a a ，
所以22
n n n
a +=，
所以
212112
1
n
a n n
n
n ，
所以20201111111
140402 (2122320202021120212021)
⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ， 故答案为：4040
2021
【点睛】
本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】设等差数列的公差为根据题中条件列出有关的方程组可求出的值计算出的值【详解】在等差数列中由是和的等比中项得解得所以故答案为；【点睛】本题考查等比中项的运用与等差数列的基本量的求解以及求前项和考 解析：15-
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据题中条件列出有关1a 、d 的方程组，可求出
1a 、d 的值，计算出10S 的值.
【详解】
在等差数列{}n a 中，由29a =，3a 是1a 和4a 的等比中项，
得()()12
1119230a d a d a a d d +=⎧⎪+=⋅+⎨⎪≠⎩
，解得112a =，3d =-. ()()2113327
1212222
n n n d S na n n n n n -=+=--=-+，
所以210327
10101522
S =-
⨯+⨯=-. 故答案为15-； 【点睛】
本题考查等比中项的运用与等差数列的基本量的求解以及求前n 项和，考查计算能力，属于中等题.
17．768【分析】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列可求出第9行首项；每行按公差为排列可解【详解】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列所以第9行首项为第9行公差为所以第9行从左至右第3个数
解析：768 【分析】
数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列，可求出第9行首项；每行按公差为
12n - 排列,可解
【详解】
数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列12n n a
所以第9行首项为82=256，第9行公差为82=256， 所以第9行从左至右第3个数字为768 故答案为：768 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列基本量运算及学生观察分析能力.
解决等差、等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等差、等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量.
18．【分析】设等比数列的公比为利用等比数列的定义求出的值结合等式可求得数列并计算出由可得求出数列的最小值即可求得实数的取值范围【详解】设等比数列的公比为则可得上述两式相除得则得所以等比数列的公比为首项也 解析：(],1-∞
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143n
n n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131
223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
则()1143n
n n n a a q a ++=+=⋅，可得()1
211143
n n n n a a q a +++++=+=⋅，
上述两式相除得()()111433143
n n n
n q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =，
所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()11133313
2
n n n
a S +--==
-，
由于n n S ka ≥，则1133
3123223n n n n n S k a +--≤==-⋅，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭单调递增， 当1n =时，数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为11
1S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数 解析：
1
32
n - 【分析】
由已知条件得出()11231n n n a a n a --=
≥+，变形为1
113n n a a --
=，可知数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1
n
a ，进而可得出n a .
【详解】
()31
x f x x =
+，且()11
131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥）， 在等式1131n n n a a a --=
+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，111
3n n a a -∴-=且1
11a ，
所以，数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，以3为公差的等差数列，
()113132n
n n a ∴=+-=-， 因此，1
32
n a n =-. 故答案为：1
32
n -. 【点睛】
本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉
解析：[)2,2,3⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
【分析】
利用等比数列通项公式可整理已知等式得到2
1121
1
q q a q q
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到
11
11
a t t =-++
+，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】
由4
43210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，
2
2
42
132
11211111q q q q q a q q q q q q q
⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1
,22,t q q
=+
∈-∞-+∞，则
()()2
2
112112111
11
t t t
a t t t t +-+--=-
=-
=-++
+++，
1
11t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；
111t t -++
+在[)2,+∞上单调递减，1122133
a ∴≤-++=-； 综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦.
故答案为：[)2,2,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.
三、解答题
21．（1）12a =；（2）2n
n a =，21n b n =-；（3）1(23)26n n
T n +=-⋅+.
