数字与信号处理matlab实现 第二版 作业题(宁波工程学院电科版)

第一章作业答案
1、把序列⎪
⎩⎪
⎨⎧==
,01
,20 ,1)(其他＝n n n x 表示为单位阶跃之和的形式。

解：
)
2(2)1()( )]2()1([2)1()()1(2)()(---+=---+--=-+=n u n u n u n u n u n u n u n n n x δδ
2、判断下列系统线性性、因果性、稳定性。

(a))()(n nx n y =； (b)b
n ax n y +=)()
(,其中a ，b 为常数；
解：(a) 线性性：对于两个输入序列)(1n x 和)(2n x ，相应的输出分别为
)(1)(1n nx n y = )
(2)(2n nx n y =
这两个输出的线性组合为
)(2)(1)](2)(1)(3n bnx n anx n by n ay n y +=+=
这两个输入信号的线性组合产生的输出为
)(2)(1)](2)(1[)](2)(1[)(4n bnx n anx n bx n ax n n bx n ax T n y +=+=+= 现在)(4)
(3n y n y =，所以系统为线性系统；
因果性：因为系统只与当前输入有关，所以系统是因果的； 稳定性：若)(n x 有界，即∞
<≤M n x |)(|，则nM
n x n n nx n y ≤≤=|)(||)(||)(|
，
当∞
→n
时，∞
→)
(n y ，所以不稳定。

(b)线性性：对于两个输入序列)(1n x 和)(2n x ，相应的输出分别为
b n ax n y +=)(1)(1 b
n ax n y +=)(2)(2
这两个输出的线性组合为
db
n dax cb n cax n dy n cy n y +++=+=)(2)(1)](2)(1)(3
这两个输入信号的线性组合产生的输出为
b n d a x n
c a x b n dx n cx a n dx n cx T n y ++=++=+=)(2)(1)](2)(1[)](2)(1[)(4 现在)(4)
(3n y n y ≠，所以系统为非线性系统；
因果性：因为系统只与当前输入有关，所以系统是因果的； 稳定性：若)(n x 有界，即∞
<≤M n x |)(|，
则|||||||)(||)(||)(|b M a b n ax b n ax n y +≤+≤+=，即|)(|n y 有界，所以稳定。

3、一个线性移不变系统的冲击响应
)
(n h 和输入信号
)
(n x 分别为
⎪⎩⎪⎨⎧=== 2 ,11 ,20 ,1)(n n n n h ＝，⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=1 ,30 ,21 ,1)( n n n n x ＝，求系统对输入的响应。

解：根据卷积公式∑
-=-=
2
1
)()()
(k k n h k x n y ，得到
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧====-=3
,32 ,81 ,80 ,41 ,1)(n n n n n n y ＝
数字信号处理第二章作业答案
1、 求序列)
1()()(---=
n u b n u a n x n
n 的z 变换，并确定它的收敛域。

（a
b a b
>>>,0,0）
解：∑∑∑∑∞
=-∞
=---∞
=-∞
=--
=
-
=
1
1
)
(n n
n
n n
n
n n
n
n n
n
z
b
z
a
z
b
z
a
z X
前部分收敛域为：11
<-az
，即a z > 后部分收敛域为：11<-z
b ，即b
z <
因此，b
z z a
z z z
b z
b
az
z X -+
-=
--
-=---1
1
1
111)(，b
z a
<<
2、 已知1
33)(2
3
2-+-+=
z z
z z z
z X ，用长除法求x(n)。

解：长除法的商为：...
94)
(3
2
1
+++=---z
z z z X ，（在考试的时候要列出长除法
的具体表达式，这里因为不好打字所以没做） 因此，)
1()
(2
-=n u n n x
3、 已知1,)
5.0)(1()(2
>--=
z z z z
z X ,用部分分式法求
x(n)。

解：
5
.021
1)
5.0)(1()(-+
-=--=
z A z A z z z
z
z X
2
)1()5.0)(1(11
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==z z z z z
A ，1)5.0()5.0)(1(2
5
.0-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==z z z z z A 1
1
5.011
125
.01
2)(----
-=
--+
-=
z
z
z z z z z X
查表得：)()5.02()(5.0)(2)(n u n u n u n x n
n
-=-=
数字信号处理第三章作业答案
1、描述采样定理；
对于一个C Ω≤Ω的带限信号，只要采样频率高于带限信号最高频率的两倍，
即C
Ω>Ω
时，可以由其采样信号唯一正确地重建原始信号，这就是采样定理。

2、请阐述离散傅立叶级数和离散傅立叶变换的关系；
离散傅里叶级数是周期序列，只有N 个独立的值，只要知道一个周期的内容，其他内容就可以知道。

对于长度为N 的有限长序列，可以看做是周期为N 的周期徐磊的一个周期，因此可以利用离散傅里叶计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅里叶变换。

因此，离散傅里叶变换本质上是离散傅里叶级数。

3、描述用DFT 计算线性卷积的过程；
假设)(1n x 序列有M 个点，)(2n x 序列有N 个点，1-+=N M L
，则利用
DFT
计算线性卷积的过程如下：
（1） 将)(1n x 、)(2n x 序列后面分别补零，成为长度为L 的序列； （2） 将补零后的序列分别作L 点DFT 变换获得)(1k X 、)(2k X ；
（3） 将)(1k X 、)(2k X 相乘，然后乘机再做IDFT 变换，变换后就是)(1n x 、
)
(2n x 的线性卷积。

4、解释频谱泄漏、谱间干扰、栏栅效应；
由于用DFT 对序列进行谱分析时，必须将其截断为长度为N 的有限长序列，序列的频谱是离散谱线，经截断后每根谱线都带上了一个辛格谱，就好像使谱线向两边延伸，通常将这种因时域上的截断导致频谱展宽成成称之为频谱泄漏。

因截断使主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，称之为谱间干扰。

N 点DFT 是在频率区间[0,2π]上对信号的频谱进行N 点等间隔采样，得到的是若干个离散点)(k X ，且它们只限制为基频0F 的整数倍，这就好像在栏栅的一边透过缝隙看另一边的景象，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成本被遮挡，所以成为栏栅效应。

5、求信号11 )()
(<<-=a n u a n x n
的傅立叶变换；
解：a
z a
z z z
a z
n u a z X n
n n n
n >-=
=
=
∑
∑
∞
=-∞
-∞
=- )()
(0
n ，可见极点在单位圆内，为
因果稳定线性移不变系统，把ω
j e
z =代入可得序列的傅里叶变换为：
a
e
e e
X j j j -=
ω
ω
ω
)(
6、有一频谱分析用的FFT 处理器,其抽样点数必须是2的整数幂,假定没有采用任何特殊的数据处理措施,已知给定的条件为: 频率分辨率≤1Hz,信号最高频率≤10kHz. 试确定以下参量：
① 最小记录长度Ｔ０；②抽样点间的最大时间间隔Ｔ（最小抽样频率）；③在一个记录中最少点数Ｎ． 解： （1）s 11110
==≥F T
（2）s 10
510
1021215
3
-⨯=⨯⨯=
<
h
f T
（3）
第六章作业答案
1、
数字低通滤波器的参数为：通带：ωp =0.20π，R P =1dB ，阻带：ωs =0.50π，R s =15dB 。