【分析】
（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；
（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出
1
2n
n a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；
（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】
（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-
1122(2)n n S a n --=-≥
①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-
1
2(2)n
n a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2n
n a =
又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上 得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2n
n n n c a b n ==-
数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2n
Tn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅
23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅
()
23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅
可得：1(23)26n n T n +=-⋅+
【点睛】
解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和. 22．（1）证明见解析；（2）1
n n T n =+． 【分析】
（1）已知等式变形为113(1)n n a a ++=+，再计算出1130a +=≠，可证结论； （2）由（1）求出1n a +后可得n b ，然后用裂项相消法求和． 【详解】
（1）∵132n n a a +=+，∴113(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠， ∴{1}n a +是等比数列，公比为3，首项为3．
（2）由（1）13n
n a +=，∴311
3(1)1
n n n b n n n n ==-⋅++，
∴11111111223111
n n T n n n n =-+-++-=-=+++． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 23．（1）28n a n =-+；（2）当3n =或4时，n S 最大，最大值为12. 【分析】
（1）本题首先可设公差为d ，然后根据162a a +=得出1252a d +=，根据40a =得出
130a d +=，最后通过计算即可求出d 、1a 的值以及数列{}n a 的通项公式；
（2）本题首先可根据0d <得出数列{}n a 是递减数列，然后根据当4n >时0n a <以及当
04n <<时0n a >即可求出n S 的最大值.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为162a a +=，所以1252a d +=， 因为40a =，所以130a d +=，
联立11
25230a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得2d =-，16a =，
故62128n
a n n .
（2）因为数列{}n a 是等差数列，20d =-<，
所以数列{}n a 是递减数列，
因为40a =，当4n >时，0n a <；当04n <<时，0n a >， 所以当3n =或4时，n S 取最大值，()()34441462122
S S ⨯-==⨯+⨯-=.
【点睛】
方法点睛：求数列通项公式的常见方法有：公式法、n S 与n a 关系法、累加法、累乘法、构造法，考查计算能力，是中档题.
24．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，1
13n n b -=． 【分析】
（1）利用等比数列的定义证明；
（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ． 【详解】
（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=
-，又212
03
b b -=-≠， 所以
2111
3
n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
又111a S ==适合上式， 所以21,*n a n n N =-∈，
由（1）1
12133n n n b b -+⎛⎫
-=-⨯ ⎪
⎝⎭
，
所以，2n ≥时，
2
121321221
21()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+
+-=+-+-⨯+
+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
121133111313
n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-
．又11b =，所以113n n b -=． 【点睛】
易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由
n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在
用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，括号中的各项成
等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项． 25．（1）21()n a n n =+∈N ；
69
n
n +；（2）数列{}n b 不是等比数列．理由见解析.
【分析】
（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求得n a ，代入
1
1
n n a a +，利用裂项求和即可求得数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和； （2）由n T 求出数列{}n b 的通项公式，再运用等比数列的定义判断即可. 【详解】
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，
11611143S a ==， 613a ∴=，
又
5624a a +=，
解得：511a =，2d =，
21()n a n n ∴=+∈N ，
111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫∴
==- ⎪++++⎝⎭
， 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项的和为n B ， 1113557(21)(23)
n B n n ∴=++⋯+⨯⨯++ 111111123557
2123n n ⎛⎫
=
-+-++
- ⎪++⎝⎭
111232369
n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭； （2）
13a =，124n a n -=，
43n n T ∴=+．
当1n =时，17b =；
当2n ≥时，1
1144
34n
n n n n n b T T ---=-=-=⨯，
()142n n b b n +∴=≥，
若{}n b 是等比数列，则有214b b =， 而17b =，212b =，所以与214b b =矛盾， 故数列{}n b 不是等比数列． 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）2n c n =+；（2）
50101. 【分析】
（1）先由题设求得数列{}n a 的公比q ，进而求得n a 与n b ，再由n b ，n c ，4n +成等差数列求得n c ；
（2）先由（1）求得
()1n n c n b +，再利用裂项相消法求得其前100项和.
【详解】 解：（1）设公比为()0q q >，∵2139n n a +=⋅，∴2
2
51339939a q a ⨯===⨯，解得：3q =， ∴31333933n n n n a a q
--=⋅=⨯⨯=， ∵3log n n n b a ==，且n b ，n c ，4n +成等差数列， ∴422
n n b n c n ++==+； （2）由（1）可得：()111112(1)21n n c n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭
， ∴10011111111501122231001012101101
T ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2
= （3）指数型()11n n n a a a
a +-=-； （4）对数型11log log log n a a n a n n a a a a ++=-.。