用双线性变换法设计巴特沃思型数字低通滤波器，写出设计好的巴特沃思型数字低通滤波器的系统函数H(z)。

解： 用频率预畸公式，3249.02tan =⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Ω
p
p ω，12tan =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=Ωs s
ω；
1)1lg(20R
=--=p p
δ，15)lg(20=-=s s R δ
因此，89125.010
120
1==--
p
δ，17783.010
20
15==-
s δ
09195.011)1(2
1
2
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---=--s p d δδ，3249.0=Ω
Ω=
s
p k
由12.2lg lg N =≥
k
d ，得滤波器阶数N=3，查表得a1=2,a2=2,a3=1,所以归一化的3
阶低通滤波器函数为：
1
221
)(2
3
+++=
p p
p
p G ，0343
.0211.06498.00343
.0)
(2
3
+++=
Ω
=
s s
s s G p
s p
系统函数为：
3
2
1
3
21
2
3
23
1
1277.0183.176.11018.0054.0054.0018.0527
.0242.2336.3895.1034.0103.0103.0034.0)
()(------+-=
-+-+++=
-+-+++=
=z
z z
z
z
z
z z z z z z s G z H z z s
2、
线性时不变系统的差分方程为y(n)+2y(n-1)=x(n)+x(n-1)，系统的初始状态为零，输入信号为x(n)=u(n),求y(n)。

（10点）
解： 根据y(n) =x(n)+x(n-1)- 2y(n-1)，
4
15
4
3
10
2327682
210
21
10
1022⨯>===⨯=⨯⨯=
>m
h N F f N 取
y(0)=x(0)+x(-1)-2y(-1)=1; y(1)=x(1)+x(0)-2y(0)=0; y(2)=x(2)+x(1)-2y(1)=2 ……
一直迭代做到y(9)体会滤波的过程。

3、
设模拟滤波器的系统函数为2
33)(2
+++=s s
s s H a ，用冲激响应不变法设计数字滤波
器。

解： 21122
33)(2
+-
+=
+++=
s s s s
s s H a
因此1
21
11
12)(------
-=z
e z
e
z H T
T
，令T=1，则
2
1
1
2
3
1
1
2
121
1
2
1
1
05.0503.01097.01)(1211112)(---------------+-+=
++--+=
--
-=
z
z
z z
e z
e e
z
e e z
e
z
e
z H ）（
第七章作业答案
1、设计线性相位低通数字滤波器，要求滤波器的阻带衰减A S <-50dB, 通带边频ωp =0.25π，
阻带边频ωs =0.55π。

（1） 选择合适的窗函数并确定滤波器长度N 。

（2） 求滤波器的延时。

解：（1）根据题意，过渡带宽为π
ω
ω3.0=-p
s ，根据阻带衰减查表符合要求的为汉明窗，过渡带宽为N
/6.6π，因此，22
=N
（2）滤波器延时5.102/)1(=-=N τ
2、请描述吉布斯效应，并以相应的图示说明
解：照教材218页进行描述及图示。

3、用凯泽窗设计一个线性相位的低通数字滤波器，要求阻带衰减A s 为－75dB ，
通带边频ωp =0.25π， 阻带边频ωs =0.55π。

（1） 确定凯泽窗函数的β参数和滤波器的长度N （2） 确定滤波器的时延。

已知凯泽窗的过渡带宽为10π/N ，凯泽窗函数的β参数可由下式计算：
0 │A s │<21dB
=β 0.5842(|A s |-21)0.4
+0.07886(|A s |-21) 21<│A s │<=50dB
0.1102(|A s |-8.7) │A s │>50dB
解：（1）由题意得3
.7)7.875(1102.07.8||1102.0=-⨯=-=）（s A β
，过渡带宽
π
ω
ω3.0=-p
s ，已知凯泽窗的过渡带宽为10π/N ，因此，34
=N
（2）滤波器延时5.162/)1(=-=N τ
4、用窗函数法设计一个N ＝7阶低通数字滤波器，截止频率为0.2π，采用矩形窗。

解：由题意得()[]
()
332.0sin 2121sin 21)
(--=
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
--⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--=n n N n N n N n h n h c d πππω，
h(0)=h(6)=0.1009,h(1)=h(5)=0.1514,h(2)=h(4)=0.1871,h(3)=0.2。